2.8直线与圆锥曲线的位置关系 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）

2.8直线与圆锥曲线的位置关系同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线：在椭圆上截得的弦长是（ ）
A． B． C． D．
2．直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为( )
A．3 B．6 C．8 D．12
3．已知A，B两点在以F为焦点的抛物线上，并满足，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与准线交于N点，则MN的长为（ ）
A． B． C． D．
4．直线：与椭圆：的一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知四点均在椭圆上，其中轴，轴，且，，，若点D在第一象限，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线有一个重要性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线的焦点．过点且平行于轴的一条光线射向抛物线：上的点，经过反射后的反射光线与相交于点，则（ ）
A． B．24 C．32 D．
7．已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
8．如图，椭圆，点A为椭圆在第一象限上的点，轴，若线段与x轴垂直，直线与椭圆只有一个交点，则，的大小关系是（ ）

A． B． C． D．不能确定
二、多选题
9．直角坐标系中椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．直线：与椭圆相交
C．椭圆的短轴长为2
D．椭圆上两点中点坐标为，则直线的斜率
10．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹.我们称其为卡西尼卵形线在平面直角坐标系中，设定点为，点为坐标原点，动点满足.下列四个命题中，正确的是（ ）
A．点P的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B．点的横坐标的取值范围是
C．的最小值为 D．的面积的最大值为
11．已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（ ）
A．当的最大角为时，椭圆的离心率为
B．当时，的面积为
C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积
D．
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线的右支上一点，过点的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，则（　　）
A．的最小值为8
B．为定值
C．若直线与双曲线相切，则点的纵坐标之积为；
D．若直线经过，且与双曲线交于另一点，则的最小值为.
三、填空题
13．已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点，若为的中点，则直线的方程为 .
14．已知抛物线，是抛物线上异于原点的两个动点，直线与抛物线相切且交于点，且， 值是 ．
15．若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ．
16．已知双曲线C的焦点在y轴上，对称中心O为坐标原点，焦距为，且过点，则C的标准方程为 ；若斜率为2的直线l与C交于P，Q两点．且，则 ．
四、解答题
17．在平面直角坐标系中，点到点的距离等于点到直线的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知点均在上，且，直线与的另一个交点分别为，且，求直线的斜率
18．已知椭圆方程为（），为椭圆的焦点，为椭圆上的动点，的最大值为3，椭圆的长轴为4．
(1)求椭圆的方程．
(2)已知圆，过点且斜率为的直线和椭圆交于两点，若，求的值．
19．已知椭圆过点，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若△OAB的面积为2，其中O为坐标原点，求直线l的方程；
(3)设过点的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线于点P，Q.求证：线段PQ的中点为定点.
20．设抛物线的方程为，其中常数，F是抛物线的焦点．
(1)若直线被抛物线所截得的弦长为6，求的值；
(2)设是点关于顶点O的对称点，是抛物线上的动点，求的最大值；
(3)设是两条互相垂直，且均经过点F的直线，与抛物线交于点,与抛物线交于点，若点G满足，求点G的轨迹方程．
21．已知抛物线经过点.设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为的直线交抛物线于两点且直线分别交直线于点和点.求证：以为直径的圆经过轴上的两个定点.
22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据韦达定理以及弦长公式可求解出结果.
【详解】设与椭圆交于，
联立可得，
且，，
所以，
故选：D.
2．B
【分析】利用点差法计算即可.
【详解】设，
则有，
化简得，
即.
故选：B
3．C
【分析】联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，再用中点坐标公式即可求解．
【详解】，设且
由可得，故，
又由可得，于是解得，中点
准线方程为，令得
故
故答案为：.
4．D
【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.
【详解】由可得，解得或
当时，，当时，
所以直线与椭圆的交点坐标为
故选：D
5．B
【分析】设直线，直线，则，分别与椭圆的方程联立得出的坐标，结合已知，，即可得出与的关系.然后根据，即可得出，进而即可得出答案.
【详解】设直线，直线，则，
联立解得，
则，所以，.
由可得，；①
联立解得，
则，所以，.
由可得，；②
又，所以，
所以；③
联立①②，得，，
代入③中，得，则．
故选：B.
6．D
【分析】易得点A和C的焦点坐标，从而达到直线AB的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用抛物线的定义求解.
【详解】解：由题意得点A的坐标为，C的焦点为，
所以直线AB的方程为，
与抛物线方程联立，消去y得，
由韦达定理得，
所以，
所以由抛物线的定义得．
故选：D
7．D
【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.
【详解】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，可得椭圆过点，代入方程得.
设则，
两式作差得，
即，
因为恰好是的中点，所以，又因为直线AB斜率为-1，
所以，将它们代入上式得，
则联立方程解得.
所以椭圆上一点到的距离的最大值为.
故选：D
8．A
【分析】求出切线方程，得出点坐标，计算出比较可得．
【详解】由已知，，，，，∴，
设直线的方程为，
由，得，
∴，解得，
直线方程为，即，直线方程为，
由得，即，
，，
故选：A．
9．BCD
【分析】A选项，利用待定系数法求椭圆方程，然后求离心率；B选项，根据直线恒过定点，点在椭圆内得到直线与椭圆相交；C选项，根据椭圆方程求短轴长；D选项，利用点差法求斜率.
【详解】设椭圆方程为，，且，
则，解得，
所以椭圆方程为，
所以，，，，故A错；
直线的方程可整理为，令，解得，
所以直线恒过定点，
因为，所以点在椭圆内，
所以直线与椭圆相交，故B正确；
，所以短轴长为2，故C正确；
设，，则，，
两式相减得，
因为中点为，所以，，
所以，整理得，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】A项根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；B项结合曲线方程特征消元转化进行判断即可；C项根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；D项根据方程特征求得P纵坐标的范围，结合三角形面积公式进行判断即可.
【详解】由题意可知P的轨迹方程为：，
则关于轴对称的点的横纵坐标满足
，
同理关于轴对称的点，
关于原点对称的点均满足轨迹方程
，
，
即P的轨迹关于轴、轴轴对称，关于原点中心对称，故A正确；
由基本不等式可知，当且仅当，
即时取得最小值，故C正确；
将轨迹方程平方得
，
整理得，
解之得，
所以，故B错误；
又因为，故，
当且仅当时取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】难点在于对轨迹方程的变形与化简，利用方程的特点求横纵坐标的取值范围是本题关键.
11．ABD
【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断.
【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点，
此时，故A正确；
对于B，当时，
由，得，
所以的面积为，又，
所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确；
对于C，设，又，
则，，
所以，
而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误；
对于D，因为，
所以，又，
所以，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解.
12．AB
【分析】设，由，可判定A正确；化简，可判定B正确；设直线的方程为，联立方程组，结合，得到，在化简，可判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.
【详解】由题意，双曲线，可得，则，
所以焦点，且，
设，则，且，即，
双曲线的两条渐近线的方程为，
对于A中，由，
所以A正确；
对于B中，
（定值），所以B正确；
对于C中，不妨设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
若直线与双曲线相切，则，
整理得，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
联立方程组，解得，即点的纵坐标为，
则点的纵坐标之积为
所以C不正确；
对于D中，若点在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为，
若点在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为，所以D错误.
故选：AB.
13．
【分析】设出，的坐标，代入抛物线方程，利用作差法，结合中点坐标公式代入先求出直线的斜率，再利用点斜式方程即可得到结论.
【详解】设，，由题意，
因为，在抛物线上，所以，，两式相减得，
，整理得，，
即直线的斜率，
直线的中点为，
，
，
所以直线的方程为，化简得.
故答案为：.

