南京市三校2023-2024学年高三上学期期中调研
数学参考答案
一、单项选择题
1.A 2.D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.D 8.A
二、多项选择题
9. BCD 10. AC 11. ACD 12. ABC
三、填空题
13. 14. 15. 16. 3
四、解答题
17.证明：（1）由数列的前项积为，得，又，
所以，当时，，.…………...................................................................................2分
整理得，即，
所以，当时，为定值，
所以数列是等差数列.……..............................................................................................……4分
（2）因为，令，得，，故，
结合（1）可知，是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，得...........................................................................................…………5分
所以，当时，，
显然符合上式，
所以.................................................................................................................…………6分
所以，................................................………8分
故
.
因为，，
所以..................................…………10分
18.解：（1）记“小明恰好套中2次”为事件A……….............................................................…1分
............................................................…………3分
答：小明恰好套中2次的概率为…...................................................................………4分
（2）由题意可得：的可能取值为0，1，2，3，4，5
，，
，，
，..................................................………10分
所以的分布列为
0 1 2 3 4 5
所以.………..................…12分
19.解：（1），则，
故，………..............................................................................................…2分
所以，可得（负值舍），………...............................................…4分
由，所以.………...................................................................................................…5分
如图，连接，由正弦定理得 ，
,则，
正面积，……....................................................…7分
而，则，
在中，由余弦定理得：，
即，则，………..........................................................…9分
在中，，由余弦定理得，
则，.......................……............................................................................................…11分
所以的面积为.……...........................................................................……12分
20.解：（1）证明：因为底面为菱形，所以，又，
面，所以面，
面，所以..................................................................................................……2分
又，所以,所以.
结合，面，得面.…….......……5分
（2）取线段的中点，结合题设及（1）的结论，如图所示建立空间直角坐标系.
不妨设，则，
假设存在符合条件，设......................................................6分
即，即，
所以.
设平面的法向量，
,
则，令，则，即......................................……8分
注意到，设平面的法向量，
则，令，则，即......................…10分
题设知，即，
所以，得（舍）或.
综上，时符合条件，此时点为线段的靠近点的四等分点.……................……12分
解：（1）依题意得，..........................................................................................……2分
解得，
所以椭圆的标准方程为.…………..................................................................................4分
（2）①直线，的方程分别为，设椭圆的“卫星圆”的圆心为，因为直线，为“卫星圆”的两条切线，则，
化简得，...................................6分
所以，为方程的两根，故，
又因为，所以，故为定值；.................................8分
②设，由 ，，解得，
，.......................................................................10分
由于，所以，得，
所以为定值．………..........................................................................................…12分
解：（1）．......................................................…1分
由题可知:
当时，令，解得，
当，，单调递减，
当，，单调递增；....................................................................…3分
当时，令，解得，
所以当，，单调递减，
当，，单调递增；
综上，当时，单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，单调递减区间为，单调递增区间为．…..........………5分
（2）原不等式为，即．
因为，所以
．........................…6分
令，则其在区间上单调递增，取，则；取，则，
所以存在唯一使得，......................................................................…7分
令，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，即，．..............................................................…9分
故．
故，............................................................…10分
所以．当且仅当即时，等号成立，
故，即a的取值范围为．…….................................................……12分南京市三校2023-2024学年高三上学期期中调研
数学
本卷考试时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项时符合题目要求的。
1．设复数满足，则（ ）
A．2 B． C．1 D．4
2．已知集合或，则（ ）
A． B． C． D．
3．黄金分割最早见于古希腊和古埃及．黄金分割又称黄金率、中外比，即把一条线段分成长短不等的，两段，使得长线段与原线段的比等于短线段与长线段的比，即，其比值约为0.618339…．小王酷爱数学，他选了其中的6，1，8，3，3，9这六个数字组成了手机开机密码，如果两个3不相邻，则小王可以设置的不同密码个数为（ ）
A．180 B．210 C．240 D．360
4．抛物线的焦点为F，点P在双曲线C：的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为（ ）
A．1 B． C．或 D．或
5．在△ABC中，．P为△ABC所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线：平分圆的面积，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．4 D．
7．已知函数，则的图象上关于轴对称的点共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分。
9．下列说法正确的是（ ）
A．线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强
B．数据的第75百分位数为10
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据概率值，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
D．某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675
10．设是公差为d的等差数列，是其前n项的和，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．在正方体中，，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ）
A．直线平面A1C1D
B．的最小值为
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．当时，三棱锥体积最大时其外接球的表面积为
12．已知定义在上的函数的图象关于直线对称，函数的图象关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ）
A． B．8是函数的一个周期
C． D．
三、填空题：共4小题，每题5分，共20分。
13．已知的展开式中的系数为，则 ．
14．已知，则_________．
15．某校高三学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率_________．（结果用分数表示）
附参考数据：，．
16．若，则实数最大值为_________．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余题目为12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知数列的前项积为，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求证：．
18．某校在一次庆祝活动中，设计了一个“套圈游戏”，规则如下：每人3个套圈，向，两个目标投掷，先向目标掷一次，套中得1分，没有套中不得分，再向目标连续掷两次，每套中一次得2分，没套中不得分，根据累计得分发放奖品．已知小明每投掷一次，套中目标的概率为，套中目标的概率为，假设小明每次投掷的结果相互独立，累计得分记为．
(1)求小明恰好套中2次的概率；
(2)求的分布列及数学期望．
19．法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”．如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为，且．以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．
(1)求角；
(2)若△的面积为，求△ABC的面积．
20．如图所示，四棱锥中，底面为菱形，．
(1)求证：面；
(2)线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，指出点位置；若不存在，请说明理由．
21．已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若，求a的取值范围．
