陕西省安康市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

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安康市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
本试卷共4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．方程表示圆的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．在正方体中，为的中点，为的中点，则异面直线与的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
5．在矩形中，平面，则与平面所成的角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形是边长为1的正方形，平面，若，则平面与平面的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，关于的性质，有以下四个推断：
①的定义域是 ②是奇函数
③在区间上单调递增 ④的值域是
其中推断正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．关于圆，有下列四个命题（ ）
甲：圆的半径 乙：直线与圆相切
两：圆经过点 丁：直线平分圆
如果只有一个命题是假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、多项选择题：本题共4小题、每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知是直线的一个方向向量，是平而的一个法向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．已知函数的值域为，则的定义域可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线垂直
B．若直线与直线平行，则
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A．圆的方程是
B．过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D．在直线上存在异于的两点，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则_____________．
14．直线过点，同时满足在两坐标轴上的截距相等且不为零，则这样的直线方程为_____________．
15．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，则点到平面的距离等于_____________．
16．直线与曲线有且只有一个公共点，则的取值范围是_____________．
四、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，陮机访问50名职工．，根据这50名职工．对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为．
（1）求频率分布直方图中的值：
（2）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率．
18．（12分）在平行六面体中，，，，，．若．
（1）用基底表示向量；
（2）求向量的长度．
19．（12分）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
20．（12分）如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且是的中点．
（1）求证：平而平面；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）求平面与平面的夹角的余弦值．
21．（12分）已知圆与轴相切，圆心点在直线上，且直线被圆所截得的线段长为．
（1）求圆的方程；
（2）若圆与轴正半轴相切，从点发出的光线经过直线反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在直线的方程．
22．（12分）设椭圆过点，离心率为．
（1）求的方程；
（2）若过点且斜率为的直线交椭圆于两点，求弦长．
安康市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案
1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 6、A 7、D 8、B
9、AD 10、ABC 11、AC 12、ABD
13、120o
14、
15、
16、
17．（1）0.006；（2）.
【详解】（1）因为，所以
（2）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为；
受访职工评分在[40，50)的有： 50×0.004×10=2(人)，即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即，故所求的概率为
18．(1)(2)
【分析】（1）利用空间向量的运算求得.
（2）先用基底表示向量，然后利用平方的方法求得向量的长度.
【详解】（1）由题意可得，
故.
（2）由条件得，，
故.
19、　(1)由已知,有f(x)=-
=-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin.
所以,f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数,f=-,f=-,f=.所以,f(x)在区间上的最大值为,最小值为-.
20、(1)证明:如图,以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M0,1,.
∵=(0,0,1),=(1,0,0),=(0,1,0),
∴=0,=0,
∴AP⊥DC,AD⊥DC.
又AP∩AD=A,
∴DC⊥平面PAD.
又DC 平面PCD,
∴平面PAD⊥平面PCD.
(2)解:∵=(1,1,0),=(0,2,-1),
∴||=,||==2,
∴cos<>=.
∴AC与PB的夹角的余弦值为.
(3)解:设平面AMC的法向量为n1=(x,y,z),
∵=(1,1,0),=0,1,,
∴
令x=1,则y=-1,z=2.
∴n1=(1,-1,2)为平面AMC的一个法向量.
同理,n2=(1,1,2)为平面BMC的一个法向量.
设平面AMC与平面BMC的夹角为θ,则cosθ=|cos|=.
故平面AMC与平面BMC的夹角的余弦值为.
21．（1）圆或；（2）.
【分析】
（1）设圆，根据已知条件可构造方程组求得，分别在和两种情况下求得结果；
（2）根据点关于直线对称点的求法可求得点关于的对称点，利用两点连线斜率公式可求得反射光线所在直线斜率，由此可得直线方程.
【解析】（1）设圆，
由题意得：…①，…②，…③，
由①得，则，代入③得：；
当时，，，圆；
当时，，圆；
综上所述：圆或.
（2）圆与轴正半轴相切，圆，
设关于的对称点，
则，解得：，，
反射光线所在直线的斜率，
反射光线所在直线方程为：，即.
22、解：（1）将代入C的方程得，
又，得，
即，
椭圆C的方程为.
（2）过点且斜率为的直线方程为，
设直线与C的交点为，
将直线方程代入C的方程，消去y得，
即，
.
.