九年级数学期中试卷 2023.11
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3分，共 24 分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
2 1 2 2 2 2
A．x + 2 = 0 B．x = 1 C．ax +bx+c = 0 D．(x-3) =x +1
2．下列说法正确的是（ ）
A．数据 5，4，4，2，5 的众数是 4 B．数据 0，1，2，5，-3 的中位数是 2
C．数据 0，5，－6，－3，4 的中位数和平均数都是 0 D．一组数据的众数和中位数不可能相等
3．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）弧的度数等于弧所对圆周角的度数；（3）三角形的内心是三
边垂直平分线的交点；（4）相等的圆心角所对的弦相等。其中正确的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2 2
4．把方程 x -8x+3=0 化为（x+m） = n 的形式，则 m、n的值为（ ）
A．4,13 B．-4，19 C．-4,13 D．4,19
5. 如图，△ 内接于⊙ ，∠ = 50 . 是边 的中点，连接 并延长，交⊙ 于点 ，连接 ，则∠
的度数为 ( )
A. 55 B. 65 C. 60 D. 75
第 5题 第 7题 第 8 题 第 12 题
6. 若一组数据 1、 2、 3的平均数为 4，方差为 3，则数据 2 1+1、2 2+1、2 3+1的平均数和方差分别
是 ( )
A.4、3 B.4、6 C.9、3 D.9、12
7. 如图，有一块长为 4 、宽为 3 的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点 的位
置变化为 → 1 → 2.其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿 2 与桌面成30 角，则
点 翻滚到点 2的位置经过的路径长为 ( )
A. 10 B. 3.5 C. 4.5 D. 2.5
8. 如图，点 A 的坐标为（－3，－2），⊙A 的半径为 1，P 为坐标轴上一动点，PQ 切⊙A于点 Q，在所有 P
点中，使得 PQ 长最小时，点 P 的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
2
9. 方程（x+1） =16 的解为 .
2
10.甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人 10次射击成绩的平均数都是 7环，方差分别为 2 = 2.9环 ，
甲
2
2
= 1.2环 ，则两人成绩比较稳定的是 (填“甲”或“乙”)．
乙
九年级数学 第 1 页 共 4 页
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11.已知 1， 2
1 1
2是方程 3 = 0 的两根，则 + 的值为 ．1 2
12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若小明向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在
游戏板上），则投中阴影部分的概率是 ．
2
13. 已知关于 x 的一元二次方程（m-2）x +2mx+m+3=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ．
14. 如图，⊙ 是等边三角形 的内切圆，分别切 、 、 于点 、 、 ， 是 上一点，则
∠ = ．
15.若圆锥的底面圆半径是 1，母线长是 3，则它的侧面展开图的圆心角是 .
16．如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，过点 C的切线交 PA、PB 于 D、E，PA=6cm，则△PDE 的周长为 cm．
17．如图，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则∠AEB= ．
18．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E 分别是 AC、BC 上的一点，且 DE= 6 ，若以 DE
为直径的圆与斜边 AB 相交于 M、N，则 MN 的最大值为 ．
第 14 题 第 16 题 第 17 题 第 18 题
三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分）
19．(本小题 8分)解方程：（1） x2 4x 12 0 （2） x2 x 3 0
20. (本小题 8分)小手拉大手，共创文明城.某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知
晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取 20份答卷，并统计成绩(成绩得分用 表示，单位：分)，
收集数据如下：90、82、99、86、98、96、90、100、89、83、87、88、81、90、93、100、100、96、
92、100．
整理数据：
80 ≤ < 85 85 ≤ < 90 90 ≤ < 95 95 ≤ ≤ 100
3 4 8
分析数据：
平均数/分 中位数/分 众数/分
92
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述表格中 、 、 的值分别为 ， ， ;
(2)该校有 1600名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于 90分的人数。
九年级数学 第 2 页 共 4 页
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}
21. (本小题 8分) 如图，可以自由转动的转盘被 3 等分，指针落在每个扇形内的机会
均等(指针停在分割线上再转一次).
(1)现随机转动该转盘一次，停止后，指针指向 1 的概率为
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各
指向一个数字.若两数字之和为偶数，则小明胜；否则小华胜.你认为这个游戏规则对
双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.
2
22. (本小题 8分) 已知关于 x 的方程 x -(m+3)x+m+1=0.
(1)求证：不论 m 为何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)若方程一根为 3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长.
23. (本小题 8分) 某快递公司去年 11 月份与今年 1月份投递的快递件数分别为 10 万件和 12.1 万件，每
个月投递的快递件数逐渐增多.
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
(2)若每个快递员每月最多可投递 0.8 万件快递，该公司现有 16 个快递员，请通过计算说明按此快递件数
的增长速度，在不增加快递员的情况下，该公司能否完成今年 2月份的投递任务.
24．(本小题 10分) 已知锐角△ABC 是⊙O的内接三角形，OD⊥BC 于点 D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC 中∠BAC 的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=2 3，求 OD 旳长．
25．(本小题 10分) 如图所示，破残的圆形轮片上，弦 AB 的垂直平分线交
弧 AB 于点 C，交弦 AB 于点 D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
九年级数学 第 3 页 共 4 页
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}
26．(本小题 12分)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 是直径，⊙O 的切线 PC 交 BA 的延长线于点 P，OF//BC 交
AC 于点 E，交 PC 于点 F，连接 AF.
(1)判断直线 AF 与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若⊙O的半径为 6，AF=2 3，求 AC 的长；
(3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积.
( 12 ) 227． 本小题 分 若关于 x的一元二次方程 ax +bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另个根的
2
2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”。例如：已知一元二次方程 x -6x+8=0 的两个根是 x=2 和 x=4，则该
方程是“倍根方程”。
2
(1)若一元二次方程 x -3x+c=0 是“倍根方程”，求 c 的值；
2 2
(2)若(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式 4m -5mn+n 的值；
2 2
(3)若点(p，q)在反比例函数 y= 的图像上，证明：关于 x的方程 px +3x+q=0 是“倍根方程”。
28.(本小题 12分) 如图①，⊙M 与 x 轴交于 A、D 两点，与 y轴正半轴交于点 B，C 是⊙M上一点，
且 A(-2，0)，B(0，4)，AB=BC.
(1)求圆心 M 的坐标；
(2)求四边形 ABCD 的面积；
(3)如图②，过点 C 作弦 CF 交 BD 于点 E，当 BC=BE 时，直接写出 CF 的长.
九年级数学 第 4 页 共 4 页
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}九年级数学期中试卷 2023.11
（考试时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2 + = 0 B．x2 = 1 C．ax2+bx+c = 0 D．(x-3)2 =x2+1
2．下列说法正确的是（ ）
A．数据5，4，4，2，5的众数是4 B．数据0，1，2，5，-3的中位数是2
C．数据0，5，－6，－3，4的中位数和平均数都是0 D．一组数据的众数和中位数不可能相等
3．有下列结论：（1）三点确定一个圆；（2）弧的度数等于弧所对圆周角的度数；（3）三角形的内心是三边垂直平分线的交点；（4）相等的圆心角所对的弦相等。其中正确的个数有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．把方程x2-8x+3=0化为（x+m）2= n的形式，则m、n的值为（ ）
A．4,13 B．-4，19 C．-4,13 D．4,19
如图，内接于，是边的中点，连接并延长，交于点，连接，则的度数为( )
A. B. C. D.
第5题 第7题 第8题 第12题
6. 若一组数据、、的平均数为，方差为，则数据2+1、2+1、2+1的平均数和方差分别是( )
A.4、3 B.4、6 C.9、3 D.9、12
7. 如图，有一块长为、宽为的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点的位置变化为其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点翻滚到点的位置经过的路径长为( )
A. B. C. D.
8. 如图，点A的坐标为（－3，－2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（0，－2） B．（0，－3） C．（－3，0）或（0，－2） D．（－3，0）
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9. 方程（x+1）2=16的解为 .
10.甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人次射击成绩的平均数都是环，方差分别为，，则两人成绩比较稳定的是 填“甲”或“乙”．
11.已知，是方程的两根，则的值为 ．
12.如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，若小明向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则投中阴影部分的概率是 ．
13. 已知关于的一元二次方程（m-2）x2+2mx+m+3=0有实数根，则m的取值范围是 ．
14. 如图，是等边三角形的内切圆，分别切、、于点、、，是上一点，则= ．
15.若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是 .
16．如图，PA、PB切⊙O于A、B，过点C的切线交PA、PB于D、E，PA=6cm，则△PDE的周长为 cm．
17．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB= ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE= 6 ，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
第14题 第16题 第17题 第18题
三、解答题（本大题共10小题，共96分）
19．本小题分解方程：（1） （2）
20. 本小题分小手拉大手，共创文明城某校为了了解家长对南宁市创建全国文明城市相关知识的知晓情况，通过发放问卷进行测评，从中随机抽取份答卷，并统计成绩成绩得分用表示，单位：分，收集数据如下：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、．
整理数据：
分析数据：
平均数分 中位数分 众数分
根据以上信息，解答下列问题：
上述表格中、、的值分别为 ， ，
该校有名家长参加了此次问卷测评活动，请估计成绩不低于分的人数。
21. 本小题分 如图，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等(指针停在分割线上再转一次).
(1)现随机转动该转盘一次，停止后，指针指向1的概率为
(2)小明和小华利用这个转盘做游戏，规则如下：随机转动转盘两次，停止后，指针各指向一个数字.若两数字之和为偶数，则小明胜；否则小华胜.你认为这个游戏规则对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.
22. 本小题分 已知关于x的方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证：不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根.
(2)若方程一根为3，以此时方程两根为等腰三角形两边长，求此三角形的周长.
本小题分 某快递公司去年11月份与今年1月份投递的快递件数分别为10万件和12.1万件，每个月投递的快递件数逐渐增多.
(1)求该快递公司投递的快递件数的月平均增长率；
(2)若每个快递员每月最多可投递0.8万件快递，该公司现有16个快递员，请通过计算说明按此快递件数的增长速度，在不增加快递员的情况下，该公司能否完成今年2月份的投递任务.
24．本小题分 已知锐角△ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．
（1）请借助无刻度的直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线并说明理由；
（2）若∠BAC=60°，BC=，求OD旳长．
25．本小题分 如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：AB=24cm，CD=8cm．
（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）求残片所在圆的面积．
26．本小题分如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF//BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
(1)判断直线AF与⊙O的位置关系并说明理由；
(2)若⊙O的半径为6，AF=2，求AC的长；
(3)在(2)的条件下，求图中阴影部分的面积.
27．本小题分 若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根为另个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”。例如：已知一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是x=2和x=4，则该方程是“倍根方程”。
(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，求c的值；
(2)若(x-2)(mx-n)=0(m≠0)是“倍根方程”，求代数式4m2-5mn+n2的值；
(3)若点(p，q)在反比例函数y= 的图像上，证明：关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”。
28.本小题分 如图①，⊙M与x轴交于A、D两点，与y轴正半轴交于点B，C是⊙M上一点，
且A(-2，0)，B(0，4)，AB=BC.
(1)求圆心M的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积；
(3)如图②，过点C作弦CF交BD于点E，当BC=BE时，直接写出CF的长.九年级数学期中试卷答题卡 2023.11
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）（请将答案填写在各试题的答题区内）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）（请在各试题的答题区内作答）
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.
三．解答题（共10小题，满分96分）（请在各试题的答题区内作答）
19.解方程：（1） （2）
20.（1） ， ， ； （2）
21.（1） （2）
22.
23.
25.
26.
27.
28.
1
3
2
A
0
B
D
C
IC
B
CF
成
B
0
A
P
B
B
E
AO
M
D
AO
M
①
②九年级数学期中试卷答案
一、选择题
B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D
二、填空题
x1=3,x2=-5 10.乙 11.- 12. 13.m≤6且m≠2 14.60° 15.120° 16.12 17.135° 18.
三、解答题
19.（1）x1=-2,x2= 6 ……………………4分 （2）x1= ,x2= ……………………8分
20.（1）5, 91, 100 ……………………6分 （2）1600 × = 1040（人）……………………8分
21.（1） ………………2分
（2）图略………………6分 P（小明胜）= ，P（小华胜）= ，不公平………………8分
22.（1）由题意可知：△=(m+3)2- 4(m+1）= m2+2m+5=m2+2m+1+4=(m+1)2+4，
∵(m+1)2≥0， ∴△＞0，
∴不论m为何值，方程都有两个不相等的实数根.……………………4分
(2)把x=3代入方程，得m=……………………5分
原方程化为：x2-x+ =0，解得x2= ……………………7分
∴该三角形的周长为3+3+ = 6.5 ……………………8分
（1）设月平均增长率为x.
依题意，得10(1+x)2=12.1，
解得x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去).
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为10%. …………………………4分
2月：12.1×(1+10%)=13.31(万件)， 每月：0.8×16=12.8(万件).
∵13.31>12.8，∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成2月份的投递任务.……………………8分
24.（1）延长OD交⊙O于点E，连接AE，射线AE即为∠BAC的角平分线………………3分
理由：∵DO⊥BC, ∴=,
∴∠BAE=∠EAC 即AE是∠BAC的角平分线……………………6分
（2）连接OB，OC
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°
∵OD⊥BC，∴BD=CD=，∠BOD= ∠BOC=60°，∴ OD=1…………………………10分
25.（1）如图……………………5分
如图，连接OA，设OA=r，则OD=(r-8)cm，AD=12 cm，
在Rt△ODA中，根据勾股定理得OA2 =AD2+OD2，
即r2=122+(r-8)2，解得r=13.
∴S =π×132=169π（cm2）…………………………10分
26.（1）直线AF与⊙O相切.