14．
【分析】设，，切线方程为，由直线与抛物线相切求得，同理得，从而由得，然后计算即可得．
【详解】设，，切线方程为，
由得，
，，即，，
同理切线的斜率为，
因为，所以，即，
，
故答案为：．
15．
【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案.
【详解】由已知可设直线，
联立，
化简得.
因为直线与椭圆相切，
所以有，
解得．
故答案为：．
16．
【分析】根据双曲线上的点，结合双曲线的定义可求得双曲线方程；设直线，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可求得参数m，再根据弦长公式即可求得．
【详解】由已知，可设焦点坐标为
根据双曲线的定义可知：
即，解得：，
又，解得
故双曲线的方程为：；
设直线
联立方程组，可得：
，
，，解得，
因此．
17．(1)
(2)或．
【分析】（1）直译法即可求得点的轨迹的方程；
（2）设出，将题给向量形式的条件转化为代数形式表达，利用设而不求的方法求得的坐标，再依据题给条件列出关于直线的斜率k的方程，解之即可求得k的值.
【详解】（1）设，依题意，得，
化简得，故的方程为．
（2）因为，所以三点共线，
又，所以直线的斜率存在且不为0，
设直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
由，得，
则，即或，
设，则．
因为，所以，
所以直线的方程为，即，
由，得，
设，则，得，
设，同理得．
因为，所以，
所以，
即，
所以，
所以，解得，满足或，
所以直线的斜率为或．
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦半径公式以及长轴长，即可求得，可得椭圆方程；
（2）易知，设出直线方程并于椭圆联立，利用弦长公式即可求得.
【详解】（1）因为为椭圆上的动点，的最大值为3，则
又由椭圆的长轴为4，则，
由
即椭圆的方程
（2）由（1）知椭圆的方程，
圆的圆心为，
则过点且斜率为的直线的方程为
因为直线和椭圆交于两点，设，
代入椭圆得
由，
可得，
解得
19．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由三角形的面积求得直线的方程.
（3）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，求得的坐标的关系式，进而证得线段PQ的中点为定点.
【详解】（1）依题意，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率为时，，
此时，所以直线的方程为.

