1.5 三角函数的应用 课件（20张ppt）

北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
5 三角函数的应用
学习目标
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力.（重点）
2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决.（难点）
如图:点A在O的北偏东 °，点B在点O的南偏西 °(西南方向).
复习回顾
1.解直角三角形需要满足的条件：
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的 个元素(至少有一个是 )后，就可求出其余的元素．
两
边
2.指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角。
3.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 .
30
45
仰角
俯角
北
东
30°
45°
西
南
A
O
B
一、创设情境，引入新知
我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向.
那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？
泰坦尼克号
求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD.
二、自主合作，探究新知
探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题
B
A
C
D
东
北
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行.
【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险.
问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？
55°
25°
20n mile
如何求AD的长呢？
二、自主合作，探究新知
过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x ,
解得
所以，这船继续向东航行没有触礁的危险.
∵BC=BD-CD
x
解：
根据题意可知，∠BAD=55?，∠CAD=25?，BC= 20n mile.
∴
∴
∴x·tan55°-x·25°=20
则在Rt△ABD中，tan∠BAD=????????????????，
?
在Rt△ACD中，tan∠CAD=????????????????，
?
B
A
C
D
东
北
55°
20n mile
25°
可借助计算器求解
探究二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题
想一想：如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m）
二、自主合作，探究新知
分析：求CD，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD.
30°
60°
50m
二、自主合作，探究新知
30°
60°
50m
x
解:如图,根据题意可知,∠A=30?, ∠DBC=60?,AB=50m. 设CD=x,
所以，该塔约有43m高.
∵AB=AC-BC
则在Rt△ACD中，tanA=????????????????，
?
在Rt△BCD中，tan∠DBC=????????????????，
?
∴AC=????????????????????????=????????????????????????????°=????????,
?
∴BC=????????????????????∠????????????=????????????????????????????°=????????????,
?
∴?????????????????????=50，
?
解得x=25????≈????????(m)
?
二、自主合作，探究新知
探究三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题
做一做：某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
分析：如图，①求调整后的楼梯会加长多少，即求 ；
②求楼梯多占多长一段地面，即求 .
AB-BD
AD
在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB-BD和AD.
如何求AB、AD的长呢？
二、自主合作，探究新知
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
解:①如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m.
在Rt△BCD中，sin∠BDC=????????????????，
∴BC=BDsin40°=4sin40°，
在Rt△ABC中，sinA=????????????????,
∴AB=????????????????????????=????????????????????????°????????????????????°≈????×????.????????????????????.????????????????≈????.????????（m），
∴AB-BD≈????.????????-4=0.48（m）
?
∴调整后的楼梯会加长约0.48m.
二、自主合作，探究新知
∴楼梯多占约0.61m长的一段地面.
B
A
D
C
┌
4m
35°
40°
②在Rt△BCD中，cos∠BDC=????????????????,
∴CD=BDcos40°=4cos40°，
在Rt△ABC中，tanA=????????????????,
∴AC=????????????????????????=????????????????????????°????????????????????°，
∴AD=AC-CD=???????????? ????????????°????????????????????°?????????????????????????°≈0.61(m).
?
生活问题数学化
知识要点
二、自主合作，探究新知
实际问题
图形分析
（构造直角三角形）
设未知量
解答问题
（构建三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
数学问题
建立方程
利用三角函数解决实际问题的步骤：
2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）．
A．????????????海里 B．????????????海里 C．50海里 D．50海里
?
三、即学即练，应用知识
D
4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于 （根号保留）．
3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是 ．
三、即学即练，应用知识
1000????m
?
5.如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m)
三、即学即练，应用知识
解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m，
在Rt△CBD中， tan∠CDB＝????????????????，
∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20.
∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20，
∴ 在Rt△BED中，DE＝????????????+????????????＝????????.????????+????????＝????????.????????≈7.96.
答：钢缆ED的长度约为7.96 m.
?
四、课堂小结
利用三角函数解决实际问题的步骤：
生活问题数学化
实际问题
图形分析
（构造直角三角形）
设未知量
解答问题
（构建三角函数模型）
（代入数据求解）
求解方程
数学问题
建立方程
1.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
五、当堂达标检测
100
2.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________.
km
3.如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m，高度为2 m，tan B＝????????，∠ADC＝135°.
（1）求BC的长是多少米.
（2）如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？
?
五、当堂达标检测
解：（1）如图，分别过A，D点作AE⊥BC，DF⊥BC，
则AE＝DF＝2，EF＝AD＝4，
∵ tan B＝????????，AE＝2，∴ BE＝10.
∵ ∠ADC＝135°，∴ ∠CDF＝45°，
∴ CF＝2，∴ BC＝BE+EF+CF＝16（m）.
（2）S梯形ABCD=????????×10×2+4×2+????????×2×2＝20（m2），
V大坝＝20×100＝2 000（m3）.
?
E F
4. 如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？
五、当堂达标检测
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵AD＋BD＝AB，
∴在Rt△BCD中，
在Rt△ACD中，
750－600≈150(km)．
答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km.
∴AC＋BC
＝
(km).
教材习题1.6.　　　　
六、布置作业