第二十一章 一元二次方程单元检测试题（含答案）

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第二十一章《一元二次方程》单元检测题
题号 一 二 三 总分
19 20 21 22 23 24
分数
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的有(　　)．
①7x2＋6＝3x；②＝7；③x2－x＝0； ④2x2－5y＝0；⑤－x2＝0.　　　　　　　　　　　　　
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 关于x的一元二次方程x2－5x＋p2－2p＋5＝0的一个根为1，则实数p的值是(　　)．
A. 4 B. 0或2 C. 1 D. －1
3. 方程(x－3)(x＋1)＝x－3的解是(　　)．
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝3或x＝－1 D. x＝3或x＝0
4．已知m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值等于（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．2
5．若方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1、x2，则+的值为（　　）
A．5 B． C．﹣5 D．
6. 已知(m2＋n2)(m2＋n2＋2)－8＝0，则m2＋n2的值为(　　)
A. －4或2 B .－2或4 C. 4 D. 2
7．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6＝0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11 B．12 C．11或12 D．15
8．已知a+，则的值为（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．不能确定
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数为(　　)．
A. 8人 B. 9人 C. 10人 D. 11人
10．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10 m2提高到12.1 m2若每年的年增长率相同，则年增长率为(　　)．
A. 9% B. 10% C. 11% D. 12%
二、填空题(每题3分，共24分)
11. 若一元二次方程x2＋mx＋3＝0的一个根为－1，则另一个根为________．
12.已知x1，x2是方程x2＋3x＋1＝0的两实数根，则x＋8x2＋20＝________.
13. 若方程9x2－(k＋6)x＋k＋1＝0有两个相等的实数根，则k＝________.
14．已知一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，则+的值为 　 　．
15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根为x1，x2，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立，则k的值　 　．
16．如果m、n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2021＝　 　．
17．已知，是关于x的方程的两个不相等实数根，且满足，则k的值为______．
18. 某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为x，根据题意可列方程是______．
三.解答题(共46分,19题6分，20 ---24题8分)
19．解方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）2（5x﹣1）2＝5（5x﹣1）；
（3）（x+3）2﹣（2x﹣3）2＝0； （4）3x2﹣4x﹣1＝0．
20．已知关于x的方程x2+mx﹣6＝0的一个根为2，求方程的另一个根．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两实数根x1，x2满足|x1+x2|＝x1x2﹣22，求k的值．
22．已知等腰三角形的三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，求m的值．
23.如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．
24. 一个广告公司制作广告的收费标准是：以面积为单位，在不超过规定面积A(平方米)的范围内，每张广告收费1 000元，若超过A(平方米)，则除了要交这1 000元的基本广告费以外，超过部分还要按每平方米50A元缴费．下表是该公司对两家用户广告的面积及相应收费情况的记载：
单　位 广告的面积(平方米) 收费金额(元)
科技公司 6 1 400
食品公司 3 1 000
红星公司要制作一张大型公益广告，其材料形状是矩形，它的四周是空白，如果上、下各空0.25米，左、右各空0.5米，那么空白部分的面积为6平方米．已知矩形材料的长比宽多1米，并且空白部分不收广告费，那么这张广告的费用是多少？
参考答案与试题解析
选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C A C B B C D A
二．填空题（共8小题）
11．解：方程x2﹣4x＝0，
分解因式得：x（x﹣4）＝0，
可得x＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝0，x2＝4．
故答案为：x1＝0，x2＝4．
12．解：把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0得：12+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案是：2．
13．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0无实根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
14．解：∵一元二次方程x2+x﹣2021＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝﹣1，mn＝﹣2021，
∴+＝＝＝，
故答案为：．
15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，
解得k≤，
由根与系数的关系得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，
∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．
∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，
即﹣（x1+x2）2+3x1 x2＝﹣16，
∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，
整理得k2﹣2k﹣15＝0，
解得k1＝5（舍去），k2＝﹣3．
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．解：由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m＝3，n2﹣n＝3，
所以m，n是x2﹣x﹣3＝0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n＝1，mn＝﹣3，
又n2＝n+3，
则2n2﹣mn+2m+2021
＝2（n+3）﹣mn+2m+2021
＝2n+6﹣mn+2m+2021
＝2（m+n）﹣mn+2027
＝2×1﹣（﹣3）+2027
＝2+3+2027
＝2032．
故答案为：2032．
17．解：∵关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣m＝0有两个实数根α，β，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，解得m≥0，
α+β＝2m，αβ＝m2﹣m，
∵＝1，即＝1，
∴＝1，
解得m1＝0，m2＝3，
经检验，m1＝0不合题意，m2＝3符合题意，
∴m＝3．
故答案为：3．
18．解：设彩纸的宽度为xcm，
则由题意列出方程为：（15+2x）（20+2x）＝20×15×2．
整理得：2x2+35x﹣150＝0，
故答案为：2x2+35x﹣150＝0．
三．解答题（共7小题）
19．解：（1）分解因式得：（x+3）（x﹣1）＝0，
可得x+3＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1；
（2）方程整理得：2（5x﹣1）2﹣5（5x﹣1）＝0，
分解因式得：（5x﹣1）[2（5x﹣1）﹣5]＝0，
可得5x﹣1＝0或10x﹣7＝0，
解得：x1＝0.2，x2＝0.7；
（3）分解因式得：（x+3+2x﹣3）（x+3﹣2x+3）＝0，
可得3x＝0或﹣x+6＝0，
解得：x1＝0，x2＝6；
（4）这里a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵△＝16+12＝28＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
20．解：设方程另一个根为x1，
根据题意得2x1＝﹣6，解得x1＝﹣3，
即方程的另一个根是﹣3．
21．解：（1）∵方程有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k﹣2）2﹣4k2≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数关系知：x1+x2＝2k﹣2，x1x2＝k2，
∵k≤，
∴2k﹣2＜0，
又|x1+x2|＝x1x2﹣1，代入得，|2k﹣2|＝k2﹣22，可化简为：k2+2k﹣24＝0．
解得k＝4（不合题意，舍去）或k＝﹣6，
∴k＝﹣6．
22．解：当a＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+b＝12，
∴b＝8，
而4+4≠0，不符合题意；
当b＝4时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴4+a＝12，
而4+4＝8，不符合题意；
当a＝b时，
∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2＝0的两根，
∴12＝a+b，解得a＝b＝6，
∴m+2＝36，
∴m＝34．
23.（1）解：当a=3，b=4，c=5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；
（2）证明：根据题意，得
△=（c）2-4ab=2c2-4ab
∵a2+b2=c2
∴2c2-4ab=2（a2+b2）-4ab=2（a-b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x=-1时，有a-c+b=0，即a+b=c
∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6
∴3c=6
∴c=2
∴a2+b2=c2=4，a+b=2
∵（a+b）2=a2+b2+2ab
∴ab=2
∴S△ABC=ab=1．
24. 由表可知3≤A＜6，且有1 000＋50A(6－A)＝1 400.
解得A1＝2，A2＝4.
∴　A＝4.
设矩形材料的宽为x米，长为(x＋1)米，得
2×0.25(x＋1)＋2×0.5(x－0.25×2)＝6，解得x＝4.
∴　矩形材料的长为5米，宽为4米．
∴　广告部分的面积为(5－0.5×2)×(4－0.25×2)＝4×3.5＝14(平方米)．
广告的费用为1 000＋50×4×(14－4)＝
1 000＋2 000＝3 000(元)．