南京市2023-2024学年高二上学期期中调研测试
数 学 2023.11
注意事项：
1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为
A．50 B．80 C．100 D．200
2．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝
A． 1－3i B． 1＋3i C． 3＋i D． 3－i
3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为
A．－4 B．－2 C．2 D．4
4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知cosx＋sinx＝，则＝
A．－ B．－ C．－ D．－
6．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为
A．2 B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，P为直线3x＋4y＋1＝0上一点．若向量a＝(3，4)，则向量在向量a上的投影向量为
A．－ B．(－，－) C．(－，－) D．无法确定
8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若x∈R，f(x)≤f()，且f(x)在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为
A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则
A．众数是22
B．80百分位数是28
C．平均数是30
D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小
10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y＝Asinωx．设声音的函数为φ(x)，音的响度与φ(x)的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x)的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f(x)＝sinx＋sin2x，纯音乙的函数解析式是g(x)＝sinωx(ω＞0)，则下列说法正确的有
A．纯音乙的响度与ω无关
B．纯音乙的音调与ω无关
C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1
D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大
11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)为抛物线C上的任意三点(异于O点)，＋＋＝0，则下列说法正确的有
A．设A，B到直线x＝－1的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＜AB
B．FA＋FB＋FD＝6
C．若FA⊥FB，则FD＝AB
D．若直线AB，AD，BD的斜率分别为kAB，kAD，kBD，则＋＋＝0
12．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，点E是正方形BCC1B1内部或边界上异于点C的一点，则下列说法正确的有
A．若D1E∥平面ABB1A1，则EC1C
B．设直线D1E与平面BCC1B1所成角的最小值为θ，则tanθ＝
C．存在EBB1，使得∠D1EC＞
D．若∠D1EC＝，则EB的最小值为3－3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，)和N(4，0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为90°，则点Q的坐标为．
14．在△ABC中，AB＝3，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，D是射线BC上一点，且CD＝10，则AD＝．
15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：
上午演出时段 9：00－9：30 10：00－10：30 11：00－11：30
下午演出时段 14：00－14：30 15：00－15：30 16：00－16：30
相应的概率
若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概
率为．
16．已知向量a＝(1，)，b＝(1，0)，|a－c|＝，则向量b，c最大夹角的余弦值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知函数f(x)＝sinxcos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若x∈[，]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．
18．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．
（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；
（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．
19．(本小题满分12分)
如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．
（1）求P(A1)，P(A2)；
（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．
(
（
第
1
9题图
）
)
20．(本小题满分12分)
在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，·＝b2－ab．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为，且＝2，＝3，求||的最小值．
21．(本小题满分12分)
如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．
（1）证明：A1C1⊥B1C；
（2）求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小．
(
A
B
B
1
A
1
C
1
C
（
第2
1
题图
）
)
22．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为2，椭圆C的上顶点为B，且·＝－2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过点A(2，－1)，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN分别交直线x＝4于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．南京市2023-2024学年高二上学期期中调研测试
数学参考答案 2023.11
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．C 8．B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．ACD 10．AC 11．BCD 12．ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．(，0) 14．14 15． 16．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
解：（1）f(x)＝sin xcos x－sin2x＋t＝sin2x－＋t 2分
＝sin2x＋cos2x－＋t＝sin(2x＋)－＋t． 4分
因为f(x)的最大值为，所以－＋t＝，解得t＝，
