2023—2024学年度第一学期期中阶段性测试初三数学试题
（120分钟）
一、书写与卷面（3分）
书写规范 卷面整洁
二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上．
1. 下列各式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是掌握分式的定义：形如 (A、B都是整式且B中含有字母)的式子叫分式．
根据分式的定义进行分析判断．
【详解】解：A、是整式，不是分式，符合题意；
B、是整式，不是分式，不符合题意；
C、该式是整式，不是分式；
D、该式的分母有字母，是分式，
故选∶D．
2. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
B、，结果是整式的积的形式，故从左到右的变形是因式分解，故本选项正确，符合题意；
C、，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D、，结果不是整式的积的形式，故从左到右的变形不是因式分解，故本选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做这个多项式的因式分解，熟练掌握此定义是解此题的关键．
3. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半
【答案】A
【解析】
【分析】将x，y的值用代替，根据分式的性质化简．
【详解】解：；
故选：A．
【点睛】本题考查分式的基本性质；掌握分式的性质是解题的关键．
4. 4x2y和6xy3的公因式是（ ）
A. 2xy B. 3xy C. 2x2y D. 3xy3
【答案】A
【解析】
【分析】提取各项系数的最大公约数与各项都含有的相同字母的最低次数幂的积即可．
【详解】和的公因式是，
故选：A．
【点睛】本题考查公因式的定义，掌握确定公因式的方法是解题关键．
5. 数据2，6，4，5，4，3的众数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据众数定义即可求解，众数：在一组数据中出现次数最多的数．
【详解】解：数据2，6，4，5，4，3的众数是4
故选B
【点睛】本题考查了众数的定义，掌握众数的定义是解题的关键．
6. 若关于分式方程无解，则的值为（）
A. 2 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【详解】解：方程去分母得：x-5=-m
解得：x=5-m,
当x=3时，分母为0，方程无解，
所以5-m=3,即m=2时方程无解．
故选A
【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．
7. 对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A. 8 B. m C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【详解】因为
所以原式能被8整除．
故选A．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．
8. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
【答案】B
【解析】
【分析】9人成绩中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选B．
【点睛】本题考查统计的有关知识，解题关键是熟练掌握平均数、中位数、众数、方差的意义．
9. 设，，则m，n的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】解：
故选：D
【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
10. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先表示出底面积和侧面积，然后求它们的差，再提取公因式分解因式即可．
【详解】解：底面积为（b﹣2a）2，
侧面积为a （b﹣2a） 4＝4a （b﹣2a），
∴M＝（b﹣2a）2﹣4a （b﹣2a），
提取公式（b﹣2a），
M＝（b﹣2a） （b﹣2a﹣4a），
＝（b﹣6a）（b﹣2a）
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解，灵活提取公因式是本题关键．
三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
12. 如果是一个完全平方式，那么_____．
【答案】±8
【解析】
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【详解】解：，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题主要考查了完全平方式，解题关键是根据平方项确定出二倍项系数．
13. 如图是某班今年月学生课外阅读数量折线统计图，课外阅读数量的中位数是____本．
【答案】
【解析】
【分析】观察折线统计图，根据中位数的定义，将这组数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，，，分析可知位于中间位置的两个数分别为、，求出这两个数的平均数即可．
【详解】解：这组数据从小到大为：，，，，，，，，
所以这组数据的中位数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了中位数，从折线统计图中获得信息及正确理解中位数：将数据排序（从大到小或从小到大）后，位置在最中间的数值是解题的关键．
14. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]中各个字母表示的意义，得出这组数据的平均数是6，数据个数是4，从而得出这组数据的总和．
【详解】∵s2=[（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，
∴这组数据的平均数是6，数据个数是4，
∴这组数据的总和为4×6=24．
故答案为24．
【点睛】本题考查了方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，解题关键是对方差公式的理解．
15. 已知，则的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．
由已知得到，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．
【详解】解：由已知得，，
．
故答案为：．
16. 若分式方程无解，则值为__________．
【答案】或1
【解析】
【分析】先将分式方程化简为整式方程，然后分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论求解即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以得，，
，
∵原分式方程有无解，
∴或，
当，解得．
∴，解得．
当时，．
故答案为：或1．
【点睛】本题考查了分式方程的无解，根据分式方程无解分分式方程有增根和化简后的一元一次方程无解两种情况讨论是解答此题的关键．
四、解答题（本大题共9个小题，满分69分）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用提取公因式因式分解即可；
（2）先运用平方差公式分解，然后利用完全平方公式分解解题即可．
【小问1详解】
）原式；
【小问2详解】
原式．
【点睛】本题考查分解因式，掌握先提取公因式，然后再运用公式分解因式，分解的每个因式都不能再分解是解题的关键．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据分式的加减计算法则求解即可；
（2）先计算乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，含乘方的分式乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
19. 先化简，再求值：，最后选择一个你喜欢的数作为的值代入求值．
【答案】，1
【解析】
【分析】根据分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可．
【详解】解：原式
＝
＝，
由分式有意义的条件即可知：，
原式＝1．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
20. 解方程：
【答案】x=2．
【解析】
【分析】因为x2-1=（x+1）（x-1），所以可确定最简公分母（x+1）（x-1），然后方程两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检验．
【详解】解：方程两边同乘（x+1）（x-1），
得：x（x+1）-（2x-1）=（x+1）（x-1），
解得：x=2．
经检验：当x=2时，（x+1）（x-1）≠0，
∴原分式方程的解为：x=2．
【点睛】本题考查解分式方程．
21. 智能时代引领铁路的高速发展，已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶300千米，提速后列车比现阶段多行驶450千米，问列车平均提速多少千米/小时？
【答案】300千米/小时
【解析】
【分析】设列车平均提速千米/小时，利用提速前后的时间相等列方程求解即可．
【详解】解：设列车平均提速千米/小时，
依题意得：
解得．
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：列车平均提速300千米/小时．
【点睛】本题考查的是分式方程的应用，掌握列分式方程解应用题是解题的关键．
22. 为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）、（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c，d，m，n的值（只要求写出求a，b的计算过程）。
统计量 平均数 众数 中位数
（1）班 a c m
（2）班 b d n
【答案】（1）6人； （2），，，，，．
【解析】
【分析】（1）根据条形图求出人数，根据扇形统计图求出所占百分比，即可得出结论；
（2）根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意，知（1）班人数为（人），
∵两班学生人数相同，故（2）班人数为50人，
∴（2）班10分的人数为（人）．
【小问2详解】
由题意，知：
（1）班的平均分为：（分）；
（2）班的平均分为：（分）；
（1）班8分人数最多，故；
（2）班9分人数最多，故；
把（1）班的成绩从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则（1）的中位数是（分），故；
（2）班6分的人数为：人，7分的人数为：人，8分的人数为：人，9分的人数为：人，10分的人数为：6人，
把（2）班的成绩从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则（2）的中位数是（分），故．
【点睛】本题主要考查统计的知识，求平均数，中位数，众数，熟练根据统计图得出相应的数据是解题的关键．
23. 甲、乙两个小组共10名学生（每组5名）进行一次飞镖测试，其成绩如下表：
甲组成绩（环） 8 7 8 8 9
乙组成绩（环） 9 8 7 9 7
通过计算说明，哪组成绩相对稳定？
【答案】甲组成绩相对稳定．
【解析】
【分析】根据方差计算公式，进行计算，然后比较方差，小的稳定，在计算方差之前还需先计算平均数．
【详解】解：（环）．
（环）．
．
．
∵，
∴甲组成绩相对稳定．
【点睛】本题考查方差，掌握方差的计算公式是解题关键．
24. 教科书中这样写道：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；
例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：
（2）已知，，求：
①；
②．
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
【答案】（1）
