2.7抛物线及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析）
文档属性
| 名称 | 2.7抛物线及其方程 同步练习2023——2024学年上学期高二数学人教B版（2019）选择性必修1（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-21 12:21:18 | ||
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文档简介
2.7抛物线及其方程同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
7．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两个不同的点，则（ ）
A．的准线为 B．直线与相交
C． D．
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，经过点且斜率大于零的直线交于两点，点在第一象限，则（ ）
A．的准线为 B．以为直径的圆经过原点
C． D．
11．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆 椭圆 双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）
A．圆的面积为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
12．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ．
14．已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ．
15．抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为 ．
16．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为
四、解答题
17．已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；
18．如图，矩形中，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.
(1)以点为原点，以直线为轴建立直角坐标系，求曲线的方程；
(2)是上一点，，过点的直线交曲线于、两点，求的取值范围.
19．已知抛物线 的准线经过点 ．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线的准线与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交第一象限于A，B两点，设点到焦点的距离为d.
(1)若，求抛物线的标准方程；
(2)若点A是MB的中点，求直线的斜率.
21．已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
(1)求圆M的方程；
(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．
22．已知抛物线与圆相交于四个点．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，解得，所以抛物线的准线方程为.
故选：D.
2．C
【分析】解法一：将点的坐标代入抛物线方程求出，则可求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得结果；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求出，从而可求出焦点，然后利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】解法一：因为点在上，所以，得，
所以抛物线的准线方程为.
由抛物线的定义，等于到准线的距离，即，
解法二：因为点在上，所以，得，所以，
所以，所以，
故选：C.
3．B
【分析】根据抛物线定义求解即可.
【详解】由题意得，，抛物线中，
所以，所以所求距离为.
故选：B
4．B
【分析】根据点在抛物线上可得，即可根据面积公式求解.
【详解】因为是上一点，所以，解得，
又是抛物线的焦点，所以，
所以的面积为．
故选:B．
5．B
【分析】设小球圆心，求出抛物线上点点到圆心距离平方，根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】
设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径，
又抛物线上点点到圆心距离平方为：
，
若最小值在时取到，则小球触及凹槽的最底部，
故此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧，所以，所以，
所以，从而清洁钢球的半径的范围为，
所以清洁钢球的最大半径为.
故选：B．
6．B
【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.
【详解】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当三点共线时，最小，.
故选：B.
7．D
【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.
【详解】由椭圆方程可知，则，
由题意可设直线的方程为：，，
与抛物线方程联立可知，即，
又，
所以.
故选：D
8．A
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
9．ACD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点坐标的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，故A正确；
，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与相切，故B错；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以直线的斜率存在，设其方程为，
联立得，所以，
所以或，
又，
所以，故C正确；
因为，
所以，而，故D正确．
故选：ACD．
10．BCD
【分析】将点求出，即可判断A；设，直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，求出，即可判断B；判断点与以为直径的圆的位置关系，即可判断D；求出即可判断C.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线方程为，的准线为，故A错误；
设，直线的方程为，
联立，消得，则恒成立，
，
故，
所以，
所以，即，
所以以为直径的圆经过原点，故B正确；
，
，
所以，故C正确；
设线段的中点为，
由B选项得，则，
故，
则，
所以以为直径的圆得圆心为，半径为，
而，
且，
所以，所以点在以为直径的圆内，
又点在以为直径的圆上，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
11．ABC
【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断B、C、D.
【详解】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对；
B：如下图轴截面中，作于，则长轴长，
又，则，对；
C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点O、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
故两条渐近线夹角正切值为，对；
D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则，故，
设抛物线方程为，则，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，错.
故选：ABC
12．BD
【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为：.
故选：BD
13．3
【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可.
【详解】如图，的焦点为，
由拋物线的定义，知，
又，所以是等边三角形，所以，，
直线的方程为，设，，
联立方程得，
所以，．
由，
得，解得．
故答案为：3
14．
【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解.
【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，
所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为．
故答案为: .
15．
【分析】根据抛物线的焦点到准线的距离为，可得抛物线方程.过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，可用焦点弦性质得出的值，最后即可得出弦的中点到轴的距离.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，故，抛物线为.
过焦点的直线与抛物线交于，两点，设，，
又由抛物线的性质：焦点弦，
所以，则，
所以的中点到轴的距离为.
故答案为：.
16． 8 3.2
【分析】（1）建立平面直角坐标系，将点代入解析式，求出，得到焦点到准线的距离，水面下降时，，进而求出，得到水面宽度.
【详解】如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，
得，得，解得，
所以抛物线方程为，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为．
当水面下降时，，则，得，
所以水面的宽度为．
故答案为：8，3.2
17．(1)，焦点坐标为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的抛物线方程直接求出准线方程及焦点坐标即可.
（2）设出点的坐标，利用向量等式，并结合抛物线方程求出点的纵坐标即可得解.
【详解】（1）由抛物线，得，
所以抛物线的准线方程是，焦点坐标是.
（2）设，
由，得为中点，且点在抛物线上，
即，又，则，
整理得：，
由，得为中点，且点在抛物线上，
同理得：，因此为方程的两根，
于是，，D点的纵坐标为，
所以直线的TD的斜率为0，即直线与轴垂直.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，表达出直线的方程为，点的坐标是，从而得到点的轨迹方程；
（2）根据得到点的坐标为，设直线：，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，由在上有两个不同的实根，进而得到不等式，求出，表达出，求出最值.
【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
设，则直线的方程为，的中点坐标为，
直线是线段的垂直平分线，方程为，
将代入上式，可得，所以点的坐标是，
由，整理得，
所以点的轨迹方程为，；
（2）因为，，可得，点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，此时与，只有一个交点，
故直线的斜率存在，设直线：，设，，
则是方程组的解，
整理得，所以，
因为方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
因为为定值，所以，
故，
因为，当时，面积取得最小值，当时，面积取得最大值，
所以，
即的取值范围为.
19．(1)
(2)存在，两个定点的坐标分别为和.
【分析】（1）由抛物线的几何性质可知，求出值从而得出抛物线方程；
（2）设直线的方程为 ，联立直线与抛物线 的方程，由韦达定理可得,设以为直径的圆上任一点 , 则 ,令 ,再结合即可解得以为直径的圆经过轴上的两个定点的横坐标，从而求得两个定点
【详解】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 .
（2）存在, 理由如下.
设直线的方程为 .
联立直线与抛物线 的方程得 消去 并整理, 得 .
易知 , 则
由直线的方程 , 可得 ,
由直线的方程 , 可得 .
设以为直径的圆上任一点 , 则 ,
所以以为直径的圆的方程为 .
令 , 得 .
将 代入上式，得 , 解得 .
故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点, 两个定点的坐标分别为和.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，可得轴，从而求出的值，进而可得抛物线的标准方程；
（2）设出直线的方程，通过，求出，联立直线与抛物线方程可得，把方程的根代入求解即可.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
则，由，可得轴，
则，即有，即，
所以抛物线方程为；
（2）设，，
代入抛物线的方程，可得，
，即且，
，，
因为点A是MB的中点，所以，
由可得，
即有，解得，
因为点位于第一象限，所以，
所以所求直线的斜率为.
21．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得，即可得到圆的半径，从而得到结果；
（2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值.
【详解】（1）设抛物线上的点，又，
所以，
当且仅当时取等号．
所以MN的最小值．
所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
所以，所以圆M的方程为．
（2）
设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零．
设切线方程为，即．
又圆M：，由相切得．
整理得：，
依题意知，所以，
联立，得，
依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为，
则，．
所以
＝．
22．(1)
(2)不可能，理由见详解
【分析】（1）联立抛物线与圆方程可求出，结合梯形面积公式即可求解；
（2）联立与，得到关于的一元二次方程，可得，设出四点坐标，列出直线方程，令求得，进而求得，即可验证.
【详解】（1）当时，联立可得，解得或，
当时，；当时，，
故，易知四边形为梯形，
则；
（2）四边形的对角线交点不可能为，理由如下：
设，
联立得，
则，即，故，
设直线方程为，
由对称性可知四边形的对角线交点一定在轴上，
令得，即，则，
即，解得，显然不成立，
故四边形的对角线交点不可能为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．设抛物线：（）的焦点为，若点在上，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A． B． C．2 D．1
4．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上一点，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．
6．已知 Q 为抛物线 C: 上的动点，动点 M 满足到点A(2，0)的距离与到点F(F是C的焦点)的距离之比为 则|QM|+|QF|的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
7．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
8．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两个不同的点，则（ ）
A．的准线为 B．直线与相交
C． D．
10．已知为坐标原点，点在抛物线上，经过点且斜率大于零的直线交于两点，点在第一象限，则（ ）
A．的准线为 B．以为直径的圆经过原点
C． D．
11．在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆 椭圆 双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）
A．圆的面积为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
12．已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（在第二象限），过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，若，，则 ．
14．已知点F(0，2)，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线垂直平分FN，交于点M．则点M的轨迹方程为 ．
15．抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且，则弦AB的中点到y轴的距离为 ．
16．石城永宁桥，省级文物保护单位，位于江西省赣州市石城县高田镇．永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥．当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 ；该石拱桥对应的抛物线的焦点到准线的距离为
四、解答题
17．已知抛物线为抛物线上四点，点在轴左侧，满足.
(1)求抛物线的准线方程和焦点坐标；
(2)设线段的中点为.证明：直线与轴垂直；
18．如图，矩形中，，，、分别是、的中点，以某动直线为折痕将矩形在其下方的部分翻折，使得每次翻折后点都落在上，记为，过点作，与直线交于点，设点的轨迹是曲线.
(1)以点为原点，以直线为轴建立直角坐标系，求曲线的方程；
(2)是上一点，，过点的直线交曲线于、两点，求的取值范围.
19．已知抛物线 的准线经过点 ．
(1)求抛物线C的方程．
(2)设O是原点，直线l恒过定点（1，0），且与抛物线C交于A，B两点，直线与直线，分别交于点M，N，请问：是否存在以 为直径的圆经过x轴上的两个定点？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，抛物线的准线与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交第一象限于A，B两点，设点到焦点的距离为d.
(1)若，求抛物线的标准方程；
(2)若点A是MB的中点，求直线的斜率.
21．已知抛物线C：，圆M：，圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
(1)求圆M的方程；
(2)设P为上一点，P的纵坐标不等于．过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点，和点，，求证：为定值．
22．已知抛物线与圆相交于四个点．
(1)当时，求四边形的面积；
(2)四边形的对角线交点是否可能为，若可能，求出此时的值，若不可能，请说明理由；
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参考答案：
1．D
【分析】根据题意，结合抛物线的几何性质，即可求解.
【详解】由抛物线，可得，解得，所以抛物线的准线方程为.
故选：D.
2．C
【分析】解法一：将点的坐标代入抛物线方程求出，则可求出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得结果；解法二：将点的坐标代入抛物线方程求出，从而可求出焦点，然后利用两点间的距离公式可求得结果.
【详解】解法一：因为点在上，所以，得，
所以抛物线的准线方程为.
由抛物线的定义，等于到准线的距离，即，
解法二：因为点在上，所以，得，所以，
所以，所以，
故选：C.
3．B
【分析】根据抛物线定义求解即可.
【详解】由题意得，，抛物线中，
所以，所以所求距离为.
故选：B
4．B
【分析】根据点在抛物线上可得，即可根据面积公式求解.
【详解】因为是上一点，所以，解得，
又是抛物线的焦点，所以，
所以的面积为．
故选:B．
5．B
【分析】设小球圆心，求出抛物线上点点到圆心距离平方，根据二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】
设小球圆心，若小球触及凹槽的最底部，则小球半径，
又抛物线上点点到圆心距离平方为：
，
若最小值在时取到，则小球触及凹槽的最底部，
故此二次函数的对称轴位置应在轴的左侧，所以，所以，
所以，从而清洁钢球的半径的范围为，
所以清洁钢球的最大半径为.
