5.2 二次函数的图像和性质（第2课时）课件（共31张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第5章 二次函数
5.2　二次函数的图像和性质（2）
第2课时 二次函数y＝ax2性质
学习目标
1.能归纳总结y＝ax?（a≠0）的图像性质；
2.体会数形结合的思想方法.
观察与思考
观察上节课所画的函数 y＝????????x2、 y＝2x2、 y＝-2x2、y＝-????????x2的图像，它们有什么共同的特征，有什么不同的地方？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
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y=2x2
y=????????x2
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y＝-????????x2
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y＝-2x2
小组讨论交流
观察与思考
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y=2x2
y=????????x2
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这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向上，对称轴是y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最低点.
观察与思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
y＝-????????x2
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y＝-2x2
这两个函数的图像都是抛物线，抛物线的开口向下，对称轴是y轴，顶点在原点，顶点是抛物线的最高点.
归纳总结
二次函数y＝ax2的图像的性质1:
(1)二次函数y＝ax?的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴．
(2)当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．
(3)当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点．
思考与探索
1. 观察y＝ax?图像的变化趋势，你还能发现什么？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
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y＝-????????x2
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小组讨论交流
观察与思考
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y=2x2
y=????????x2
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a>0时，y轴左边的图像下降，
y轴右边的图像上升.
观察与思考
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
y＝-????????x2
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y＝-2x2
a<0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降.
观察与思考
2. 如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？
图像“上升”可以用“x增大时，y也增大”来描述
图像“下降”可以用“x增大时，y减小”来描述.
归纳总结
二次函数y＝ax2的图像的性质2:
(1)a>0，
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大；
当x=0时，y的值最小，最小值是0.
(2)a<0，
当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小；
当x=0时，y的值最大，最大值是0.
开口向上，左减右增
开口向下，左增右减
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
讨论与交流
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y＝-????????x2
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y＝-2x2
1. 观察下列图像，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称.
讨论与交流
2. 从二次函数y=????????x2 、y=x2 、y=2x2 、y=-????????x2 、y=-x2 、y=-2x2 的图像看，
抛物线的开口大小与a有什么关系？
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y=????????x2
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y＝-????????x2
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y＝-2x2
y=x2
y=-x2
当a>0时，a越大，开口越小.
当a＜0时，????越大，开口越小.
?
归纳总结
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}y＝ax2
a>0
a<0
图像
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是y轴(直线x＝0)
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；
当x>0时，y随x增大而减小.
y
O
x
y
O
x
新知巩固
1.你能快速说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最大（小）值吗？
（1） y＝－3x?；
（2） y＝????????x? ；
（3） y＝5x? ；
（4） y＝－????????x? ．
?
新知巩固
(1) 对于函数y=????????x2，当x<0时，y随x增大而______；当x>0时，y随x增大而______；当x=___时，y的值最____，最_____值是____.
?
减小
2. 填空：
增大
0
小
小
0
(2) 对于函数y=-7x2，当x<0时，y随x增大而______；当x>0时，y随x增大而______；当x=___时，y的值最____，最_____值是____.
增大
减小
0
大
大
0
新知巩固
3. 如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝????????x2；③y＝x2的图像，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(　　)
A.①②③　　　B.①③② C.②③① D.③②①
?
B
例1 已知函数y=(m+3)????????????+?????????????是关于x的二次函数．
(1)求m的值；
?
解:(1)∵函数y=(m+3)????????????+?????????????是关于x的二次函数，
∴m?+3m-2=2，且m+3≠0，
解得m1=-4，m2=1.
?
例题讲解
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
解:(2)函数图像的开口向下，
∴m+3<0，∴m<-3，
∴当m=-4时，该函数图像的开口向下.
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
(3)∵当m+3>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，∴m>-3，
∴当m=1时,该函数有最小值.
例题讲解
例2 函数y＝ax?(a≠0)与直线y＝2x－3交于点A（1，b）．
求：(1)a与b的值．
(2)求抛物线y＝ax?的解析式，并写出顶点坐标和对称轴．
解：(1)将A（1，b）代入y＝2x－3，得b＝－1；将A（1，－1）代入y＝ax?（a≠0），得a＝－1．
(2) 抛物线y＝－x?，顶点坐标（0，0），对称轴是y轴．
例题讲解
拓展延伸
例3 函数y＝ax2(a>0)的图像上有A(2，y1)，B(3，y2)，C(－1，y3)三个点，比较y1，y2，y3的大小．
解：方法一：由题意知y1＝4a，y2＝9a，y3＝a.
又∵a>0，∴y3方法二：∵函数y＝ax2(a>0)的图像是一条抛物线，且关于y轴对称，点C(－1，y3)在该抛物线上，
∴点(1，y3)也在函数y＝ax2(a>0)的图像上．
∵a>0，∴当x>0时，y随x的增大而增大．
又∵1<2<3，
∴y3归纳总结
比较抛物线上多个点的纵坐标的大小，可以先比较各点到对称轴的距离．
若抛物线开口向上，则离对称轴越近的点的纵坐标越小；
若抛物线开口向下，则离对称轴越近的点的纵坐标越大．
比较抛物线上多个点纵坐标大小的方法：
新知巩固
2.若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1>
1.已知y=(k+2)????????????+?????????是二次函数，且当x＞0时，y随x增大而增大，则k=___.
?
2
3.已知点A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)在抛物线y = ????????????????上，则y1、y2、y3的大小关系是______________.
?
y2＜y3＜y1
课堂小结
二次函数y＝ax2的性质
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
1. 关于函数y=2x2的性质的叙述，错误的是 ( )
A.对称轴是y轴 B.顶点是原点
C.当x＞0时，y随x的增大而增大 D.y有最大值
D
2. 下列函数中，当x>0时y值随x值增大而减小的是 ( )
A. y=x2 B. y=x－1 C. y=????????x D. y=????????
?
D
当堂检测
当堂检测
3.下列说法错误的是( ) A. 二次函数y＝3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大　　 B. 二次函数y＝－6x2中，当x＝0时，y有最大值为0 C. a越大图像开口越小，a越小图像开口越大 B. 不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点
C
当堂检测
4. 如图，当ab＞0时，函数y＝ax2与函数y＝bx＋a的图像大致是(　　)
C
当堂检测
5.若抛物线y=ax2 (a ≠ 0)，过点(-1，2).
(1)则a的值是_____；
(2)对称轴是________，开口__________.
(3)顶点坐标是_________，顶点是抛物线上的最_____值 .
(4)抛物线在x轴的_____方（除顶点外）.
2
y轴
向上
(0，0)
小
上
当堂检测
6.已知一个二次函数，满足下列条件：①顶点为原点；②当x＞0时，函数值y随着x的增大而减小．请写出一个函数表达式：___________________．
(写出一个即可)
答案不唯一，如y＝－x2
7.如下图，观察函数y=( k-1)x2的图像，则k的取值范围是________.
k>1
x
y
O
8.如图所示的四个二次函数的图像中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为__________．(用“>”连接)
a>b>d>c
当堂检测
当堂检测
9. 已知y=(k+3)????????????+?????????是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大．
(1)求k的值；
(2)求顶点坐标和对称轴．
?
解：(1)由????????+?????????=????????+????>???? ，解得k＝2；
?
(2)顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴.