2023年秋期高中三年级期中质量评估
数学试题
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效。
2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.
4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.
5.保持卷面清洁，不折叠、不破损。
第I卷 选择题（共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列集合中，表示空集的是
A. B.
C. D.
2.命题“，”的否定为
A.， B.，
C.， D.，
3.若复数满足，则
A. B.2 C. D.
4.公比不为1的等比数列满足，若，则的值为
A.8 B.9 C.10 D.11
5.若函数有两个零点，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
6.已知，，，，则
A. B. C. D.
7.已知，，分别为的三个内角，，的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brocard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则
A. B. C. D.
8.已知在上单调递减，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.如图是函数的部分图象，则函数
A. B.
C. D.
10.已知是数列的前项和，，则
A.是等比数列 B.
C. D.
11.设，若，则的值可能为
A. B. C.1 D.2
12.设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是
A.且 B.且
C.且 D.且
第II卷 非选择题（共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.
14.四边形中，，，是四边形的外接圆的直径，则______.
15.奇函数满足，，则______.
16.互不相等且均不为1的正数，，满足是，的等比中项，则函数的最小值为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分10分）
设数列为等差数列，其前项和为，数列为等比数列.已知，
，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）
已知函数，其中，若实数，满足时，的最小值为.
（1）求的值及的单调递减区间；
（2）若不等式对任意时恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
记为数列的前项和.已知.
（1）证明：是等差数列；
（2）若，，成等比数列，求数列的前2024项的和.
20.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且满足_____.
（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）
条件①：
条件②：
（1）求角；
（2）若为锐角三角形，，求面积的取值范围.
21.（本小题满分12分）
已知函数，，，曲线在点处的切线也是曲线的切线.
（1）若，求；
（2）求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
（1）已知函数，判断函数的单调性并证明；2023年秋期高中三年级期中质量评估
数学参考答案
一.选择题：
1-8.BADC CDBA
二.选择题：
9.BC 10.ABD 11.BC 12.AC
三.填空题：
13.或 14. 15. 16.4
四.解答题：
17.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由可得，
即，解得，
所以，，
，∴
则；
（2），
则①，
可得②，
①②得：
，
因此，
18.解：（1）
因为实数，满足时，的最小值为.
所以的最小正周期，解得，
所以，由，得
的单调递减区间为
（2）不等式对任意时恒成立，
，
令，，∴
，
，恒成立
令，
∴，解得：，
故实数的取值范围是
19.解：（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，
又，，成等比数列，所以，解得，
所以
∴.
∴数列的前2024项和为：
20.解：解析：（1）选择条件①：
由题意及正弦定理知，
∴，∴
∵，∴.
选择条件②：因为，所以，
即，解得，又，
所以
（2）由可得
因为是锐角三角形，由（1）知，得到，
故，解得，所以.
，
21.解：（1）由题意知，，，，
则在点处的切线方程为，
设该切线与切于点，，则，解得，
则，解得；
（2）因为，则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，
则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，
令，解得或，
令，解得或，
则变化时，，的变化情况如下表：
0 1
－ 0 + 0 － 0 +
则的值域为，故的取值范围为
22.解：（1）函数的定义域为，函数的定义域为
函数在上单调递减，
在上单调递增
证明：，∴
所以为上的偶函数.
对恒成立.
所以函数在上单调递减，在上单调递增
（2）（证法一）要证明，需证明
即证明，即，
由（1）可知即证.
∵且在单调递增，∴
所以对，成立.
（证法二）要证明即证明，
即证，
即证
设函数
，故函数在上单调递增
又，∴，故原不等式成立.
