第28章 锐角三角函数 单元测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第28章 锐角三角函数 单元测试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 868.9KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-20 23:46:02 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
2023-2024学年人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 单元测试题
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，，，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（3分）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
7．（3分）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分） 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC=300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（ ）(结果保留整数．参考数据：
A．280m B．300m C．325m D．340m
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）计算： ．
12．（3分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
13．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度是 （结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）.（参考数据：，）
14．（3分）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
15．（3分）如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝14m，则桥长AB＝ m（结果精确到1m）．
16．（3分）在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
17．（3分）已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
18．（3分）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°.若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 m.（结果精确到1m）.（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）
三、解答题(共8题；共66分)
19．（7分）先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
20．（7分）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
21．（7分）如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。
22．（7分）动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
23．（8分）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝ ，求tan∠DBC的值.
24．（8分）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为.求建筑物AB的高度（结果精确到米）.（参考数据：，，）
25．（10分）小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角，他向前走了后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，，）
26．（12分）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA=.
故答案为：C.
【分析】直接根据三角函数的概念进行判断.
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
令y=kx+4中的x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4.
∵S△OBC=4，
∴OC·BD=4，
∴BD=2.
∵tan∠BOC=，
∴OD=6，
∴B（2，6）.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴m=2×6=12.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，易得C（0，4），则OC=4，根据三角形的面积公式可得BD的值，利用三角函数的概念可得OD，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长AD、BC交于点E
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°.
∵∠B=90°，
∴∠E=30°，∠ADC=90°，
∴AE=2AB=4.
∵∠ADC=90°，CD=1，
∴DE=CD÷tan∠E=，
∴AD=AE-DE=4-.
故答案为：B.
【分析】延长AD、BC交于点E，由圆内接四边形的性质可得∠A=60°，则∠E=30°，∠ADC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE，根据三角函数的概念可得DE，然后根据AD=AE-DE进行计算.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
则AD=，
BD=，
AB=，
∴BD2+AD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BAC=．
故答案为：A．
【分析】 首先构造以∠BAC为锐角的直角三角形，然后利用余弦的定义即可求解．
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，
由题意得：AM=30m，BD=36m，
∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴BM=AM×tan30°=30×=m，
∴AC=MD=BD-BM=（36-）m．
∴甲楼高为（36-）米．
故答案为：D．
【分析】 过点A作AM⊥BD于点M，利用三角函数求出BM的长，再求出乙楼的高AC=MD=BD-BM
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵，
∴∠A=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°；
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=60°，
解之：∠OBD=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABC中
即，
解之：，
设OD=x，则AO=12-x，
∴12-x=2x，
解之：x=4，
∴OD=4
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】利用切线的性质可证得∠ADO=90°，利用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，可求出∠A=30°，∠AOD=60°，利用三角形的外角的性质和角平分线的定义求出∠ABC的度数，可证得∠C=90°；再利用解直角三角形求出AC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，即可得到AD的长.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接 ，过O作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D；
【分析】连接 ，过O作 交 于点D，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BOD=∠COD=60°，∠BDO=90°，根据解直角三角形求出BD的长，即得BC的长，再证△ABC是等边三角形，即得AB的长，利用弧长公式即可求解.
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，∵∠CBE=37°，BC=300，
∴sin∠CBE=，
即，
解得CE=180m，
∵EF=BD=100m，
∴CF=CE＋EF=180＋100=280m；
故答案为：A．
【分析】结合，求出CE的长，再结合EF=BD=100m，利用线段的和差求出CF=CE＋EF=180＋100=280m即可。
11．【答案】-1
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
原式，
，
故答案为：-1.
【分析】先计算立方根、三角函数和零指数幂，再进行有理数加减运算.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
13．【答案】1.66
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：，
∵在中， ，
∴
∵，即
∴.
故答案为：1.66.
【分析】画出示意图，由题意可得CE=AE=DF=6m，CD=EF=4.20m，由三角函数的概念可得BF，根据线段的和差关系可得AB=EF+BF-AE，据此计算.
14．【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
15．【答案】24
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，
，
∴.
故答案为：24
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB的长.
16．【答案】或
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，，
∴，即：，
∴，
当D在之间时，，
∴的面积为；
当D在延长线上时，
∴的面积为
故答案为：或.
