广东省佛山市南海区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

佛山市南海区2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试卷
一.选择题
1.如图，已知直线、、的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
2.在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
4.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5.若两异面直线与的方向向量分别是，，则直线与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6.在圆：内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（ ）
A.24 B.12 C.10 D.8
7.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A.事件与事件互为对立事件 B.
C. D.事件与事件相互不独立
8.已知动点在正方体的对角线（不含端点）上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9.下列说法正确的是（ ）
A.设，是两个随机事件，且，，则
B.若，，，则事件与事件相互独立
C.一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D.从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是
10.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）
A.椭圆的圆心率为
B.的周长为4
C.若，则的面积为
D.若，则
11.已知经过点的圆的圆心坐标为（为整数），且与直线：相切，直线：与圆相交于、两点，下列说法正确的是（ ）
A.圆的标准方程为
B.若，则实数的值为
C.若，则直线的方程为或
D.弦的中点的轨迹方程为
12.如图，正方体中，为的中点，为棱上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使平面
B.存在点，使
C.四面体的体积为定值
D.二面角的余弦值取值范围是
三、填空题
13.已知直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则此椭圆的离心率______.
14.已知点，直线过原点，且平行于向量，则点到直线的距离是______.
15.已知事件，相互独立，且，，则______.
16.已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围是______.
四.解答题
17.如图，在中，边上的高所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为，若点的坐标为，求：
（1）点和点的坐标；
（2）求的面积.
18.学校为丰富同学们的课余活动，在体艺节活动中举办了艺术比赛，现甲乙两组进入到决赛阶段，决赛采用三局两胜制决出冠军，每一局比赛中甲组获胜的概率为，且甲组最终获得冠军的概率为（每局比赛没有平局）
（1）求；
（2）已知冠军奖品为28个礼品，在甲组第一局获胜后，比赛被迫取消，奖品分配方案是：如果比赛继续进行下去，按照甲乙两组各自获胜的概率分配礼品，请问按此方案，甲组、乙组分别可获得多少个礼品？
19.如图，已知正方体的棱长为4，点满足，点是的中点，点满足.
（1）求证：、、、四点共面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值
20.已知椭圆：，左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点.
（1）求的长和的周长
（2）求的面积
21.已知圆经过点，两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知、是过点且互相垂直的两条直线，且与交于，两点，于交于、两点，求四边形面积的最大值.
22.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，为的中点，且平面平面，是线段上的点.
（1）求证：；
（2）是否存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，若存在；求出此时的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
一.选择题
1.解：根据函数的图象：，；故.故选：B
2.解：在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，
已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则，
∴
∴，解得.故选：B.
3.解：在空间四边形中，，，，，点为的中点，
则
.
故选：B.
4.解：根据题意，方程表示的曲线是椭圆，
则，解可得：，且，故的取值范围为
故选：B.
5.解：，，可得，
，，则，
由，可得，可得直线与的夹角为，故选：B.
6.解：化圆为，可得圆心坐标为，半径为3.
由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径，的长为6.
∵点，∴.
弦最短时，弦和垂直，且经过点，此时.
故四边形的面积为.故选：B.
7.解：由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，
事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，
事件的样本点为，，，，，共6种，
所以，B错误；
，C正确；
因为，所以事件与事件相互独立，D错误.
故选：C
8.解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则有，，，
∴，∴设，
∴，
由图知不是平角，∴为钝角等价于，
∴
∴，解得，
∴的取值范围是.故选：C.
二.多选题
9.【答案】BD
【详解】对于A，，是两个随机事件，且，
当，互斥时，则，故A错误；
对于B，若，，，则，
，所以事件与事件相互独立，故B正确：
对于C，事件“至多一次击中”包括：两次均未击中和两次击中一次，故C错误；
对于D，从1，2，3，4中任取2个不同的数，可能的情况有：，，，，，.
取出的2个数之差的绝对值为2的情况有：，，所以其概率为：，故D正确.
故选：BD.
