2023-2024学年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元达标测试卷（含解析）

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元达标测试卷
一、单选题
1．二次函数的图象的顶点坐标是（　　）
A．（1，3） B．（－1，3）
C．（1，－3） D．（－1，－3）
2．抛物线的顶点坐标是(　　)
A．（0，1） B．（0，-1） C．（1，0） D．（-1，0）
3．下列函数的对称轴是直线 的是（　　）
A． B． C． D．
4．关于抛物线y=x 2 －2x+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．与x轴有一个交点
C．对称轴是直线x=1 D．当x＞1时，y随x的增大而减小
5．已知（0，y1），（﹣2，y2），（﹣3，y3）是抛物线y＝﹣x2﹣4x+1上的点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
6．二次函数y=﹣2x2的图象如何移动，就得到y=﹣2x2+4x+1的图象（　　）
A．向左移动1个单位，向上移动3个单位 B．向左移动1个单位，向下移动3个单位
C．向右移动1个单位，向上移动3个单位 D．向右移动1个单位，向下移动3个单位
7．若抛物线y＝x2＋mx的对称轴是x＝2.5，则关于x的方程x2＋mx＝6的解为（　　）.
A．－2，3 B．2，－3 C．－1，6 D．1，－6
8．一次函数 和 同一直角坐标系内的图象是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，抛物线 与x轴交于点A和B，线段AB的长为2，则k的值是（　　）
A．3 B． 3 C． 4 D． 5
10．已知二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x1，y1）和（x2，y2）两点，（　　）
A．若a<0，m<0，则x1+x2>2h B．若a>0，m<0，则x1+x2>2h
C．若x1+x2>2h， 则a>0，m>0 D．若x1+x2<2h，则a>0，m<0
二、填空题
11．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 　 　 .
12．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为　 　元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
13．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x+m）2+n的顶点在线段AB上，与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标的最大值为　 　．
14．如图，抛物线（，，为常数，且）交轴于，两点，则不等式的解为　 　.
三、解答题
15．已知抛物线的顶点坐标是(3,1)，并且经过点(2，－1)，求它的解析式
16．已知y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，求m的值．
17．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
18．供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠某供销社指导农民生产和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量单位：吨是关于售价单位：元千克的一次函数，即；而市场需求量单位：吨是关于售价单位：元千克的二次函数，部分对应值如表．
售价元千克
需求量吨
同时还发现该特产售价单位：元千克，成本单位：元千克随着时间月份的变化而变化，其函数解析式分别为，．
（1）直接写出市场需求量关于售价的函数解析式不要求写出自变量取值范围；
（2）哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？
（3）供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售全部特产获得的总利润．
四、综合题
19．若直线 与二次函数的图象 与交A、B两点（A在B的左侧）
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求三角形ABO的面积.
20．已知抛物线y＝x2＋bx＋c，经过点A（0，5）和点B（3，2）．
（1）求抛物线的解析式？
（2）求此抛物线的对称轴及顶点坐标？
21．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒．
（1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值；
（3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
22．如图1，抛物线 与x轴交于A，B（3，0）两点，与y轴交于C（0，-2），直线AD交y轴于点E ，与抛物线交于A，D两点，点P是直线AD下方抛物线上一点（不与A，D重合）.
（1）求抛物线的解析式与直线AD的解析式；
（2）如图1，过点P作PN∥y轴交直线AD于点N，求线段PN的最大值；
（3）如图2，连接AP，DP，是否存在点P，使得三角形APD的面积等于2，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴相交于点，且与直线：相交于点、两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，设直线与轴交于点，若，求点的坐标；
（3）如附图，若在轴上存在两个点、，使，且，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【分析】直接根据顶点式写出顶点坐标：（1，3）
故选A.
2．【答案】B
【解析】【分析】抛物线的顶点式，顶点坐标为（h，k ），因为抛物线的顶点坐标是（0，-1）
选B
【点评】本题考查抛物线，解答本题的关键是掌握抛物线的顶点式，能由顶点式写出抛物线的顶点坐标来
3．【答案】C
【解析】【解答】A、对称轴为y轴，故本选项不符合题意；
B、对称轴为直线x=3，故本选项不符合题意；
C、对称轴为直线x=-3，故本选项符合题意；
D、∵ = ∴对称轴为直线x=3，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的性质分别写出各选项中抛物线的对称轴，然后利用排除法求解即可．
4．【答案】D
【解析】【解答】抛物线y=x2-2x+1=（x-1）2，
A、因为a=1＞0，开口向上，不符合题意；
B、因为顶点坐标是（1，0），判别式△=0，不符合题意；
C、因为对称轴是直线x=1，不符合题意；
D、当x＞1时，yy随x的增大而增大，符合题意．
故答案为：D．
【分析】（1）因为a=1＞0，根据二次函数的图象和性质可知，抛物线开口向上；
（2）将解析式配成顶点式为：y=x2-2x+1=（x-1）2，判别式△=0，所以抛物线与x轴只有一个交点；
（3）由（2）知，对称轴是直线x=1；
（4）因为a=1＞0，开口向上，所以在对称轴右侧，y随x的增大而增大，即当x＞1时，y随x的增大而增大。
5．【答案】B
【解析】【解答】解： y＝﹣x2﹣4x+1=-（x+2） 2+5，
∴抛物线的对称轴为直线x=-2，
∴点（0，y1） 关于直线x=-2的对称的点的坐标为（-4，y1）
∵a＜0
∴当x＜-2时y随x的增大而增大，
∵-4＜-3＜-2，
∴y1＜y3＜y2.
