仁怀市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一．选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈Z}，则A B＝（ ）
A．{0，1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{0，1，2} D．{x|﹣1＜x≤2}
2．已知复数z满足z（1+3i）＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝4，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
4．已知α的终边上有一点P（1，3），则cos（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．为支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免，现调查了当地100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）
A．a的值为0.0016
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小型企业年收入的平均数超过400万元
D．样本在区间[500，700]内的频数为18
6．已知平面向量，，若与共线，则实数x＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
7．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．1012
8．在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
二．多选题（本题共4小题，，每小题5分，共20分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为（1，2） B．半径为2
C．圆C与直线3x+4y+5＝0相离 D．圆C被直线x＝0所截弦长为
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．
C．f（x）的图象关于直线对称
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
11．若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）
A．当时，EP∥平面AB1C
B．当时，|PE|取得最小值，其值为
C．|PA|+|PC|的最小值为
D．当C1∈平面CEP时，
三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线过点（2，3），它在y轴上的截距为4，则此直线的方程为 ．
14．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，则两圆公共弦所在直线的方程为 ．
15．如图，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 .
16．在平面坐标系中，动点P和点M（﹣3，0）、N（3，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为 ．
四．解答题（本题共6小题，共70分.期中17题10分，其余每小题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．
（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；
（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（c+2b）cosA+acosC＝0．
（1）求角A的值；
（2）若a＝14，c＝6，求△ABC的面积．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的半径为1，圆心既在直线y＝2x﹣4上，也在直线y＝x﹣1上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点A（2，4）作圆C的切线，求切线的方程．
如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，
E、M、N分别是BC、BB1、A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求直线AM与平面C1DE所成角的正弦值．
21.如图，在四棱锥中，底面四边形是平行四边形，平面，且，的中点为．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．已知定点A（1，﹣3），点B为圆（x+1）2+（y+1）2＝4上的动点．
（1）求AB的中点C的轨迹方程；
（2）若过定点的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线l的方程．仁怀市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学（答案）
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈Z}，则A B＝（ ）
A．{0，1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{0，1，2} D．{x|﹣1＜x≤2}
【分析】计算B＝{0，1，2，3}，再计算交集得到答案．
【解答】解：B＝{x|x2﹣3x﹣4＜0，x∈Z}＝{x|﹣1＜x＜4，x∈Z}＝{0，1，2，3}，
A＝{x|﹣1≤x≤2}，A B＝{0，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，是基础题．
2．已知复数z满足z（1+3i）＝2i，则|z|＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
【解答】解：z（1+3i）＝2i，
则|z|＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，a＝5，b＝4，则sinB＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】先求出，在由正弦定理可得：，代入即可得出答案．
【解答】解：因为，则，
所以由正弦定理，得．
故选：C．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．
4．已知α的终边上有一点P（1，3），则cos（π+α）的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式计算．
【解答】解：因为α的终边上有一点P（1，3），
所以，
可得．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5．为支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当减免，现调查了当地100家中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下面结论正确的是（ ）
A．a的值为0.0016
B．样本的中位数大于400万元
C．估计当地中小型企业年收入的平均数超过400万元
D．样本在区间[500，700]内的频数为18
【分析】由频率分布直方图的数据，先求出样本在区间[500，700]内的频率，再利用样本容量、频率、频数的关系求解，利用频率分布直方图中位数和平均数的求解方法，即可选出答案．
【解答】解：由频率分布直方图可得，100×（0.001+0.002+0.0026×2+a+0.0004）＝1，解得a＝0.0014，故选项A错误；
所以样本在区间[500，700]内的频数为100×（0.0014+0.0004）×100＝18，故选项D正确．
100×（0.001+0.002+0.0026）＝0.56＞0.5，故中位数再[300，400]之间，设中位数为x，
则有（x﹣300）×0.0026＝0.2，解得x≈377＜400，故选项B错误；
收入的平均数为150×0.1+250×0.2+350×0.26+450×0.26+550×0.14+650×0.04＝376＜400，故选项C错误．
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图的理解和应用，主要考查了利用频率分布直方图求解频率、频数、平均数、中位数等，属于基础题．
6．已知平面向量，，若与共线，则实数x＝（ ）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
【分析】由向量共线的坐标运算可得关于x的方程，求解即可．
【解答】解：因为，，
所以+＝（﹣2，x﹣1），
因为与共线，所以﹣4（x﹣1）＝﹣2x，
解得x＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量共线的坐标运算，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
7．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．1012
【分析】由奇函数f（x），满足f（x+1）是偶函数，可得函数f（x）的周期为4，分别求解f（0），f（1），f（2），f（3），从而可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）的值．
【解答】解：已知定义在R上的奇函数f（x），所以f（x）＝﹣f（﹣x）①，
且f（0）＝0，又f（x+1）是偶函数，所以f（x+1）＝f（﹣x+1），即f（x）＝f（2﹣x）②，
所以f（2）＝f（0）＝0，由①②可得：﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），
所以﹣f（2﹣x）＝f（4﹣x），则f（﹣x）＝f（4﹣x），则函数f（x）的周期为4，
当x∈（0，1]时，f（x）＝x2，则f（1）＝1，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1＝f（3），
所以f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2023）＝506[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）]＝0．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运算，属于中档题．
8．在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PC＝2，AC＝4，∠ABC＝90°，平面PAC⊥平面ABC，若三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（ ）
A． B．3 C． D．4
【分析】首先根据三棱锥体和球体的关系求出球心的位置，进一步求出球的半径．
【解答】解：取AC的中点为O1，连接PO1，
如图所示：
因为，，所以PO1⊥AC，；
又因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，
所以PO1⊥平面ABC，又∠ABC＝90°，
则球心O在直线PO1上，
连接OA，所以，
故球O的半径为3．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三棱锥体和球体的关系，球的半径的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
9．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0，下列说法正确的是（ ）
A．圆心为（1，2）
B．半径为2
C．圆C与直线3x+4y+5＝0相离
D．圆C被直线x＝0所截弦长为