（2）①28；②752
（3）当时，多项式有最小值，最小值为5
【解析】
【分析】（1）先利用配方法将多项式变形为，再利用平方差公式进行因式分解即可得；
（2）①先将改写成，再利用完全平方公式即可得；
②先将改写成，再结合①的结果，利用完全平方公式即可得；
（3）先将改写成，再利用完全平方公式、偶次方的非负性即可求出最小值．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：①，，
；
②，，
．
【小问3详解】
解：
，
，
，
当，即时，多项式有最小值，最小值为5．
【点睛】本题考查了完全平方公式与平方差公式、因式分解等知识点，熟练掌握配方法和乘法公式是解题关键．
25. 【观察发现】
；
；
；
…
【问题解决】
（1）________；
（2）________；
【拓广应用】
（3）计算：；
（4）解方程：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【解析】
【分析】本题考查了分式的运算和解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：1n(n+1)=1n 1n+1是解答本题的关键．
（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可；
（2）利用分式的运算和题中的运算规律求解即可；
（3）利用前面运算规律得到原式，然后合并后通分即可；
（4）利用运算规律方程化为，合并后解分式方程即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3）原式
；
（4）解：，
，
，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解．2023—2024学年度第一学期期中阶段性测试初三数学试题
（120分钟）
一、书写与卷面（3分）
书写规范 卷面整洁
二、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题有且只有一个正确答案，请把正确答案的字母代号涂在答题卡上．
1. 下列各式是分式的是（ ）
A B. C. D.
2. 下列从左到右变形，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 把分式中的x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A. 不变 B. 扩大为原来的2倍
C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小为原来的一半
4. 4x2y和6xy3的公因式是（ ）
A. 2xy B. 3xy C. 2x2y D. 3xy3
5. 数据2，6，4，5，4，3的众数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 5 D. 6
6. 若关于的分式方程无解，则的值为（）
A. 2 B. C. 3 D.
7. 对于任何整数m，多项式都能被（ ）整除．
A. 8 B. m C. D.
8. 有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（ ）
A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
9. 设，，则m，n关系是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，有一张边长为b的正方形纸板，在它的四角各剪去边长为a的正方形．然后将四周突出的部分折起，制成一个无盖的长方体纸盒．用M表示其底面积与侧面积的差，则M可因式分解为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______．
12. 如果是一个完全平方式，那么_____．
13. 如图是某班今年月学生课外阅读数量折线统计图，课外阅读数量的中位数是____本．
14. 已知一组数据的方差s2= [（x1﹣6）2+（x2﹣6）2+（x3﹣6）2+（x4﹣6）2]，那么这组数据的总和为_____．
15. 已知，则的值是_______．
16. 若分式方程无解，则的值为__________．
四、解答题（本大题共9个小题，满分69分）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
18. 计算：
（1）；
（2）．
19. 先化简，再求值：，最后选择一个你喜欢的数作为的值代入求值．
20. 解方程：
21. 智能时代引领铁路的高速发展，已知某铁路现阶段列车的平均速度是200千米/时，未来还将提速，在相同的时间内，列车现阶段行驶300千米，提速后列车比现阶段多行驶450千米，问列车平均提速多少千米/小时？
22. 为了加强心理健康教育，某校组织八年级（1）、（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为10分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
（1）求（2）班学生中测试成绩为10分的人数；
（2）请确定下表中a，b，c，d，m，n的值（只要求写出求a，b的计算过程）。
统计量 平均数 众数 中位数
（1）班 a c m
（2）班 b d n
23. 甲、乙两个小组共10名学生（每组5名）进行一次飞镖测试，其成绩如下表：
甲组成绩（环） 8 7 8 8 9
乙组成绩（环） 9 8 7 9 7
通过计算说明，哪组成绩相对稳定？
24. 教科书中这样写道：“我们把多项式叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如：分解因式；
例如求代数式最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：
（2）已知，，求：
①；
②．
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
25. 【观察发现】
；
；
；
…
【问题解决】
（1）________；
（2）________；
拓广应用】
（3）计算：；
（4）解方程：．
