烟台市2023-2024学年高二上学期期中学业水平诊断
数学参考答案及评分标准
一、选择题
D B D A C B C D
二、选择题
9. AC 10. ABD 11. BCD 12. ABC
三、填空题
13. 14.（写对其中一个即可） 15., 16.
四、解答题
17.解：（1）当直线不过原点时，设直线方程为 , ………………………1分
因为经过点，代入得，直线的方程为， …………………2分
当直线经过原点时设直线为，代入点得，
所以直线的方程为， ……………………………4分
综上，直线的方程为或. ……………………………5分
（2）当斜率不存在时，直线方程为经过中点，符合题意， ……………7分
当斜率存在时设为，所以，直线方程为, …………9分
综上直线方程为或. …………………………10分
18.（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，则.
所以,,, ………………………2分
设平面的法向量为，
所以，令，
则，……………………4分
所以，，又面，
所以，平面. ……………………6分
（2）,面的法向量为， ………………7分
所以，点到面的距离， ……………8分
设，直线的单位方向向量，……………9分
点到直线的距离为， ……………10分
， ……………11分
所以，四面体的体积. ……………12分
19.解：（1）设，由题意可得， ……………2分
整理得，，
所以的轨迹方程为：. ……………4分
（2）当斜率不存在时，直线为，
不妨，， ……………5分
所以. ……………6分
当斜率存在时，直线方程设为，，
联立方程，得，
所以，，， ……………8分
所以，，……9分
因为，所以， ……………10分
所以，
综上，. ……………12分
20. 证明：（1）因为,
所以平面,
同理平面,
又因为,
所以平面平面， ……………2分
又因为平面平面，平面平面,
所以. ……………………3分
在等腰梯形中作于点, 所以， ……………………4分
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系，则.
因为，所以，…………5分
所以，. 所以. …………6分
（2）设底面的一个法向量， ……………7分
,设面的法向量，
所以，令，则， ……………9分
所以. ……………11分
所以平面与底面所成角的余弦值为. ……………12分
21. 解：（1）连接交于点，因为平面，平面，
所以，即四点共面，且为矩形. ……………1分
以为坐标原点，和平行于方向为轴，建立空间直角坐标系，
则有，，， ……………2分
设为平面的一个法向量，
则有，取，
则， ……………4分
设，
因为与平面所成的角为，
所以，，解得，（舍去）， ……………6分
因为，所以. ……………7分
（2）由（1）可得，， ……………8分
所以，，
设为平面的一个法向量，
则有，取，可得，……………10分
设平面与平面夹角为，
则有， ……………11分
所以平面与平面的夹角余弦值为. ……………12分
22.解：（1）设点，
由可得，， ……………1分
所以，化简可得，
即. ……………3分
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，不包含点； ……………4分
（2）考虑对称性，不妨设，
则直线的方程为：， ……………5分
联立，解得，所以， ……………6分
直线的方程为：，
联立，解得，所以， ……………7分
而 ……………8分
， ……………10分
当且仅当，即时“”成立， ……………11分
此时，
故四边形面积的最大值为. ……………12分烟台市2023-2024学年高二上学期期中学业水平诊断
数学
注意事项：
1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上．
3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若直线在y轴上的截距为2，则该直线的斜率为（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．经过点，两点的直线的方向向量为，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
3．在三棱锥中，D，E分别为BC，OA的中点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．求圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．如图，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆C：上总存在两个点到原点的距离为2，则圆C半径r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．过直线上一点P作圆的两条切线PA，PB，若，则点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线l：，则（ ）
A．直线l的倾斜角可以为 B．直线l的倾斜角可以为0
C．直线l恒过 D．原点到直线l距离的最大值为5
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．已知平行六面体的棱长都为2，，，O为底面ABCD中心，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．与所成角的余弦值为
C．平面ABCD
D．已知N为上一点，则最小值为
12．米勒问题是指德国数学家米勒1471年向诺德尔教授提出的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即可见角最大），米勒问题的数学模型如下：如图，设M，N是锐角∠ABC的一边BA上的两个定点，点P是边BC上的一动点，则当且仅当的外接圆与BC相切于点P时，∠MPN最大．若，，点P在x正半轴上，则当∠MPN最大时，下列结论正确的有（ ）
A．线段MN的中垂线方程为
B．P的坐标为
C．过点M与圆相切的直线方程为
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为______．
14．已知直线与圆C：交于A，B两点，写出满足条件“”的m的一个值______．
15．如图，在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______，点到面的距离为______．（本小题第一空2分，第二空3分）
16．平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若对于点，圆C上总存在点M，使得，则实数m的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知直线l过点，求满足下列条件的直线l的方程．
（1）在两坐标轴上的截距相等；
（2），到直线l距离相等．
18．（12分）如图，在边长为2的正方体中，E，F分别是，CD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求四面体的体积．
19．（12分）已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
20．（12分）如图，直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，其中，，，，N为中点．
（1）若平面CMN交侧棱于点P，求证：，并求出AP的长度；
（2）求平面CMN与底面ABCD所成角的余弦值．
21．（12分）如图，ABCD为边长是2的菱形，，平面ABCD，平面ABCD，，P为边BC上一点（与B，C两点不重合），使得EP与平面AEF所成的角为60°．
（1）求BP的长；
（2）求平面AEF与平面DPE所成角的余弦值．
22．（12分）已知，，P点满足．
（1）求点P的轨迹的方程，并说明是何图形；
（2）设T为直线上一点，直线TO，TA分别与相交于点B，C，求四边形OBAC面积S的最大值．