当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，
原点到直线的距离为，
由消去并化简得，
设，，
则.
所以
，
则，解得（舍去）.

综上所述，直线的方程为或.
（3）依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，
由消去并化简得，
则，
由，，.

依题意可知直线的斜率存在，
直线的方程为，令，
得
，
同理可求得，
所以
，
所以线段PQ的中点为定点.
【点睛】求解椭圆的标准方程，主要是要求得，这是两个未知参数，要求得两个未知参数，则需要两个已知条件来求解，本题中，点的坐标以及椭圆的离心率是两个已知条件，再结合即可求得椭圆的标准方程.
20．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）可令，代入抛物线方程，计算可得弦长继而得；
（2）根据抛物线定义转化线段比值，结合直线与抛物线的位置关系计算即可；
（3）设坐标及方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理以及两直线垂直的条件，结合向量的坐标表示，以及消元转化，可得所求轨迹方程．
【详解】（1）由可得，由题意可知；
（2）易知，则，抛物线准线为，

如图所示，过作准线，垂足为B，
由抛物线定义可知，故，
设直线为，，
则，
欲求的最大值，即求的最小值，
显然当直线与抛物线相切时，取得最大，此时其余弦最小，
联立抛物线方程可得，
由直线和抛物线相切可得，
结合抛物线对称性，不妨取，此时，即；
（3）
由已知可知，则，
设，，
则，
与抛物线联立可得：，
即有，
同理则有，
因为点G满足，
即，
故，
可得，
则G的轨迹方程为．
21．证明见解析
【分析】先根据已知条件求出抛物线方程，以及准线方程，联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论
【详解】将点代入抛物线方程：，
可得：，
故抛物线方程为：，
其准线方程为：，焦点坐标为，
由题意如图所示：

很明显直线的斜率存在，
设直线方程为，
与抛物线方程联立可得：
设，
所以.
此时有
则，
直线的方程为，与，
联立可得：，
同理可得，
易知以为直径的圆的圆心坐标为：，
圆的半径为：，
且：，
，
则圆的方程为：，
令整理可得：，解得：，
即以为直径的圆经过轴上的两个定点.
22．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）结合题意，通过相切可判断动点G的轨迹为双曲线，进而求出方程;
（2）利用是以AB为斜边的等腰直角三角形得到：，，找到的关系，并求出，进而得到相应的直线.
【详解】（1）设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，
则．因为C为FG的中点，O为的中点，
所以，．
当圆C与圆O内切时，；
当圆C与圆O外切时，，
所以为定值．
又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线．
设它的方程是（，），
则，，即，所以W的方程为．
（2）假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为，，，
由消去y并整理，得，
则解得，且，
，
设线段AB的中点为，
则，．
设点，则，．
连结TM，则，
即，即，整理得．
由，
得，
即，
即，
所以，
整理，得，解得，
显然满足条件，且．
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为；
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为．
所以存在满足题意的两点A，B，此时，直线AB的方程为；
或，直线AB的方程为．

答案第1页，共2页
答案第1页，共2页