故答案为：B.
【分析】将函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴为直线x=-2，再求出点（0，y1） 关于直线x=-2的对称的点的坐标；然后根据二次函数的性质，当x＜-2时y随x的增大而增大，可得到 y1，y2，y3的大小关系.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：二次函数y=﹣2x2的顶点坐标为（0，0），y=﹣2x2+4x+1的顶点坐标为（1，3），
∴向右移动1个单位，向上移动3个单位．
故选C．
【分析】利用二次函数的图象的性质．
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+mx的对称轴是x=2.5，
∴=2.5，
∴m=-5，
解方程x2-5x-6=0得x1=-1，x2=6．
故答案为：C．
【分析】根据对称轴x=-=2.5可求出m值，然后将m值代入方程并解之即可.
8．【答案】C
【解析】【解答】A.由抛物线知，a＞0，b＞0；由直线知a＜0，b＞0，a的值矛盾，A不符合题意；
B.由抛物线知，a＞0，b＜0；由直线知a＞0，b＞0，b的值矛盾，B不符合题意；
C.由抛物线知，a＞0，b＜0；由直线知a＞0，b＜0，两结论一致，C符合题意；
D.由抛物线知，a＜0，b＞0；由直线知a＞0，b＜0，a、b的值矛盾，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】当a＞0，一次函数图象必过第一、三象限，抛物线开口向上，排除A，只能看B、C，而答案B一次函数中的b＞0，根据左同右异，二次函数中的b应＜0.排除B；而答案C一次函数的b＜0，二次函数的b＜0.因此B正确。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为x==2
∵AB=2
∴点A为（1,0），点B为（3,0）
将点A的坐标代入抛物线
-1+4+k=0，解得，k=-3
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质计算得到其对称轴，由AB的长度即可得到点A以及点B的坐标，根据点A的坐标求出k即可得到答案。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：∵y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，
∴y=ax2-2ahx+ah2+k=mx+n，
整理得：ax2-（2ah+m）x+ah2+k-n=0，
∴x1+x2=，即x1+x2=2h+，
A、若a＜0，m＜0，
∴＞0，
∴x1+x2=2h+＞2h，
∴A选项符合题意；
B、若a＞0，m＜0，
∴＜0，
∴x1+x2=2h+＜2h，
∴B选项不符合题意；
C、若x1+x2>2h，
∴2h+＞2h，
∴＞0，
∴a和m同号，
∴C选项不符合题意；
D、若x1+x2＜2h，
∴2h+＜2h，
∴＜0，
∴a和m异号，
∴D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由y=a（x-h）2+k（a≠0）与y=mx+n（m≠0）交于（x1，y1）和（x2，y2） ，可联立方程，利用根与系数关系求得x1+x2=2h+，再通过不等式性质，逐项进行分析判断，即可得出正确答案.
11．【答案】
【解析】【解答】解：因为，
所以向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到解析式为：即.
故答案为：.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，进而根据平移规律：抛物线y=a（x-h）2+k向左平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h+m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向右平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h-m）2+k；将抛物线y=a（x-h）2+k向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k+m；将抛物线y=a（x-h）2+k向下平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k-m，据此即可得出答案.
12．【答案】22
【解析】【解答】解：设定价为x元，每天的销售利润为y．
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】最值问题的基本解决方法为函数思想，设出自变量，由“利润=单件利润销量“构建关于x的函数关系式，若是二次函数可利用配方法求出最值.
13．【答案】8
【解析】【解答】解：当点C横坐标为﹣3时，抛物线顶点为A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；
当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此时D点横坐标最大，
所以点D的横坐标最大值为8，
故答案为：8．
【分析】当点C横坐标为﹣3时，抛物线的顶点就为点A（1，4），对称轴为x=1，此时D点横坐标为5，则CD=8；当抛物线顶点为B（4，4）时，抛物线对称轴为x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；所以点D的横坐标最大值为8.
14．【答案】x＜-1或x＞2
【解析】【解答】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴转化为ax2+bx+c＜0，
抛物线与x轴交于点A（-1，0），点B（2，0），
就是当y＜0时，此不等式的解集为x＜-1或x＞2.
∴不等式的解集为x＜-1或x＞2
故答案为：x＜-1或x＞2
【分析】观察图象，可知抛物线的开口向下，可得到a＜0，可将不等式变形为ax2+bx+c＜0，观察图象，可知y＜0时x的取值范围，即可得到不等式的解集.
