江苏省常州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

常州市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
2023年11月
一、单选题
1．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线，．当时，的值为（ ）
A．1 B． C．或1 D．
3．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
5．已知是椭圆的左焦点，是此椭圆上的动点，是一定点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．直线与直线交于点，点是圆上的动点，为坐标原点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，（为坐标原点），则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆的左，右焦点，，过原点的直线与椭圆相交于，两点．其中在第一象限．，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列结论错误的是（ ）
A．过点，的直线的倾斜角为
B．若直线与直线垂直，则
C．直线与直线之间的距离是
D．已知，，点在轴上，则的最小值是5
10．设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．离心率
C．面积的最大值为 D．以线段为直径的圆与直线相切
11．圆和圆的交点为，，则（ ）
A．公共弦所在直线的方程为 B．线段中垂线的方程为
C．公共弦的长为 D．
12．已知，是双曲线的左、右焦点，且到的一条渐近线的距离为，为坐标原点，点，为右支上的一点，则（ ）
A． B．过点且斜率为1的直线与有两个不同的交点
C．若、斜率存在，则 D．的最小值为
三、填空题
13．若直线平分圆的周长，则的最大值为__________．
14．已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________．
15．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则双曲线的离心率为__________．
图1 图2
16．如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为，，，，则菱形的面积与矩形的面积的比值__________．
四、解答题
17．已知直线经过点，倾斜角为．
（1）若，求直线的方程；
（2）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的一般式方程．
18．已知抛物线的焦点为，点在拋物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知直线交抛物线于，两点，且点为线段的中点，求直线的方程．
19．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于，两点，求的面积．
20．如图，已知圆，点为直线上一点，过点作圆的切线，切点分别为，．
（Ⅰ）已知，求切线的方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
21．已知椭圆的左、右焦点为、，，若圆方程，且圆心满足．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点，过与垂直的直线交圆于、两点，为线段中点，求的面积的取值范围．
22．已知点，关于原点对称，点在直线上，，过点，且与直线相切，设圆心的横坐标为．
（1）求的半径；
（2）若，已知点，点，在上，直线不经过点，且直线，的斜率之和为，，是垂足，问：是否存在一定点，使得为定值．
期中数学试卷参考答案
1．C【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
2．B【详解】由直线，，，，得．
3．D【详解】不妨设点在第一象限，由题意可知，
由于是等边三角形，则，所以，
由题意可得，解得，双曲线的方程为．
4．C【详解】根据直线和曲线方程可得如下图象，
要使它们有且仅有一个公共点，则在第二象限与曲线相切或直线截距在，
当在第二象限与曲线相切时，，可得．
综上，的取值范围或．
5．C【详解】由椭圆可得：，，，
，根据椭圆的第二定义，过作左准线的垂线，交与点，如图，则的最小值为，，的最小值为．
6．C【详解】解：由题意可得直线过定点，直线过定点，当时，，当时，的斜率，的斜率，得，点在以为直径的圆上（不包含），且圆心，半径，又点是圆上的动点，且圆心，半径，
的最大值为．
7．A【详解】设，则，，
因为，可得，整理得，
即点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足，即，解得，
即实数的取值范围起．
8．D【详解】
9．ABC【详解】对A，，故A错误；
对B，若两条直线垂直，则，得，故错误；
对C，直线可化为，则两条直线间的距离，故C错误；
对D，如图，设点关于轴的对称点为，则，当且仅当，，三点共线时取“”，故D正确．
10．AD【详解】由题意，椭圆，可得，，可得，
所以焦点为，，根据椭圆的定义，所以A正确；
椭圆的离心率为，所以B错误；其中面积的最大值为，所以C错误；由原点到直线的距离，
所以以线段为直径的圆与直线相切，所以D正确．
11．ABD【详解】①，②，用①减去②即得到公共弦所在直线的方程为，故A正确；
把圆化为标准方程得，圆心为，半径为，把圆化为标准方程为，圆心为，，线段中垂线即为圆心与圆心两点构成的直线为，故B正确；
圆心到公共弦所在直线的距离为，故公共弦的长为，故C错误；
圆心到圆心的距离，
12．AD【详解】设双曲线的半焦距为，其中一条渐近线为：
因为到的一条渐近线的距离为，即，所以，又，所以，故A正确；对于B，双曲线的一条渐近线的斜率为1，所以过点且斜率为1的直线为，联立，消去得：，，只有一个交点，故B错误；对于C，设，则，
，故C错误；
对于D，由双曲线的定义可知，当且仅当、、三点共线时取得等号
13．略
14．
【详解】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，所以，，因为在中，，所以由正弦定理可得，，
因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，平方化简可得：，即，可得，．
15．
【详解】如图，由，，可得，在中，由，不妨设，则，
由勾股定理得，
又由双曲线的定义可得，，
根据可得，解得，
所以，，
故在中，，即，
故，
故双曲线的离心率为．
故答案为：．
16．【详解】因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为，又因为虚轴的两端点为，，所以，
在中，由三角形的面积公式值，即，
因为，可得，即，
又因为，解得，
设，可得，所以，
在中，可得，，
所以，菱形的面积，
所以
17．（1）
（2）或
【详解】（1）倾斜角为满足，又，且注意到，所以解得，所以直线的斜率为
（2）当截距为零时，直线方程为；
当截距不为零时，设所求直线的方程为，将代入得，解得，
18．（1） （2）
【详解】（1）点在抛物线上，由抛物线定义可得，解得，故抛物线的标准方程为．
（2）设，，如下图所示：
则，两式相减可得则，故直线的斜率为4，
所以直线的方程为，即直线的方程为．
19．（1） （2）
【详解】（1）依题意，设所求双曲线方程为，代入点得，即，所以双曲线方程为，即．
（2）由（1）得，则，，，
则，故直线的方程为，设，，
联立，消去，得，则，，，由弦长公式，
又点到直线的距离，
所以．
20．（Ⅰ）情况1．当切线斜率不存在时，有切线
情况2．设切线：，即．由得，解得，切线为
综上：切线为，
（Ⅱ），在以点为圆心，切线长为半径的圆上，
即在圆：上联立得
所以过定点
21．（1）；（2）．
【详解】（1）由题意可知：，，
，故，
从而，，椭圆的方程为
（2）①若的斜率不存在，则与轴重合，则过圆心，点与点重合，
此时②的斜率存在时，设，
设，，由，消，得，
，，，
，直线与椭圆相交，故，即
，为线段中点，，
又，，，又点到的距离，
令，则，
令，在单调递减，故
综上，
22．（1）或 （2）存在，使得．
【详解】（1）圆过点，，圆心在的垂直平分线上，
由已知点在直线上，且点，关于原点对称，点在直线上，则点的坐标为．圆与直线相切，圆的半径为，连接，由已知得，又，故可得，整理得，解得或，故圆的半径为或．
（2）由（1）及可知，则圆的方程为，
设，，当直线的斜率存在，则可设直线的方程为，代入圆方程可得：，则，
得，且，，
所以
．
又直线，斜率之和为，，
得．
代入，得，
直线恒过定点．
当直线的斜率不存在时，，，，
直线，斜率之和为，，解得，
但，且，故不合题意，舍去．
综上，直线恒过定点．又，是垂足，所当为，的中点时，则，且．