故选：B．
6．B
【分析】根据题意得到点的轨迹，然后将的最小值转化为的最小值，根据垂线段最短得到当三点共线时，最小，然后求最小值即可.
【详解】
由题意得，等于点到准线的距离，
过点作垂直准线于点，则，
设动点，则，整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
，
所以当三点共线时，最小，.
故选：B.
7．D
【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.
【详解】由椭圆方程可知，则，
由题意可设直线的方程为：，，
与抛物线方程联立可知，即，
又，
所以.
故选：D
8．A
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，
故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，
故轨迹为，
故选：A
9．ACD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点坐标的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，故A正确；
，所以直线的方程为，联立，可得，解得，故直线与相切，故B错；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以直线的斜率存在，设其方程为，
联立得，所以，
所以或，
又，
所以，故C正确；
因为，
所以，而，故D正确．
故选：ACD．
10．BCD
【分析】将点求出，即可判断A；设，直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，求出，即可判断B；判断点与以为直径的圆的位置关系，即可判断D；求出即可判断C.
【详解】因为点在抛物线上，
所以，解得，
所以抛物线方程为，的准线为，故A错误；
设，直线的方程为，
联立，消得，则恒成立，
，
故，
所以，
所以，即，
所以以为直径的圆经过原点，故B正确；
，
，
所以，故C正确；
设线段的中点为，
由B选项得，则，
故，
则，
所以以为直径的圆得圆心为，半径为，
而，
且，
所以，所以点在以为直径的圆内，
又点在以为直径的圆上，
所以，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
11．ABC
【分析】根据所给的图，结合截面圆与底面关系确定半径，即可求面积判断A；再由椭圆、双曲线、抛物线性质建立直角坐标系，并标注相关点的坐标求对应曲线方程，进而判断B、C、D.
【详解】A：由题图及已知：截面圆的半径为底面圆半径的一半，故圆的面积为，对；
B：如下图轴截面中，作于，则长轴长，
又，则，对；
C：如下图，与面垂直且过M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点O、点P与底面距离相等，均为2，则，双曲线与底面一个交点，
设双曲线为，且，则，
所以其中一条渐近线为，若其倾斜角为，则，
故两条渐近线夹角正切值为，对；
D：如下图，建立平面直角坐标系，设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则，故，
设抛物线方程为，则，
所以抛物线的焦点到准线的距离为，错.
故选：ABC
12．BD
【分析】分类讨论焦点的位置，根据抛物线的标准方程计算即可.
【详解】易知直线与坐标轴的交点分别为，
当焦点为时，可知抛物线方程为：；
当焦点为时，可知抛物线方程为：.
故选：BD
13．3
【分析】利用抛物线的定义可判定，则从而得出直线的斜率，设其方程与M、N坐标，联立抛物线方程结合韦达定理计算即可.
【详解】如图，的焦点为，
由拋物线的定义，知，
又，所以是等边三角形，所以，，
直线的方程为，设，，
联立方程得，
所以，．
由，
得，解得．
故答案为：3
14．
【分析】作图后，结合图象和抛物线的定义即可得解.
【详解】如图，由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等，
所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，
根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为．
故答案为: .
15．
【分析】根据抛物线的焦点到准线的距离为，可得抛物线方程.过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，可用焦点弦性质得出的值，最后即可得出弦的中点到轴的距离.
【详解】因为抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，故，抛物线为.
过焦点的直线与抛物线交于，两点，设，，
又由抛物线的性质：焦点弦，
所以，则，
所以的中点到轴的距离为.
故答案为：.
16． 8 3.2
【分析】（1）建立平面直角坐标系，将点代入解析式，求出，得到焦点到准线的距离，水面下降时，，进而求出，得到水面宽度.
【详解】如图，以拱顶为原点，建立直角坐标系，
设抛物线方程为，由题意可知抛物线过点，
得，得，解得，
所以抛物线方程为，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为．
当水面下降时，，则，得，
所以水面的宽度为．
故答案为：8，3.2
17．(1)，焦点坐标为；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的抛物线方程直接求出准线方程及焦点坐标即可.
（2）设出点的坐标，利用向量等式，并结合抛物线方程求出点的纵坐标即可得解.