15．【答案】解：抛物线的顶点坐标为(3,1)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x 3) 2+1，
把点(2, 1)代入得，
1=a(2 3) 2+1，
解得，a= 2，
∴抛物线的解析式为y= 2(x 3) 2+1
【解析】【分析】由于此题给出了抛物线的顶点坐标，故设出顶点式，再代入点 (2, 1) 求出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式.
16．【答案】解：∵y=（m﹣1）x 是关于x的二次函数，
∴m2+2m﹣1=2，
解得m=1或﹣3，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，
∴m=﹣3．
【解析】【分析】根据二次函数定义可得m2+2m﹣1=2且m﹣1≠0，再解即可．
17．【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝ ． 将a值代入得到抛物线的解析式为： y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝ ＝2.25． 故水管长为2.25m．
【解析】【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
18．【答案】（1）解：设，
将，，代入得：
，
解得：，
，
经检验，表内数据符合该解析式，
市场需求量关于售价的函数解析式为；
（2）解：设每千克获利为元千克，
则
，
当时，有最大值，最大值为，
四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为元千克；
（3）解：令，即，
解得：或舍去，
此时，，
，
，
此时出售全部特产获得的总利润为元．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出需求量关于售价的函数解析式 ；
（2）根据每千克的利润=每千克的售价-每千克的成本，即可的出每千克的利润的表达式，再利用二次函数的增减性即可求解；
（3）根据题意列方程求解即可.
19．【答案】（1）解：由题意得：
解得： 或
又A在B的左侧
∴A(0，3)，B(1，4)；
（2）解：如图所示：A(0，3)，B(1，4)；
∴OA＝3，OA边上的高为1，
∴S△AOB＝
【解析】【分析】（1）由题意将抛物线与直线的解析式联立解方程组即可求解；
（2）由题意根据S△AOB=AO·xB可求解.
20．【答案】（1）解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A（0，5）和B（3，2）点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式是：y＝x2 4x＋5；
（2）解：∵y＝x2 4x＋5＝（x 2）2＋1，
∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1）．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据题意y＝x2 4x＋5＝（x 2）2＋1求解即可。
21．【答案】（1）解：由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
当t=1时，AP=1，则OP=3，
∵PD⊥y轴，AB⊥y轴
∴PD∥AB
∴
∴
解得DP= ；
（2）解：CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4–t
∴S= = ×2t×(4–t)=
当t=2时，S最大值=4
（3）解：分两种情况讨论：
①当 时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在）
∵AB∥CO
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可证得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴当 时，△ODQ与△ABC不可能相似。
②当 时，点Q在x轴正半轴上运动，
延长AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=2t-6，由DP∥AB可得OD=
当 时，
， 在 内；
当 时，
， 在 内；
∴存在 和 ，使△ODQ与△ABC相似。
【解析】【分析】解答本题的关键是熟练掌握求二次函数的最值的方法：公式法或配方法；同时熟练运用平行线分线段成比例，准确列出比例式解决问题.先由题意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出当t=1时，AP=1，OP=3，最后根据PD⊥y轴，AB⊥y轴，结合平行线分线段成比例即可列比例式求解； 小题2作DE⊥CO于点E，分别用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE=OP=4–t，再根据三角形的面积公式即可得到S关于t的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得S的最大值； 小题3分两种情况当 0 ≤ t < 3 时，当 3 < t ≤ 4 时结合相似三角形的判定方法讨论.
22．【答案】（1）解：把B（3，0），C（0，-2）分别代入 中
解得：
∴抛物线的解析式为
令 ，则
解得：
∴A(-1，0)
设直线AD的解析式为
把A(-1，0)，E(0， )分别代入 中，得
解得：
∴直线AD的解析式为
（2）解：设P（ ）
∴N（ ）
∴PN= - =
∵
∴PN有最大值
PN有最大值= =
（3）解：存在
联立方程组得，
解得： ，
∴D（2，-2）
由（2）可知：PN=
∴
=
=
=
=
∵
∴
解得：
∴ ， ．
【解析】【分析】（1）把B（3，0），C（0，-2）分别代入 中，解方程可得出解，求出点A的坐标，设 直线AD的解析式为 ， 把A(-1，0)，E(0， )分别代入 中，求解即可；
（2）设P（ ） ，得出 N（ ） ，由两点距离公式得出关于m的二次函数，根据二次函数的性质即可得出结论；
（3）联立方程组求出点D的坐标，依据三角形面积得出方程，求解即可。
23．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线，，，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为
（2）解：过作轴于，如图：
把代入得：，
，
，
令得，
，
，
为的中点，
，
在中，令得，
，
由得：，
解得或，即，
，
或，
，
，
；
（3）解：，
，，，共圆，
设，，，所在圆的圆心为，过作于，连接，如图：
把代入得：，
，
，
由得：或，
，，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
解得或舍去，
的值为．
【解析】【分析】（1）已知抛物线对称轴与两点坐标，将坐标带入抛物线表达式中即可求出答案。
（2）由题意得出直线AB方程，假设点B坐标，列方程组，解得k值，即可求出点B坐标。
（3）由圆的性质列方程组解出A，B坐标，根据中点坐标公式求出M点坐标，利用勾股定理即可求出答案。