所以f(x)＝sin(2x＋)． 6分
（2）由（1）可知f(x)＝sin(2x＋)，
当x∈[，]时，≤2x＋≤，
当2x＋＝时，即x＝时，f(x)max＝． 8分
因为f(x)－m≤0恒成立，所以m≥f(x)max恒成立，即m≥恒成立，
因此m的最小值为． 10分
18．（本小题满分12分）
解：（1）因为圆心C在直线l上，可设C(2m，m)，m≠0．
因为圆C与x轴相切，所以r＝|m|． 2分
又因为直线l1与圆C相切，所以|m|＝． 4分
因为m≠0，解得a＝． 5分
（2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为1∶3，
所以弦AB所对劣弧圆心角为2π×＝， 6分
所以圆心C到l1的距离d等于圆C半径的倍，即|m|＝，
由（1）得m≠0，解得a＝1或a＝7． 8分
又因为DA＝DB，所以AB的垂直平分线经过D(6，0)和圆心C(2m，m)，
所以＝－a， 10分
所以，当a＝1时，m＝2，圆C方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4，
当a＝7时，m＝，圆C方程为(x－)2＋(y－)2＝． 12分
19．（本小题满分12分）
解：若用(i，j)表示第一次抛掷骰子数字为i，用j表示第二次抛掷骰子数字为j，则样本空间Ω＝{(i，j)|0≤i≤9，0≤j≤9，i，j∈Z}，共有100种等可能的样本点． 1分
（1）A1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}， 2分
所以P(A1)＝． 4分
因为 A2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，
所以P(A2)＝＝． 6分
（2）因为A1A2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P(A1A2)＝＝． 8分
因为A3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，
所以P(A3)＝＝． 9分
因为A1A2A3＝{(9，8)}，所以P(A1A2A3)＝． 10分
因为P(A1A2)P(A3)＝×＝P(A1A2A3)，
所以事件A1A2与事件A3独立． 12分
20．（本小题满分12分）
解：（1）方法1
因为·＝b2－ab，所以bccosA＝b2－ab． 2分
由余弦定理得bc×＝b2－ab，化简得＝，
所以cosC＝． 4分
因为C为△ABC内角，所以C＝． 5分
方法2
因为·＝b2－ab，所以bccos A＝b2－ab． 2分
由正弦定理得sin Bsin Ccos A＝sin2B－sin Asin B．
因为B为△ABC内角，所以sin B≠0，所以sin Ccos A＝sin B－sin A．
因为A＋B＋C＝π，所以sin Ccos A＝sin(A＋C)－sin A，
即sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C－sin A，
化简得sin Acos C＝sin A．
因为A为△ABC内角，所以sin A≠0，所以cos C＝． 4分
因为C为△ABC内角，所以C＝． 5分
（2）因为S△ABC＝absinC＝，所以ab＝2． 6分
因为＝2，＝3，
所以＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋， 8分
从而||2＝(＋)2＝b2＋a2＋·
＝b2＋a2＋ 10分
≥2＋＝．
当且仅当b2＝a2，即a＝1，b＝2时取等号．
所以||的最小值为． 12分
21．（本小题满分12分）
（1）证明：连接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝，
在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，
所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2，
所以AC⊥B1C． 2分
又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，
所以A1C1⊥B1C． 4分
（2）方法1
解：连接AB1，A1B，交于点O，连接BC1，连接CO．
在边长都为1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中点，
又因为B1C＝AC＝1，
所以CO⊥AB1． 6分
因为四边形B1BCC1边长都为1，所以B1C⊥BC1．
由(1)知B1C⊥A1C1．
又因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，
所以B1C⊥平面A1BC1．
因为A1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．
因为在边长都为1的四边形A1ABB1中，A1B⊥AB1．
又因为AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C平面AB1C，
所以A1B⊥平面AB1C．
因为CO平面AB1C，所以CO⊥A1B． 8分
又因为A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1ABB1，
所以CO⊥平面A1ABB1，
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角． 10分
在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．
因为BC＝1，所以cos∠CBO＝，所以∠CBO＝，
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为． 12分
方法2
解：取AB1中点O，连接BO，CO．
在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1， 6分
在边长都为1的正方形A1ABB1中，BO＝，A1B＝．
又因为AC2＋B1C2＝A1B2，
所以△ACB1为直角三角形，所以CO＝．
在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，
所以CO⊥BO．…………………………………………8分
又因为AB1∩BO＝O，AB1，BO 平面A1ABB1，
所以CO⊥平面A1ABB1，
所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角． 10分
在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝，所以BO＝．
因为BC＝1，所以cos∠CBO＝，所以∠CBO＝，
所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为． 12分
22．（本小题满分12分）
解：（1）因为＝(－，－b)，＝(，－b)，
所以·＝b2－3＝－2，所以b2＝1． 2分
因为c＝，所以a2＝4，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1． 4分
（2）设直线MN的方程为y＝k(x－2)－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立消去y得，(1＋4k2)x2－8k(1＋2k)x＋16k2＋16k＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝， 6分
直线BM的方程为y＝x＋1，直线BN的方程为y＝x＋1，
设P，Q两点的纵坐标分别为yP，yQ，
所以yP＝4×＋1，yQ＝4×＋1． 8分
因为yP＋yQ＝4×(＋)＋2＝4×[＋]＋2
＝4×(2k－－)＋2
＝4×[2k－(2k＋2)]＋2 10分
＝4×[2k－(2k＋2)]＋2＝4×[2k－(2k＋1)]＋2＝－2，
所以＝－1，
所以存在G(4，－1)，使得点P，Q关于点G对称． 12分
