陕西省咸阳市礼泉县2023-2024学年高二上学期期中学科素养调研数学试题（含答案）

礼泉县2023-2024学年高二上学期期中学科素养调研
数学
注意事项：
1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效
4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.
第I卷（选择题共60分）
装一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的倾斜角是（ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
2.抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.若，，则（ ）
A.10 B.3 C. D.
4.圆心为且过原点的圆的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
5.若平面，的法向量分别为，，则（ ）
A. B.
C. ，相交但不垂直 D.以上均不正确
6.直线被圆截得的弦长等于（ ）
A.2 B.4 C. D.
7.在双曲线中，离心率，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，在底面为正三角形的三棱柱中，平面，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A.60° B.45° C.120° D.90°
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
10.已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间的一个基底的向量是（ ）
A. B. C. D.
11.已知圆： ，圆：，则（ ）
A.
B.圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C.圆与圆相离
D.圆与圆的公切线有2条
12.如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为，，的中点，则以下说法正确的有（ ）
A. 平面
B.点C到平面的距离为
C.平面与平面夹角的余弦值为
D.正方体的内切球半径为
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.直线：和：交点的坐标为___________.
14.经过，两点的直线的方程为___________.
15.已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为____________.
16.已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是___________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知椭圆：的一个焦点为（2，0）.
（I）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）求椭圆C的离心率及其长轴长.
18.（本小题满分12分）
已知直线：.
（I）若直线在x轴上的截距为2，求的值；
（Ⅱ）若直线与直线：平行，求两平行线之间的距离.
19.（本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.
（I）求的值；
（Ⅱ）证明：C，E，F，G四点共面.
20.（本小题满分12分）
如图，底面是正方形，平面，，，点E、F分别为线段、的中点.请建立适当的空间直角坐标系，并解答下列问题.
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知圆C过三个点（0，2），（1，1），（2，2），过点引圆C的切线，求：
（I）圆C的一般方程；
（Ⅱ）圆C过点P的切线方程.
22.（本小题满分12分）
已知双曲线C：的右顶点为，且双曲线C的一条渐近线恰好与直线垂直.
（I）求双曲线C的方程
（Ⅱ）若直线：与双曲线C的右支交于A，B两点，点F为双曲线C的右焦点，点D在双曲线C上，且轴.求证：直线过点F.
礼泉县2023-2024学年高二上学期期中学科素养调研
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A 2.B 3.D 4.A 5.C 6.B 7.C 8.D
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.BD 10.BC 11.ABD 12.ABC
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15. 16.-1
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：（I）由焦点坐标为（2，0），知椭圆C的焦点在x轴上，
∴，
∴椭圆C的方程为：.
（Ⅱ）由（I）知，，，
∴椭圆C的离心率为，长轴长为.
18.解：（I）由题意，在直线：中，
令，可得，
∴直线在x轴上的截距为，解得.
（Ⅱ）若直线：与直线：平行，
则，
∴直线的方程可化为，
∴两平行线之间的距离.
19.解：（I）∵，
∴，，，，
∴，，
∴.
（Ⅱ）证明：由（I）得：，
令，即解得
∴.
故C，E，F，G四点共面.
20.解：（I）∵平面，平面，
∴，，
又底面是正方形，则，
∴可以建立如图所示以A为原点，、、所在直线对应x、y、z轴的空间直角坐标系，
则，，，，
∴，，
易知是平面的一个法向量，
∵，平面，∴平面.
（Ⅱ）由（I）知，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
则有即
令，则，，
故平面的一个法向量为，
设直线与平面夹角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
21.解：（I）设圆C的一般方程为，
代入三个点（0，2），（1，1），（2，2），
得解得
∴圆C的一般方程为.
（Ⅱ）圆C的一般方程化为标准形式为.
当切线斜率不存在时，易知切线方程为，符合题意；
当切线斜率存在时，设切线方程为，即，
则依题意可得，解得，
此时切线方程为，即.
综上，圆C过点P的切线方程为和.
22.解：（I）由右顶点为，得，
由双曲线C：的一条渐近线恰好与直线垂直，
得，即，∴，
∴双曲线C的方程为.
（Ⅱ）由（I）可知，右焦点F的坐标为（2，0），
由题意可知直线的斜率存在且不为0，∴，
设，，则，
由（I）可知，双曲线的渐近线方程为，
又直线与双曲线的右支交于A，B两点，则，即，
联立消去得，
则，得，
，，则，
又，∴，，
∴，
∴，又，有公共点F，
∴B，F，D三点共线，∴直线过点F.