福建省福州市部分中学2023-2024学年高三上学期期中检测数学试卷（（含解析）
文档属性
| 名称 | 福建省福州市部分中学2023-2024学年高三上学期期中检测数学试卷（（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 22:13:01 | ||
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文档简介
福州市部分中学2023-2024学年高三上学期期中检测
数学
一 单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.设复数（其中为虚数单位），则（ ）
A.1 B.3 C.5 D.6
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数在单调递增的一个充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲 乙 丙 丁分别分得，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲 乙 丙 丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲 丙所得之和为164石，则“衰分比”为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
7.某学校建造一个花圃，共分9个区域，现要用9种不同颜色的花分别栽种在这9个区域内，每个区域只栽种一种颜色的花，其中红色 白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C. D.的最小值为
10.已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的（ ）
A.点的坐标为
B.若直线经过焦点，则
C.若，则线段的中点到轴的距离为
D.若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为
11.声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是的一个周期 B.在上是增函数
C.的最大值为 D.在上有2个极值点
12.已知正方体的棱长为为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（ ）
A.
B.平面与底面和侧面的交线长之和为
C.与平面所成的角可以是
D.三棱锥的体积为定值
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知角的终边经过点，则的值是__________.
14.函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15.已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布，且，现从该批零件中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则__________.
16.已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且关于的平分线的对称点恰好在上，则的离心率为__________.
四 解答题（共6小题，共70分）
17.数列中，.
（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求满足的的最大值.
18.中，内角所对的边分别为.
（1）求；
（2）如图，为边上一点，，求的面积.
19.如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且四点共面.
（1）证明：平面.
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车 电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为.
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取2人，记这2人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式；（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强；
（iii），其中.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21.已知椭圆过点为左顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设在椭圆内部，在椭圆外部，过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.
22.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
福州市部分中学2023-2024学年高三上学期期中检测
数学
参考答案与试题解析
一 单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.【解答】复数，则，
故选：.
2.【解答】集合，则，故选：.
3.【解答】因为，所以故选：.
4.【解答】函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，，而在区间上单调递减，，
在单调递增的一个充要条件是：，
故选：.
5.【解答】设“衰分比”为，则甲分得，丙分得，故，解得，故选：A.
6.【解答】函数是奇函数，排除选项，时，，函数图象对应点在轴的下方，
故选：.
7.【解答】每个区域种不同颜色的花，有种方法，
这9个区域中相邻的区域有9个，
所以红色 白色种在相邻区域有种方法，
所以红色 白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，
故选：.
8.【解答】作出函数图像如图所示：令，则可化为，若有6个根，可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，
则，
解得，
故，
故选：.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.【解答】对于选项：因为，
当且仅当，即时取等号，解得，，即的最大值正确；
对于选项：，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为正确；
对于选项：因为，故正确；
对于选项：，当且仅当且，
即时取等号，此时取得最小值错误.
故选：.
10.【解答】对于选项：抛物线的焦点为，故错误；
对于选项：过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，
设的方程为，与联立消去整理得恒成立.
设，则，
，故正确；
对于选项：，根据抛物线定义得，则，
而由中点坐标公式得点的纵坐标，即为点到轴的距离为，故正确；
对于选项：由得，又，
当，解得，则直线的倾斜角为，
当，解得，则直线的倾斜角为，故错误.
故选：.
11.【解答】对于选项：因为，故不是的周期，故错误；
对于选项：因为，因为，故上必存在的区间，此时为减函数，故错误；
对于选项：易知，，即该函数的最小正周期为，设，
令得，，或-1，所以，或，或，
此时，故最大值为，故正确，
对于选项：由于时，在的两侧附近同号，故不是极值点，
而时，在该两点两侧附近异号，故，或是极值点，故正确.故选：.
12.【解答】对于选项：四边形为正方形，，
平面平面，
又平面平面
平面正确；
对于选项：将底面和侧面沿展开到同一平面，
则三点共线且错误.
对于选项：以为坐标原点，正方向为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，则，
设平面的法向量，则，
令，解得：，
设，则，
，
若与平面所成的角为，
则，方程无解，
与平面所成的角不能为错误；
对于选项：平面平面平面，
又点到平面的距离即为，
正确；
故选：.
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分））
13.【解答】角的终边经过点.
故答案为：.
14.【解答】函数的图象在处的切线方程为，又，
故答案为：-2.
15.【解答】解：由正态分布的对称性可知，，故1件产品的质量指标值位于区间的概率，则，故.