【详解】（1）由抛物线，得，
所以抛物线的准线方程是，焦点坐标是.
（2）设，
由，得为中点，且点在抛物线上，
即，又，则，
整理得：，
由，得为中点，且点在抛物线上，
同理得：，因此为方程的两根，
于是，，D点的纵坐标为，
所以直线的TD的斜率为0，即直线与轴垂直.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，表达出直线的方程为，点的坐标是，从而得到点的轨迹方程；
（2）根据得到点的坐标为，设直线：，联立曲线的方程，得到两根之和，两根之积，由在上有两个不同的实根，进而得到不等式，求出，表达出，求出最值.
【详解】（1）以为原点，以所在直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图所示，
设，则直线的方程为，的中点坐标为，
直线是线段的垂直平分线，方程为，
将代入上式，可得，所以点的坐标是，
由，整理得，
所以点的轨迹方程为，；
（2）因为，，可得，点的坐标为，
当直线的斜率不存在时，此时与，只有一个交点，
故直线的斜率存在，设直线：，设，，
则是方程组的解，
整理得，所以，
因为方程在上有两个不同的实根，
所以，解得，
因为为定值，所以，
故，
因为，当时，面积取得最小值，当时，面积取得最大值，
所以，
即的取值范围为.
19．(1)
(2)存在，两个定点的坐标分别为和.
【分析】（1）由抛物线的几何性质可知，求出值从而得出抛物线方程；
（2）设直线的方程为 ，联立直线与抛物线 的方程，由韦达定理可得,设以为直径的圆上任一点 , 则 ,令 ,再结合即可解得以为直径的圆经过轴上的两个定点的横坐标，从而求得两个定点
【详解】（1）依题意知, , 解得 , 所以抛物线 的方程为 .
（2）存在, 理由如下.
设直线的方程为 .
联立直线与抛物线 的方程得 消去 并整理, 得 .
易知 , 则
由直线的方程 , 可得 ,
由直线的方程 , 可得 .
设以为直径的圆上任一点 , 则 ,
所以以为直径的圆的方程为 .
令 , 得 .
将 代入上式，得 , 解得 .
故存在以为直径的圆经过轴上的两个定点, 两个定点的坐标分别为和.
20．(1)
(2)
【分析】（1）由，可得轴，从而求出的值，进而可得抛物线的标准方程；
（2）设出直线的方程，通过，求出，联立直线与抛物线方程可得，把方程的根代入求解即可.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，
则，由，可得轴，
则，即有，即，
所以抛物线方程为；
（2）设，，
代入抛物线的方程，可得，
，即且，
，，
因为点A是MB的中点，所以，
由可得，
即有，解得，
因为点位于第一象限，所以，
所以所求直线的斜率为.
21．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由两点间距离公式可得，即可得到圆的半径，从而得到结果；
（2）根据题意，设切线方程为，由直线与圆相切列出方程，结合韦达定理，代入计算，即可得到为定值.
【详解】（1）设抛物线上的点，又，
所以，
当且仅当时取等号．
所以MN的最小值．
所以圆M上的点到抛物线上的点距离最小值为．
所以，所以圆M的方程为．
（2）
设，由知，过P所作圆的切线的斜率均存在且非零．
设切线方程为，即．
又圆M：，由相切得．
整理得：，
依题意知，所以，
联立，得，
依题意知，设点A，B，C，D的纵坐标为，
则，．
所以
＝．
22．(1)
(2)不可能，理由见详解
【分析】（1）联立抛物线与圆方程可求出，结合梯形面积公式即可求解；
（2）联立与，得到关于的一元二次方程，可得，设出四点坐标，列出直线方程，令求得，进而求得，即可验证.
【详解】（1）当时，联立可得，解得或，
当时，；当时，，
故，易知四边形为梯形，
则；
（2）四边形的对角线交点不可能为，理由如下：
设，
联立得，
则，即，故，
设直线方程为，
由对称性可知四边形的对角线交点一定在轴上，
令得，即，则，
即，解得，显然不成立，
故四边形的对角线交点不可能为.
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