5.2 二次函数的图像和性质（第1课时）课件（共24张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课件（苏科版）

第5章 二次函数
5.2　二次函数的图像和性质（1）
第1课时 二次函数y＝ax2图像
学习目标
1.根据作函数图像的步骤，能够用描点法作出二次函数y＝x2和y＝-x2的图像；
2.根据函数y＝x2和y＝-x2的图像，直观地了解它的性质.
我们已经学习了一次函数和反比例函数的图像和性质，你能说出画函数图像的一般步骤吗？如何研究函数的性质呢？
知识回顾
画函数图像步骤：
研究函数性质方法：数形结合
连线
列表
描点
二次函数的图像是什么形状？
二次函数有什么性质？
是直线吗？
是双曲线吗？
思考与探索
根据二次函数表达式y=x2，你能描述它的图像有什么特征吗？
x=0时，y=0.图像过原点.
x可取一切实数.图像向左、右无限延伸.
y≥0，图像向上无限延伸，且x轴下方没有图像.
x=2时，y=4；x=-2时，y=4.图像上的点A(-2，4)与点B(2，4)关于y轴对称.
操作与思考
1.在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y=x2的图像.
(1)列表：
恰当地选取自变量x的几个值，计算函数y对应的值：
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
...
-3
-2
-1
0
1
2
3
...
y=x?
...
...
列表时自变量要
均匀和对称！
9
4
1
0
1
9
4
在原点左右两侧对称地取值
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
操作与思考
(2)描点：
以表中各对x、y的值为点的坐标，在坐标系中描出对应的点 .
(3)连线：
用平滑曲线顺次连接描出的各点.
6
10
y=x2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
操作与思考
2.在平面直角坐标系中，用描点法画出二次函数y=-x2的图像.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9　
-4　
-1　
0　
-1　
-4　
-9　
…　
y=-x2
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
新知巩固
1.在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
(1) y＝????????x2
?
(2) y＝2x2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=????????x2
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=2x2
新知巩固
2.在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像：
(1) y＝-????????x2
?
(2) y＝-2x2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
y＝-????????x2
?
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
y＝-2x2
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
新知巩固
3.下面是两个同学画的 y=????????x2 和 y=-????????x2的图像，你认为他们的作图正确吗?为什么?
?
归纳总结
画二次函数y＝ax2的图像的注意点:
(1)列表时需在原点左右两侧对称地取值，且注意因为自变量可取一切实数，所以表格两端应加省略号；
(2)描出的点一般为5～7个，描出的点越多，图像越准确．一般情况下，所画出的图像是抛物线顶点及其附近的一部分；
(3)连线时应注意按自变量从小到大的顺序用平滑的曲线依次连接，并考虑其伸展性．
讨论与交流
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
y=-x2
3.函数y=x2的图像与函数y=-x2的图像有什么共同特征？
这两个图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线．
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.
顶点都在原点(0，0)
图像都关于y轴对称
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=x2
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
y=-x2
归纳总结
开口向上
开口向下
图像有最低点，过(0，0)，y有最小值．
图像有最高点，过(0,0)，y有最大值．
当x＞0时，y随x增大而增大．
当x＜0时，y随x增大而减小．
当x＜0时，y随x增大而增大．
当x＞0时，y随x增大而减小．
新知巩固
(1) 抛物线y=2x2的顶点坐标是_________，对称轴是____，在______侧，y随着x的增大而增大；在________侧，y随着x的增大而减小，图像有最____点，当x=____时，函数y的值最小，最小值是____，抛物线y=2x2在x轴的___方(除顶点外)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
2
4
-2
-4
o
2
4
x
y
6
-6
8
6
10
y=2x2
(0，0)
y轴
y轴右
y轴左
低
0
0
上
根据画好的函数图像填空：
新知巩固
(2)抛物线y=?????????x2的顶点坐标是_________，对称轴是_______，在_______侧，y随着x的增大而增大；在______侧，y随着x的增大而减小，图像有最____点，当x=____时，函数y的值最大，最大值是____，抛物线y=?????????x2在x轴的___方(除顶点外)
?
根据画好的函数图像填空：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
y＝-????????x2
?
-6
-4
x
y
2
4
-2
-4
o
6
-6
-2
-8
-10
(0，0)
y轴
y轴左
y轴右
高
0
0
下
例题讲解
例 已知二次函数y=x2．
(1)判断点A(2，4)在二次函数图像上吗？
解：(1)当x=2时，y=x2=4，所以A(2，4)在二次函数图像上.
(2)请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标；
(2)点A关于x轴的对称点B的坐标为(2，－4)，点A关于y轴的对称点C的坐标为(－2，4).
例题讲解
(3)点B、C、D在二次函数y=x2的图像上吗？
当x=2时，y=x2=4≠－4，所以B点不在二次函数y=x2的图像上；
当x=－2时，y=x2=4，所以C点在二次函数y=x2的图像上.
课堂小结
二次函数y＝ax2的图像
画法
图像
描点法
抛物线
以对称轴为中心对称取点
轴对称图形
当堂检测
1. 下列图像中，是二次函数y＝x2的图像的是( )

A B C D
A
当堂检测
2. 在同一坐标系中，抛物线y＝x2，y＝-x2，y＝????????x2的共同点是 ( )
A.开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点
B.开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点
C.对称轴是y轴，顶点是原点
D.有最小值为0
?
C
当堂检测
3. 下列各点不在函数y＝2x2的图像上的是(　　)A.(0，0)　　　 　　 B. (－1，2)　 　　 C. (3，12)　　　　 D.(－2，8)
C
4. 若二次函数y＝ax2的图像经过点P(－2，4)，则该图像必经过点(　　)
A.(2，4) 　　　　　　　B.(－2，－4)
C.(－4，2) 　　　　　　D.(4，－2)
A
6.二次函数y＝－2x2的图像是__________，且关于________对称，顶点坐标为________，开口方向是_______．(填“向上”或“向下”)
当堂检测
5. 函数y＝(m－1)x2的图像是抛物线，则m的取值范围是________.
m≠1
向下
抛物线
y轴
(0，0)
7.已知二次函数y＝2x2的图像经过不同的两点(m，8)和(n，8)，则m＋n＝________.
0
当堂检测
8. 在如图所示的平面直角坐标系中，画出函数y＝????????x2，y＝?????????x2的图像，并写出函数图像的开口方向、顶点坐标与对称轴．
?
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y＝????????x2
…





…
y＝?????????x2
…





…
1
-1
????????
?
?????????
?
0
0
????????
?
?????????
?
1
-1
当堂检测
解：填表如上图：
函数图像的开口向上，顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴．