5.2 二次函数的图像和性质（第3课时）课件（共27张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

(共27张PPT)
第5章 二次函数
5.2　二次函数的图像和性质（3）
第3课时 二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
学习目标
1.会用描点法画函数y＝ax2＋k（a≠0）的图像；
2.能用平移变换解释二次函数y＝ax2＋k二次函数y＝ax2（a≠0）的位置关系；
3.能根据图像认识和理解二次函数 y＝ax2＋k（a≠0）的性质.
知识回顾
还记得二次函数y＝x2的图像吗？
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
请你猜想y＝x2＋1的图像与y＝x2的图像之间有什么关系？
思考与探索
在同一坐标系中画出函数y＝x2和y＝x2＋1的图像．
(1)列表：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x
9
4
1
0
1
9
4
y=x +1
10
5
2
1
2
10
5
从表格的数值看：对于同一个自变量 x 的取值，所对应的两个函数的函数值 y 有什么关系？
对应于同一个自变量的值，两个函数的值相差1.
思考与探索
(2)描点、连线：
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像形状相同吗
相同
y=x2+1
思考与探索
(2)描点、连线：
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=x2+1
从对应点的位置看：函数y＝x2＋1的图像和y＝x2的图像的位置有什么关系？
函数y=x2+1的图像可以由函数y=x2的图像向上平移1个单位长度得到.
根据图像，说出函数y＝x2＋1的图像有哪些性质？
思考与探索
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=x2+1
函数y＝x2＋1的图像是一条开口向上的抛物线；
顶点坐标是(0，1)；
对称轴是y轴；
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大；
当x=0时，y的值最小，最小值是1.
思考与探索
猜想：
1. 函数y＝x2－2的图像和y=x2的图像的位置有何关系？
2. 函数y＝x2－2的图像有哪些性质？
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=x
9
4
1
0
1
9
4
y=x －2
7
2
-1
-2
-1
7
2
思考与探索
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
y=x2+1
y=x2－2
函数y＝x2－2的图像是一条开口向上的抛物线；
顶点坐标是(0，－2)；
对称轴是y轴；
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0时，y随x增大而增大；
当x=0时，y的值最小，最小值是－2.
函数y＝x2－2的图像可以由函数y=x2的图像向下平移2个单位长度得到.
图像向上移还是向下移，移多少个单位长度，从函数表达式上看有什么规律吗
新知应用
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=2x ， y=2x2+1 ，y=2x2-1的图像.
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 …
y=2x2+1 … …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … …
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
解：列表：
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
新知应用
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
根据图像填空:
把抛物线y=2x2 向_____平移1个单位长度，就得到抛物线 ______；
把抛物线 y=2x2 向_____平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
上
y=2x2+1
下
新知应用
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
根据图像回答下列问题:
(1)图像的形状都是_________；
(2)三条抛物线的开口方向_______；
(3)对称轴都是_______；
(4)从上而下顶点坐标分别是_______________________；
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最小值分别为_____、_____﹑______；
(6) 函数的增减性都相同：_________________________
___________________________.
抛物线
向上
y轴
( 0，1)，( 0，0)，( 0，-1)
低
小
1
0
-1
对称轴左侧y随x增大而减小
对称轴右侧y随x增大而增大
平移中的“变”与“不变”
抛物线上下平移后，开口的大小和方向不变，即a的值不变，顶点的横坐标不变，纵坐标发生变化．
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图像形状________，只是位置不同；
当k＞0时，函数y=ax2+k的图像可由y=ax2的图像向____平移____个单位得到，
当k＜0时，函数y=ax2+k的图像可由y=ax2的图像向 ____平移____个单位得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图像的关系
归纳总结
相同
上
k
下
|k|
平移规律：上加下减
归纳总结
二次函数y=ax2+k（a ≠ 0）的性质：
y=ax2+k a＞0 a＜0
开口方向 向上 向下
对称轴 y轴 y轴
顶点坐标 （0,k） （0,k）
最值 当x=0时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k
增减性 当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
新知巩固
1. 二次函数y＝－3x2＋1的图像是将(　　)
A. 抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B. 抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C. 抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D. 抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
D
2. 抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线_____________；
抛物线y＝x2＋1可由抛物线y＝x2－1______________________得到．　　
y = 2x2－4
向上平移2个单位长度
新知巩固
3.抛物线y=-3x2+5的开口______，对称轴是_____，顶点坐标是______，在对称轴的左侧，y随x的增大而______，在对称轴的右侧，y随x的增大而______，当x=___时，取得最____值，这个值等于___.