【分析】利用解直角三角形求出BD的长，当点D在BC之间时，根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；当点D在BC的延长线上时，根据BC=BD-CD，代入计算求出BC的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
17．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
如图，当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=AE+DE=5，
∴tan∠DAC=；
如图，当点E在DA的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=，
∴tan∠DAC=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，②当点E在DA的延长线上时，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠DCE，由等角对等边得DE=CD=4，再分别求出AD的长，然后利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠DAC的值.
18．【答案】3
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形，
∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7，
设OE＝x，AE＝BF＝y，
在Rt△AOE中，tan42°＝，
∴，
在Rt△BOF中，tan35°＝，
∴，
联立方程，可得，，
解得，，
∴AD＝AE+ED＝≈3.
故答案为：3.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得四边形AEFB、OCDE是矩形，则AB=EF=0.45，OC=ED=1.7，设OE＝x，AE＝BF＝y，根据三角函数的概念可得，，联立求出x、y的值，然后根据AD＝AE+ED进行计算.
19．【答案】解：原式===a-1
∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0
∴a≠1，a≠-1且a≠0
又sin30°=，=-2
∴a可取或-2
当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3）
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，根据负整数指数幂的运算性质可得(-)-1=-2，然后选取一个使分式有意义的a的值代入计算即可.
20．【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
21．【答案】 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵BC=6 ，∠BCA=45°
∴BE=EC=6
又∠A=60°
∴tan60°=
∴AE=2
∴AC=2 +6
又AD=4
∴CD=AC-AD=2 +6-4=2 +2（千米）
答：河宽CD的长是（2 +2）千米。
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据等腰直角三角形的性质得出BE=EC=6，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan60°= 即可算出AE的长，进而根据线段的和差即可算出CD的长。
22．【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】 由题意可得：∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=104(cm)，然后根据∠ACE正弦函数的概念进行计算.
23．【答案】解：∵cotA＝ ，
∴设AE＝3x，ED＝4x，
∴由勾股定理可知：AD＝5x，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝CD＝4x，
在RtABC中
cotA＝ ＝ ，
∴BC＝12x，
∴tan∠DBC＝ ＝ .
故答案为tan∠DBC＝ .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝ ，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案.
24．【答案】解：由题意可得：，，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，即建筑物AB的高度为14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由∠C及∠ADB的正切函数可得 ，， 进而根据CD=BC-BD建立方程，求解可得AB的长.
25．【答案】解：如图，连接并延长，交于点E，
由题意可知，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小瑞家到地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接并延长，交于点E，先利用解直角三角形的方法求出AE和DE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。
26．【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
2023-2024学年人教版九年级数学下册 第28章 锐角三角函数 单元测试题
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）在中，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点C，与反比例函数，在第一象限内的图像交于点B，连接，若，，则m的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．（3分）如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，，，则AD的长为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（3分）在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为，则甲楼高度为（ ）
A． 米 B．米 C．米 D．米
7．（3分）如图，在中，是边上的点，以为圆心，为半径的与相切于点，平分，，，的长是（ ）
A． B．2 C． D．
8．（3分） 如图，某校教学楼与的水平间距，在教学楼的顶部点测得教学楼的顶部点的仰角为，测得教学楼的底部点的俯角为，则教学楼的高度是（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则扇形中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C．已知BC=300m，且BC段的运行路线与水平面的夹角为37°，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（ ）(结果保留整数．参考数据：
A．280m B．300m C．325m D．340m
二、填空题(共8题；共24分)
11．（3分）计算： ．
12．（3分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC= ．
13．（3分）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长度是 （结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）.（参考数据：，）
14．（3分）某校九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在A处测得新教学楼房顶B点的仰角为45°，走6米到C处再测得B点的仰角为55°，已知O、A、C在同一条直线上，则新教学楼的高度OB是 米.（结果根据“四舍五入”法保留小数点后两位）（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
15．（3分）如图，河岸AD，BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A，B，夹角∠BCA＝60°，测得BC＝14m，则桥长AB＝ m（结果精确到1m）．
16．（3分）在中，，是边上的高，，，则的面积为 .
17．（3分）已知在矩形ABCD中，点E在直线AD上，CE平分∠BCD，若CD=4，AE=1，连接AC，则tan∠DAC的值为 ．
18．（3分）在数学实践活动课上，某兴趣小组测量操场上篮球筐距地面的高度如图所示，已知篮球筐的直径AB约为0.45m，某同学站在C处，先仰望篮球筐直径的一端A处，测得仰角为42°，再调整视线，测得篮球筐直径的另一端B处的仰角为35°.若该同学的目高OC为1.7m，则篮球筐距地面的高度AD大约是 m.（结果精确到1m）.（参考数据：tan42°≈0.9，tan35°＝0.7，tan48°≈1.1，tan55°≈1.4）
三、解答题(共8题；共66分)
19．（7分）先化简，然后再从sin30°，1，这三个数中选取一个你认为合适的数作为a的值代入求值.
20．（7分）已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，AC=10，求△ABC的面积。
21．（7分）如图所示，A、B、C为三个村庄，AB、BC、AD为公路，CD为河宽，现在要从D处开始铺设通往村庄C的一条地下电缆，A、C、D三点共线，经测量得，BC=6 千米，AD=4千米，∠A=60°，∠BCA=45°，请求出河宽CD的长（结果保留根号）。
22．（7分）动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60）
23．（8分）如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在AC、AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，cotA＝ ，求tan∠DBC的值.
24．（8分）如图，建筑物AB垂直于地面，测角机器人先在C处测得A的仰角为，再向着B前进6米到D处，测得A的仰角为.求建筑物AB的高度（结果精确到米）.（参考数据：，，）
25．（10分）小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角，他向前走了后到达点D处时，看到自己家窗户A的仰角，小瑞的身高，求小瑞家到地面的高度．（结果取整数，参考数据：，，，，，，）
26．（12分）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值.
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以.
又因为，所以最小值为 .
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值.
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求的最小值.
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 .
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴sinA=.
故答案为：C.
【分析】直接根据三角函数的概念进行判断.
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵cos∠B=，∠B=35°，AB=7，
∴BC=AB·cos∠B=7cos35°.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的概念可得cos∠B=，据此解答.
3．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；三角形的面积；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥y轴于点D，
令y=kx+4中的x=0，得y=4，
∴C（0，4），
∴OC=4.
∵S△OBC=4，
∴OC·BD=4，
∴BD=2.
∵tan∠BOC=，
∴OD=6，
∴B（2，6）.
∵点B在反比例函数y=的图象上，
∴m=2×6=12.
故答案为：D.
【分析】过点B作BD⊥y轴于点D，易得C（0，4），则OC=4，根据三角形的面积公式可得BD的值，利用三角函数的概念可得OD，据此可得点B的坐标，然后代入y=中就可求出m的值.
4．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；圆内接四边形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：延长AD、BC交于点E
∵∠BCD=120°，
∴∠A=60°.
∵∠B=90°，
∴∠E=30°，∠ADC=90°，
∴AE=2AB=4.
∵∠ADC=90°，CD=1，
∴DE=CD÷tan∠E=，
∴AD=AE-DE=4-.
故答案为：B.
【分析】延长AD、BC交于点E，由圆内接四边形的性质可得∠A=60°，则∠E=30°，∠ADC=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得AE，根据三角函数的概念可得DE，然后根据AD=AE-DE进行计算.
5．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BD．
则AD=，
BD=，
AB=，
∴BD2+AD2=AB2，
∴∠ADB=90°，
∴cos∠BAC=．
故答案为：A．
【分析】 首先构造以∠BAC为锐角的直角三角形，然后利用余弦的定义即可求解．
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BD于点M，
由题意得：AM=30m，BD=36m，
∵在Rt△ABM中，∠BAM=30°，
∴BM=AM×tan30°=30×=m，
∴AC=MD=BD-BM=（36-）m．
∴甲楼高为（36-）米．
故答案为：D．
【分析】 过点A作AM⊥BD于点M，利用三角函数求出BM的长，再求出乙楼的高AC=MD=BD-BM
7．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；解直角三角形；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AC是圆O的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∵，
∴∠A=30°，
∴∠AOD=90°-30°=60°；
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠AOD=∠OBD+∠ODB=60°，
解之：∠OBD=30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠OBD=2×30°=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-30°-60°=90°，
在Rt△ABC中
即，
解之：，
设OD=x，则AO=12-x，
∴12-x=2x，
解之：x=4，
∴OD=4
∴，
∴.