【分析】把方程化为圆的标准方程，求得圆心坐标和半径，可判定A错误，B正确；由点到直线的距离公式，可判定C错误；根据圆的弦长公式，可判定D正确．
【解答】解：将圆C：x2+y2+2x﹣4y+1＝0化为标准方程得（x+1）2+（y﹣2）2＝4，
可知圆心C（﹣1，2），半径R＝2，故A错误，B正确；
由圆心C（﹣1，2）到直线3x+4y+5＝0的距离，
即R＝d，直线与圆相切，故C错误；
圆心C（﹣1，2）到直线x＝0的距离为d1＝1，
由圆的弦长公式，可得，所以D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．
C．f（x）的图象关于直线对称
D．将f（x）的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于y轴对称
【分析】根据函数f（x）的图象，求得函数的解析式为，结合三角函数的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：由函数f（x）的图象，可得A＝2，T＝2×（﹣）＝，
所以ω＝＝2，函数f（x）＝2cos（2x+φ），
因为，所以，
即，解得，即，
因为|φ|＜，所以，函数，选项A正确，选项B错误；
由，所以是函数f（x）的图象的对称轴，选项C正确；
将的图象向右平移个单位长度，
可得，
此时函数g（x）的图象关于原点对称，不关于y轴对称，选项D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11．若向量，满足，，则（ ）
A．
B．与的夹角为
C．
D．在上的投影向量为
【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，判断向量垂直，求解投影向量即可得结论．
【解答】解：选项A，由，
可得，故A错误；
选项B，又，因为＜＞∈[0，π]，
所以，即与的夹角为，故B正确；
选项C，又，所以，故C正确；
选项D，在上的投影向量为＝＝﹣，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
12．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为边AD的中点，点P为线段D1B上的动点，设D1P＝λD1B，则（ ）
A．当时，EP∥平面AB1C
B．当时，|PE|取得最小值，其值为
C．|PA|+|PC|的最小值为
D．当C1∈平面CEP时，
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算判断BC；确定直线D1B与平面CEP交点的位置判断D作答．
【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），E（1，0，0），
所以，则点P（2λ，2λ，2﹣2λ），
对于A，，，，而，
显然，即是平面AB1C的一个法向量，
而，因此不平行于平面AB1C，即直线EP与平面AB1C不平行，A错误；
对于B，，则，
因此当时，|PE|取得最小值，B正确；
对于C，，
于是，当且仅当时取等号，C正确；
对于D，取A1D1的中点F，连接EF，C1F，CE，如图，
因为E为边AD的中点，则EF∥DD1∥CC1，当C1∈平面CEP时，P∈平面CEFC1，
连接B1D1∩C1F＝Q，连接BD∩CE＝M，连接MQ，显然平面CEFC1∩平面BDD1B1＝MQ，
因此MQ∩D1B＝P，BB1∥CC1，CC1 平面CEFC1，BB1 平面CEFC1，则BB1∥平面CEFC1，
即有MQ∥BB1，而，
所以，D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理，考查了利用空间向量求空间中的距离问题，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．已知直线过点（2，3），它在y轴上的截距为4，则此直线的方程为 y＝﹣x+4 ．
【分析】由题意可得直线的斜率，进而求出直线的方程．
【解答】解：由题意可得直线过的点的坐标为（2，3），（0，4），所以直线的斜率为＝﹣，
所以直线的方程为：y＝﹣x+4．
故答案为：y＝﹣x+4．
【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．
14．已知圆C1：x2+y2＝1，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，则两圆公共弦所在直线的方程为 x+y﹣1＝0 ．
【分析】两圆方程直接作差即可得到公共弦的方程．
【解答】解：由（x﹣2）2+（y﹣2）2＝5，得x2+y2﹣4x﹣4y+3＝0，
∵圆C1：x2+y2＝1，
∴两式作差得﹣4x﹣4y+3＝﹣1，得x+y﹣1＝0，
即公共弦的方程为x+y﹣1＝0，
故答案为：x+y﹣1＝0．
【点评】本题主要考查圆与圆的位置关系，直接利用作差法得到公共弦的方程是解决本题的关键，是基础题．
15．如图，直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值为 .
【分析】建立空间直角坐标系，不妨设，写出对应点的坐标，利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】由题意可知：两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，
不妨设，因为分别是的中点，
则，，，，
则，，设直线与所成的角为，
所以，
所以与所成角的余弦值为，
故答案为：.
16．在平面坐标系中，动点P和点M（﹣3，0）、N（3，0）满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为 y2＝﹣12x ．
【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得．
【解答】解：设P（x，y），
又M（﹣3，0）、N（3，0），
则，
由得，
化简得y2＝﹣12x．
故答案为：y2＝﹣12x．
【点评】本题考查了轨迹方程的求法，属中档题．
四．解答题（共6小题）
17．已知平面内两点A（8，﹣6），B（2，2）．
（Ⅰ）求过点P（2，﹣3）且与直线AB平行的直线l的方程；
（Ⅱ）求线段AB的垂直平分线方程．
【分析】（Ⅰ）求出直线的斜率，利用点斜式方程求解即可．
（Ⅱ）求出线段AB的中点坐标，求出斜率然后求解垂直平分线方程．
【解答】解：（Ⅰ）因为，…（2分）
所以由点斜式得直线l的方程4x+3y+1＝0…（4分）
（Ⅱ）因为AB的中点坐标为（5，﹣2），AB的垂直平分线斜率为…（6分）
所以由点斜式得AB的中垂线方程为3x﹣4y﹣23＝0…（8分）
【点评】本题考查直线与直线的位置关系，直线方程的求法，考查计算能力．
18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足（c+2b）cosA+acosC＝0．
（1）求角A的值；
（2）若a＝14，c＝6，求△ABC的面积．
【分析】（1）先用正弦定理边化角，再逆用两角和的正弦公式进行化简即可求解；（2）利用余弦定理求出b边，然后代入三角形面积公式计算．
【解答】解：（1）由（2b+c）cosA+acosC＝0，
根据正弦定理有（2sinB+sinC）cosA+sinAcosC＝0，
所以2sinBcosA+sinCcosA+sinAcosC＝0，
所以2sinBcosA+sin（C+A）＝0，即2sinBcosA+sinB＝0，
因为0＜B＜π，所以sinB≠0，所以，
因为0＜A＜π，所以．
（2）∵cosA＝，
∴﹣＝，
∴b＝10或﹣16（舍），
∴S△ABC＝bcsinA＝×10×6×＝15．
【点评】本题考查了正、余弦定理和三角形面积的计算，属于基础题．
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的半径为1，圆心既在直线y＝2x﹣4上，也在直线y＝x﹣1上．
（1）求圆C的方程；
（2）过点A（2，4）作圆C的切线，求切线的方程．
【分析】（1）根据题意，联立直线y＝2x﹣4与直线y＝x﹣1的方程，求出圆心的坐标，结合圆的标准方程，即可得答案；
（2）根据题意，分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，圆心既在直线y＝2x﹣4上，也在直线y＝x﹣1上，
则有，解可得：，即圆心的坐标为（3，2），
又圆C的半径为1，
圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1；
（2）根据题意，分2种情况讨论：
当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为x＝2；
当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为y﹣4＝k（x﹣2），
即kx﹣y﹣2k+4＝0，则，解得；
此时切线方程为：3x+4y﹣22＝0，
综上所述，所求切线为x＝2或3x+4y﹣22＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．
20.【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得DE⊥AD，以D为原点，以DA，DE，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法可证明，从而得证.
（2）利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接BD，由四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴△BCD是等边三角形，又E是BC的中点，则DE⊥BC，故DE⊥AD，
以D为原点，以DA，DE，DD1为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则
，则,即
又平面ABCD，平面ABCD，
∴平面ABCD．
（2）
设平面C1DE的法向量为，则
即 ，令z＝1可得
设直线AM与平面C1DE所成角为θ，
则
∴直线AM与平面C1DE所成角的正弦值为．
21.【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）通过证明，即可证明
（2）分别求出面和面的法向量即可求出二面角的余弦值.
【小问1详解】
由题意证明如下：在平行四边形中，，
∴，，∴；
在四棱锥中，平面，
∵，∴；
∵，，，∴；
∵，∴；
【小问2详解】
由题意及（1）得，平面，的中点为，
在平行四边形中，，，，
建立空间直角坐标系如下图所示：
由几何知识得，，，，，
在面中，其一个法向量为，在面中，，
设其一个法向量为，∴即，解得：；
当时，，，
二面角的余弦值为：
22．已知定点A（1，﹣3），点B为圆（x+1）2+（y+1）2＝4上的动点．
（1）求AB的中点C的轨迹方程；
（2）若过定点的直线l与C的轨迹交于M，N两点，且，求直线l的方程．
【分析】（1）设点C的坐标为（x，y），由点C为AB的中点，由中点坐标公式得出点B的坐标为（2x﹣1，2y+3），根据点B为圆（x+1）2+（y+1）2＝4上的动点，代入圆的方程，即可求得结果；
（2）由直线圆相交，弦长为，求出圆心到直线的距离，根据点到直线的距离公式求出斜率，即可求得直线的方程．
【解答】解：（1）设点C的坐标为（x，y），则点B的坐标为（2x﹣1，2y+3），
∵点B为圆（x+1）2+（y+1）2＝4上的动点，
∴（2x﹣1+1）2+（2y+3+1）2＝4，即x2+（y+2）2＝1，
∴AB的中点C的轨迹方程为x2+（y+2）2＝1；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝，
此时|MN|＝，满足条件；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1＝k（x﹣），
∵圆的半径r＝1且，∴圆心到直线的距离d＝，
∴d＝＝，解得k＝，
∴直线l的方程为y+1＝（x﹣），即6x﹣8y﹣11＝0；
综上，直线l的方程为x＝或6x﹣8y﹣11＝0．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属中档题．