向下
y轴
(0，5)
减小
增大
0
大
5
4.抛物线y=7x2-3的开口______，对称轴是_____，顶点坐标是_______，在对称轴的左侧，y随x的增大而_______，在对称轴的右侧，y随x的增大而_______，当x=____时，取得最___值，这个值等于____.
向上
y轴
(0，-3)
减小
增大
0
小
-3
新知巩固
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图像回答下面的问题：
(1)抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
(2)函数y=-x2+1，当x_____时， y随x的增大而减小；当x_____时，函数y有最大值，最大值y是___，其图像与y轴的交点坐标是______，与x轴的交点坐标是_________________.
(3)试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0，1)
(-1，0)，(1，0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
讨论与交流
1.怎样画y=ax2+k（a ≠ 0）的图像？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
2.抛物线y=ax2+k 中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小，k决定顶点的纵坐标.
课堂小结
二次函数y＝ax2＋k的图像和性质
与y=ax2的关系
图像
性质
上加下减
开口方向由a的符号决定
k决定顶点位置
对称轴是y轴
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
当堂检测
1.二次函数y＝－x2＋1的图像可能是(　　)
A B C D
D
当堂检测
2. 抛物线y=－6x2可以看作是由抛物线y=－6x2+5按下列何种变换得到( )
A.向上平移5个单位 B.向下平移5个单位
C.向左平移5个单位 D.向右平移5个单位
3.与抛物线y=－x2－1顶点相同，形状也相同而开口方向相反的抛物线所对应的函数是 ( )
A.y=－x2－1 B.y=x2－1 C.y=－x2－1 D.y=x2+1
B
B
当堂检测
4.抛物线y＝2x2，y＝－2x2－1，y＝－x2＋3共有的性质是(　　)
A.开口向上 B.顶点坐标都是(0，0)
C.对称轴是y轴 D.在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
C
5.已知函数y＝x2－2，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是(　　)
A．x＜2 B．x＞0 C．x＞－2 D．x＜0
D
当堂检测
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图像大致为(　　)
D
当堂检测
7.将抛物线y＝－2x2向上平移4个单位长度，得到新的抛物线的函数表达式为____________，新抛物线的对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而______，当x＝___时函数有最____值，最值为____.
y＝－2x2＋4
y轴
减小
0
大
4
8.如果点A(－4，y1)，B(－3，y2)是二次函数y＝2x2＋k(k是常数)图像上的两点，那么y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
＞
当堂检测
9.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）则a=____.
-2
10.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k .
=2
>2
<2
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±，
此时P点坐标为(，2)，(－，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±，
此时P点坐标为(，2)，(－，2)．
当堂检测
11.如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
当堂检测
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的顶点坐标是(0，1)，且过点(－2，2)，平行四边形OABC的顶点A，B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M.已知点C的坐标是(－4，0)，点Q(x，y)是抛物线上任意一点．
求此抛物线的函数表达式及点M的坐标；
解：∵抛物线的顶点坐标是(0，1)，
∴设其函数表达式为y＝ax2＋1.
∵抛物线过点(－2，2)，
∴2＝a×(－2)2＋1，解得a＝，
∴此抛物线的函数表达式为y＝x2＋1.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB＝OC＝4，AB∥OC.
又∵y轴是该抛物线的对称轴，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴MA＝MB＝2，即点A的横坐标是2，
则其纵坐标y＝×22＋1＝2，即点A的坐标为(2，2)，
故点M的坐标为(0，2)．