故答案为：A
【分析】利用切线的性质可证得∠ADO=90°，利用锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值，可求出∠A=30°，∠AOD=60°，利用三角形的外角的性质和角平分线的定义求出∠ABC的度数，可证得∠C=90°；再利用解直角三角形求出AC的长，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可求出OD的长，即可得到AD的长.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点作，垂足为，
由题意得：
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
米，
故答案为：A.
【分析】过点C作CE⊥AB，垂足为E，由题意可得CE=BD=a米，根据三角函数的概念可得BE、AE，然后根据AB=AE+BE进行计算.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接 ，过O作 交 于点D，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D；
【分析】连接 ，过O作 交 于点D，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质可得BD=CD，∠BOD=∠COD=60°，∠BDO=90°，根据解直角三角形求出BD的长，即得BC的长，再证△ABC是等边三角形，即得AB的长，利用弧长公式即可求解.
10．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：在Rt△BCE中，∵∠CBE=37°，BC=300，
∴sin∠CBE=，
即，
解得CE=180m，
∵EF=BD=100m，
∴CF=CE＋EF=180＋100=280m；
故答案为：A．
【分析】结合，求出CE的长，再结合EF=BD=100m，利用线段的和差求出CF=CE＋EF=180＋100=280m即可。
11．【答案】-1
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
原式，
，
故答案为：-1.
【分析】先计算立方根、三角函数和零指数幂，再进行有理数加减运算.
12．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD.
∵AB=AC=5，BC=8，
∴BD=CD=4，
∴AD==3.
∵∠BAD=∠CAD， ∠BPC=∠BAC
∴∠BPC=∠BAD，
∴tan∠BPC=tan∠BAD=.
故答案为：.
【分析】过点A作AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得∠BAD=∠CAD，BD=CD=4，利用勾股定理可得AD，结合∠BPC=∠BAC可得∠BPC=∠BAD，然后利用三角函数的概念进行计算.
13．【答案】1.66
【知识点】矩形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得：，
∵在中， ，
∴
∵，即
∴.
故答案为：1.66.
【分析】画出示意图，由题意可得CE=AE=DF=6m，CD=EF=4.20m，由三角函数的概念可得BF，根据线段的和差关系可得AB=EF+BF-AE，据此计算.
14．【答案】19.95
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△AOB中，∠A=45°，
∴OA=OB.
∵AC=6，
∴OC=(OB-6)米.
∵Rt△COB中，∠BCO=55°，
∴tan∠BCO=，
∴≈1.43，
解得OB≈19.95.
故答案为：19.95.
【分析】分别在Rt△AOB、Rt△COB中，根据三角函数的概念可得OA=OB，则OC=(OB-6)米，然后根据∠BCO正切函数的概念进行求解.
15．【答案】24
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BCA＝60°，
，
∴.
故答案为：24
【分析】在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出AB的长.
16．【答案】或
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
∵在中，，，
∴，即：，
∴，
当D在之间时，，
∴的面积为；
当D在延长线上时，
∴的面积为
故答案为：或.
【分析】利用解直角三角形求出BD的长，当点D在BC之间时，根据BC=BD+CD，代入计算求出BC的长，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积；当点D在BC的延长线上时，根据BC=BD-CD，代入计算求出BC的长，然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
17．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
如图，当点E在线段AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=AE+DE=5，
∴tan∠DAC=；
如图，当点E在DA的延长线上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠BCE=∠DEC，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠DCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=CD=4，
∴AD=DE-AE=3，
∴tan∠DAC=，
∴tan∠DAC=或.
故答案为：或.
【分析】分两种情况讨论：①当点E在线段AD上时，②当点E在DA的延长线上时，根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠DCE，由等角对等边得DE=CD=4，再分别求出AD的长，然后利用锐角三角函数的定义即可求出tan∠DAC的值.
18．【答案】3
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图：
由题意可得四边形AEFB是矩形，四边形OCDE是矩形，
∴AB＝EF＝0.45，OC＝ED＝1.7，
设OE＝x，AE＝BF＝y，
在Rt△AOE中，tan42°＝，
∴，
在Rt△BOF中，tan35°＝，
∴，
联立方程，可得，，
解得，，
∴AD＝AE+ED＝≈3.
故答案为：3.
【分析】对图形进行点标注，由题意可得四边形AEFB、OCDE是矩形，则AB=EF=0.45，OC=ED=1.7，设OE＝x，AE＝BF＝y，根据三角函数的概念可得，，联立求出x、y的值，然后根据AD＝AE+ED进行计算.
19．【答案】解：原式===a-1
∵a-1≠0，a+1≠0且a≠0
∴a≠1，a≠-1且a≠0
又sin30°=，=-2
∴a可取或-2
当a=时，原式=-1=-（当a=-2时，原式=-2-1=-3）
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】对括号中的式子进行通分，对括号外分式的分母进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得sin30°=，根据负整数指数幂的运算性质可得(-)-1=-2，然后选取一个使分式有意义的a的值代入计算即可.
20．【答案】解：∵，
设BC=2x，AB=3x
∴
解得x1= （舍去），x2=
∴BC= AB=
∴S△ABC=
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 设BC=2x，AB=3x，根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，从而得出BC的长，再根据三角形的面积公式进行计算，即可得出答案.
21．【答案】 解：过点B作BE⊥AC，垂足为E，
∵BC=6 ，∠BCA=45°
∴BE=EC=6
又∠A=60°
∴tan60°=
∴AE=2
∴AC=2 +6
又AD=4
∴CD=AC-AD=2 +6-4=2 +2（千米）
答：河宽CD的长是（2 +2）千米。
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC，垂足为E，根据等腰直角三角形的性质得出BE=EC=6，根据正切函数的定义及特殊锐角三角函数值，由tan60°= 即可算出AE的长，进而根据线段的和差即可算出CD的长。
22．【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)，
∵sin∠ACE=，即sin58°=，
∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)，
∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】 由题意可得：∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=104(cm)，然后根据∠ACE正弦函数的概念进行计算.
23．【答案】解：∵cotA＝ ，
∴设AE＝3x，ED＝4x，
∴由勾股定理可知：AD＝5x，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴ED＝CD＝4x，
在RtABC中
cotA＝ ＝ ，
∴BC＝12x，
∴tan∠DBC＝ ＝ .
故答案为tan∠DBC＝ .
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设AE=3x，ED=4x，由勾股定理可知：AD=5x，根据角平分线的性质可知ED=CD=4x，再根据cotA＝ ＝ ，所以BC=12x，再根据锐角三角函数即可求出答案.
24．【答案】解：由题意可得：，，，，
∴，，
∴，，
∴，
解得：，即建筑物AB的高度为14米.
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】由∠C及∠ADB的正切函数可得 ，， 进而根据CD=BC-BD建立方程，求解可得AB的长.
25．【答案】解：如图，连接并延长，交于点E，
由题意可知，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
答：小瑞家到地面的高度为．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】连接并延长，交于点E，先利用解直角三角形的方法求出AE和DE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。
26．【答案】解：[问题解决]；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC
，，
，
，
，，
，
过点C作于D，
sin，
，，
在中，，
最小值为；
[能力提升]
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，
故答案为：；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，
，，
，
，
连接DE，DF，
由，
点E，F到BD，CD的距离相等，
DE，DF是△BDC的内，外角平分线，
，
点D是平面内任意一点，
点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，
，EO=3，
在中，，
，
，
，
△ABD面积的最大值为，
故答案为：.
【分析】（1） [问题解决] 在OA上取一点C，使OC=1，则，又∠COP=∠POA，得△COP ∽△POA，则，得，故，又
从而利用勾股定理算出答案；
（2） [尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连接PO，PC，AC ，利用两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得△POC∽△BOP，根据相似三角形对应边成比例得 ， 故可得， 过点C作CD⊥OA于D， 由正弦函数定义求的CD的长，在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AC的长即可得出答案；
（3） [能力提升] 在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则CE=2，CF=4，易得；连接DE，DF，根据同高三角形面积之比等于底之比可得点E，F到BD，CD的距离相等，根据角平分线定理得DE，DF是△BDC的内，外角平分线，则可得∠EDF=90°，根据圆周角定理得点D在以EF为直径的圆O上，过点O作DG⊥AB交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时△ABD的面积最大，在Rt△BOG中，由正弦函数的定义求出OG，最后根据三角形面积计算公式算出△ABD的面积即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)