10.【答案】ACD
【详解】对A，由题意，，故，，故A正确；
对B，的周长为，故B错误；
对C，若，则，即，故，故，故C正确；
对D，由余弦定理，
即，解得，故，故D正确；
故选：ACD
11.解：对于选项A，设圆的半径为，由题意可得圆的方程为（为整数），
根据点是圆上的点，且圆与直线：相切，
得，解得，或（舍去），
则圆的标准方程为，故A选项错误；
对于选项B，由选项A知圆的标准方程为，圆心，
因为点在圆上，且，所以线段为圆的直径，
因为直线：与圆相交于两点，
所以圆心在直线上，所以，解得，故B选项正确：
对于选项C，由选项知圆的半径为2，圆心，
则圆心到直线的距离，
因为，即，解得，
所以，解得或，
则直线的方程为或，故C选项正确；
对于选项D，直线的方程可化为，过定点，
由圆的性质可得，所以点的轨迹是以线段为直径的圆，
则此圆圆心为线段的中点，其坐标为，半径为，
则该圆的方程为，
由，得两圆的交点坐标为与，
故弦的中点的轨迹方程为，故D选项错误．
故选：BC.
12.【答案】BC
【详解】（向量法）为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，
，则，，，
，，故与不垂直，故A错误.
由知，，故B正确.
，为定值.故C正确.
又，，设平面的法向量，
由，，
令则，，∴
又平面的法向量，
∴
又，∴，∴.
故D错误.
三、填空题
13.【答案】
解：∵直线与轴、轴的交点坐标分别为，
椭圆的焦点在轴上，∴为椭圆的一个焦点，为椭圆的一个顶点，
∴，，，.故答案为：
14.【答案】
【详解】由题意可得，易知直线的一个方向向量为，
所以，点到直线的距离为
，故答案为：.
15.【答案】
【详解】因为，所以，
又，可得，
又因为事件，相互独立，所以.故答案为：
16.答案：
解：设，由可得，化简得，
即点在以原点为圆心，2为半径的圆上.又直线上存在点，
故直线与圆有公共点，因为圆心到直线的距离为，所以，所以.
四.解答题
17.解：（1）由，得顶点.又的斜率.
∵轴是的平分线 ，故的斜率为，所在直线的方程为
已知上的高所在直线的方程为①，
故的斜率为，所在直线的方程为②.
解①，②得顶点的坐标为；
（2），
又直线的方程是，到直线的距离.
∴的面积.
18.【解】（1）令事件：甲组在第局获胜，.甲组胜的概率为：
，解得.
（2）由题意知，左甲组第一局获 的情况下，甲组输掉比赛事件为：甲组接下来的比赛中连输两场，即，
即甲获胜的概率为，
故甲组、乙组应按照的比例来分配比赛奖品，
即甲组应获得21个礼品，乙组获得7个礼品比较合理.
19.解：（1）证明：如图，以为原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系
则，，，，
因为，
所以，所以、、、四点共面.
（2）由（1）知，，，
设平面的法向量为，
由，即，解得，
令，则，
同理可得平面的法向量，
设平面面夹角为，则.
所以面面夹角的余弦值为.
20.解：（1）椭圆：，，，
，即，
所以直线的方程为，
联立，得，或，
所以，
的周长为；
（2）由，得，由，得，
设，，的面积.
21.解：（1）根据题意，点，，
则线段的中垂线方程为，
圆心为直线和的交点，
则有，解得，
所以圆心的圆心坐标为，半径
所以圆心的方程为；
（2）根据题意，已知、是互相垂直的两条直线，分2种情况讨论：
①.当直线、其中一条直线斜率为0时，另一条斜率不存在.
不妨令的斜率为0，此时，
四边形的面积
②.当直线，斜率均存在时，设直线的斜率为
则其方程为，圆心到直线的距离为
于是，又的方程为
同理，
所以四边形的面积
当且仅当即时，等号成立.
综上所述，四边形面积的最大值为7.
22.解：（1）证明：连接，，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，∴为等边三角形，
∵为的中点，∴，
∵是等边三角形，为的中点，
∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴
∵，∴.
（2）∵平面平面，平面平面，
，平面，∴平面，
∵，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
.
设平面的法向量，
，，，
由，取，得，
∵直线与平面的夹角的正弦值为，
∴.
整理得，由，解得，
∴存在点，使得直线与平面的夹角的正弦值为，.