故答案为：0.48.
16.【解答】解：由题意，在中，
关于的平分线的对称点恰好在上，三点共线，且，
.设，
根据双曲线定义可得，
解得，即.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
又的离心率为.
故答案为：.
四 解答题（共6小题，共70分）
17.【解答】（1）证明：，
又数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）知，，
，
，
的最大值为8
18.【解答】（1）.
由正弦定理可得，
，
，
则.
（2），
又，在中，由余弦定理，可得
即，
解得，
又.
19.【解答】（1）取弧的中点，连结，
则，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
又因为平面，所以，
平面平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为直线与平面所成角为，
则，
设平面的法向量为，
由可得：，令，则，
同理可得：平面的法向量为，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.【解答】（1）.
所以，故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）11人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为，
故，
故的分布列为：
0 1 2
.
21.【解答】（1）由题意：，
由题意可得，
解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设直线的方程为：，
与椭圆联立方程组，消去得，
记，则且，
若，则
，
（定值），
综上：为定值4.
22.【解答】（1）函数，则，
所以，切线的斜率为，
又，故切点为，
所以曲线在点（1）处的切线方程为，
即；
（2）对恒成立，
即对恒成立，
令，函数的定义域为，
则，
令，则，令，解得，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以当时，取得最小值，故，
又当时，，所以，
则当时，可得，当时，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，
故实数的取值范围为.
数学
一 单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.设复数（其中为虚数单位），则（ ）
A.1 B.3 C.5 D.6
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.若，则（ ）
A. B. C. D.
4.函数在单调递增的一个充要条件是（ ）
A. B.
C. D.
5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲 乙 丙 丁分别分得，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲 乙 丙 丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得80石，甲 丙所得之和为164石，则“衰分比”为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
7.某学校建造一个花圃，共分9个区域，现要用9种不同颜色的花分别栽种在这9个区域内，每个区域只栽种一种颜色的花，其中红色 白色两种花被随机地分别种植在不同的小三角形区域，则它们在不相邻（没有公共边）区域的概率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.已知，则（ ）
A.的最大值为 B.的最小值为
C. D.的最小值为
10.已知抛物线的焦点为是抛物线上两点，则下列结论正确的（ ）
A.点的坐标为
B.若直线经过焦点，则
C.若，则线段的中点到轴的距离为
D.若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为
11.声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（ ）
A.是的一个周期 B.在上是增函数
C.的最大值为 D.在上有2个极值点
12.已知正方体的棱长为为棱上的动点，平面过点且与平面平行，则（ ）
A.
B.平面与底面和侧面的交线长之和为
C.与平面所成的角可以是
D.三棱锥的体积为定值
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知角的终边经过点，则的值是__________.
14.函数的图象在处的切线方程为，则__________.
15.已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布，且，现从该批零件中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则__________.
16.已知分别为双曲线的左 右焦点，为双曲线上第一象限内一点，且关于的平分线的对称点恰好在上，则的离心率为__________.
四 解答题（共6小题，共70分）
17.数列中，.
（1）求证：为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）求满足的的最大值.
18.中，内角所对的边分别为.
（1）求；
（2）如图，为边上一点，，求的面积.
19.如图所示的几何体由等高的个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且四点共面.
（1）证明：平面.
（2）若直线与平面所成角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
20.中国在第75届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于2030年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取2060年之前实现碳中和（简称“双碳目标”），此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化.新能源汽车 电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用.为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量（单位：万台）关于（年份）的线性回归方程为，且销量的方差，年份的方差为.
（1）求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
（2）该机构还调查了该地区100位购车车主性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
购买非电动汽车 购买电动汽车 总计
男性 30 20 50
女性 15 35 50
总计 45 55 100
能否有的把握认为购买电动汽车与性别有关？
（3）在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取11人，再从这11人中随机抽取2人，记这2人中，男性的人数为，求的分布列和数学期望.
参考公式；（i）线性回归方程：，其中；
（ii）相关系数：，若，则可判断与线性相关较强；
（iii），其中.
附表：
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
21.已知椭圆过点为左顶点，且直线的斜率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设在椭圆内部，在椭圆外部，过作斜率不为0的直线交椭圆于两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.
22.已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程.
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
福州市部分中学2023-2024学年高三上学期期中检测
数学
参考答案与试题解析
一 单选题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.【解答】复数，则，
故选：.
2.【解答】集合，则，故选：.
3.【解答】因为，所以故选：.
4.【解答】函数在区间单调递增，
在区间上恒成立，，而在区间上单调递减，，
在单调递增的一个充要条件是：，
故选：.
5.【解答】设“衰分比”为，则甲分得，丙分得，故，解得，故选：A.
6.【解答】函数是奇函数，排除选项，时，，函数图象对应点在轴的下方，
故选：.
7.【解答】每个区域种不同颜色的花，有种方法，
这9个区域中相邻的区域有9个，
所以红色 白色种在相邻区域有种方法，
所以红色 白色在不相邻（没有公共边）区域的概率为，
故选：.
8.【解答】作出函数图像如图所示：令，则可化为，若有6个根，可知方程在上有2个不相等的实根，不妨设，
则，
解得，
故，
故选：.
二 多选题（共4小题，每小题5分，共20分）
9.【解答】对于选项：因为，
当且仅当，即时取等号，解得，，即的最大值正确；
对于选项：，当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为正确；
对于选项：因为，故正确；
对于选项：，当且仅当且，
即时取等号，此时取得最小值错误.
故选：.
10.【解答】对于选项：抛物线的焦点为，故错误；
对于选项：过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，
设的方程为，与联立消去整理得恒成立.
设，则，
，故正确；
对于选项：，根据抛物线定义得，则，
而由中点坐标公式得点的纵坐标，即为点到轴的距离为，故正确；
对于选项：由得，又，
当，解得，则直线的倾斜角为，
当，解得，则直线的倾斜角为，故错误.
故选：.
11.【解答】对于选项：因为，故不是的周期，故错误；
对于选项：因为，因为，故上必存在的区间，此时为减函数，故错误；
对于选项：易知，，即该函数的最小正周期为，设，
令得，，或-1，所以，或，或，
此时，故最大值为，故正确，
对于选项：由于时，在的两侧附近同号，故不是极值点，
而时，在该两点两侧附近异号，故，或是极值点，故正确.故选：.
12.【解答】对于选项：四边形为正方形，，
平面平面，
又平面平面
平面正确；
对于选项：将底面和侧面沿展开到同一平面，
则三点共线且错误.
对于选项：以为坐标原点，正方向为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，则，
设平面的法向量，则，
令，解得：，
设，则，
，
若与平面所成的角为，
则，方程无解，
与平面所成的角不能为错误；
对于选项：平面平面平面，
又点到平面的距离即为，
正确；
故选：.
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分））
13.【解答】角的终边经过点.
故答案为：.
14.【解答】函数的图象在处的切线方程为，又，
故答案为：-2.
15.【解答】解：由正态分布的对称性可知，，故1件产品的质量指标值位于区间的概率，则，故.
故答案为：0.48.
16.【解答】解：由题意，在中，
关于的平分线的对称点恰好在上，三点共线，且，
.设，
根据双曲线定义可得，
解得，即.
在中，根据勾股定理可得，，解得，
又的离心率为.
故答案为：.
四 解答题（共6小题，共70分）
17.【解答】（1）证明：，
又数列是以3为首项，2为公差的等差数列，
（2）由（1）知，，
，
，
的最大值为8
18.【解答】（1）.
由正弦定理可得，
，
，
则.
（2），
又，在中，由余弦定理，可得
即，
解得，
又.
19.【解答】（1）取弧的中点，连结，
则，所以，
因为，所以四边形为平行四边形，
又因为平面，所以，
平面平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设，因为直线与平面所成角为，
则，
设平面的法向量为，
由可得：，令，则，
同理可得：平面的法向量为，
则，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
20.【解答】（1）.
所以，故与线性相关较强.
（2）零假设为：购买电动汽车与车主性别相互独立，即购买电动汽车与车主性别无关，
所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
（3）11人中，男性车主人，女性车主人，
则的可能取值为，
故，
故的分布列为：
0 1 2
.
21.【解答】（1）由题意：，
由题意可得，
解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设直线的方程为：，
与椭圆联立方程组，消去得，
记，则且，
若，则
，
（定值），
综上：为定值4.
22.【解答】（1）函数，则，
所以，切线的斜率为，
又，故切点为，
所以曲线在点（1）处的切线方程为，
即；
（2）对恒成立，
即对恒成立，
令，函数的定义域为，
则，
令，则，令，解得，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以当时，取得最小值，故，
又当时，，所以，
则当时，可得，当时，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则当时，取得最大值，
所以，
故实数的取值范围为.
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