理由如下：连接OC，
∵ OF∥BC, ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，
在△AOF和△COF中，
OA=OC
∠AOF=∠COF，
OF=OF
∴△AOF≌△COF(SAS)，∴∠OAF=∠OCF，
∵PC为⊙O切线，∴CP⊥OC，即∠OCP=90°，∴∠OAF=90°
又∵0A为⊙O的半径，∴AF为⊙O的切线； …………………………4分
(2)∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF, ∵OA=OC，∴OE垂直平分AC，
∵∠OAF=90°，OA=6，AF=2，∴OF=4，由面积法可得AE=3，∴AC=2AE=6;………………8分
（也可由OF=2AF直接得∠AOF=30°，得△AOC是等边三角形，得AC=AO=6）
(3)∵AC=OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，
∵∠OCP=90°，OC=6，∴CP=0C=6，
∴S阴影=S△OCP-S扇OAC= ×6×6— =18—6π……………………12分
27.（1）设一元二次方程x2-3x+c=0的一个根为x1，则另一个根为2x1，
由根与系数的关系得，x1+2x1=3，
∴x1=1，即一个根为1，另一个根为2，∴c=1×2=2…………………………4分
(2)解：∵(x-2)(mx-n)=0 ∴x1=2，x2= …………………………5分
当 =1时，n=m,原式=4m2-5m2+m2=0
当 =4时，n=4m,原式=4m2-5m·4m+（4m）2= 4m2-20m2+16m2=0 ……………………8分
将(p，q)带入y= 中，得pq=2 ……………………9分
∵△=32-4pq=9-8=1, ∴x= ，∴x1= = - , x2 = -
∴x2=2x1，∴px2+3x+q=0是倍根方程.
（1）连接BM，
∵A(-2，0)，B(0，4)， ∴OA=2，OB=4.
在Rt△BOM中，(r-2)2+42=r2，解得r=5，即AM=5 ∴OM=3，∴M(3，0).……………………4分
（2）连接MC、AC交BM于点G，
∵AB=BC，∴∠AMB=∠CMB，∵AM=CM，∴AG=CG，MG⊥AC.
易证△AMG≌△BMO（AAS）.∴AG=BO=4，MG=MO=3，
∴AC=2AG=8，∴BG=MB-MG=2. ∴S△ABC=×8×2=8.
∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴CD=6.∴S△ACD=×6×8=24
∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=32…………………………9分
（3）7 …………………………12分九年级数学期中试卷答案
一、选择题
1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.D
二、填空题
9. 1 4x1=3,x2=-5 10.乙 11.- 12. 13.m≤6 且 m≠2 14.60° 15.120° 16.123 9
24
17.135° 18.
5
三、解答题
1+ 13 1 13
19.（1）x1=-2,x2= 6 ……………………4 分 （2）x1= 2 ,x2= ……………………8 分2
20. 1 5, 91, 100 6 2 1600 × 5+8（ ） …………………… 分 （ ） = 1040（人）……………………8 分
20
1
21.（1） ………………2 分
3
5 4
（2）图略………………6 分 P（小明胜）= ，P（小华胜）= ，不公平………………8 分
9 9
22.（1）由题意可知：△=(m+3)2- 4(m+1）= m2+2m+5=m2+2m+1+4=(m+1)2+4，
∵(m+1)2≥0， ∴△＞0，
∴不论 m 为何值，方程都有两个不相等的实数根.……………………4 分
(2) 1把 x=3 代入方程，得 m= ……………………5 分
2
x2-7x+3 =0 1原方程化为： ，解得 x2= ……………………7 分2 2 2
∴ 1该三角形的周长为 3+3+ = 6.5 ……………………8 分
2
23.（1）设月平均增长率为 x.
依题意，得 10(1+x)2=12.1，
解得 x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合题意，舍去).
答：该快递公司投递的快递件数的月平均增长率为 10%. …………………………4 分
(2) 2 月：12.1×(1+10%)=13.31(万件)， 每月：0.8×16=12.8(万件).
∵13.31>12.8，∴在不增加人手的情况下，该公司不能完成 2 月份的投递任务.……………………8 分
24.（1）延长 OD 交⊙O 于点 E，连接 AE，射线 AE 即为∠BAC 的角平分线………………3 分
理由：∵DO⊥BC, ∴ = ,
∴∠BAE=∠EAC 即 AE 是∠BAC 的角平分线……………………6 分
1
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}
（2）连接 OB，OC
∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=60°，∴∠BOC=120°
∵OD⊥BC，∴BD=CD= 3 BOD= 1，∠ ∠BOC=60°，∴ OD=1…………………………10 分
2
25.（1）如图……………………5 分
（2）如图，连接 OA，设 OA=r，则 OD=(r-8)cm，AD=12 cm，
在 Rt△ODA 中，根据勾股定理得 OA2 =AD2+OD2，
即 r2=122+(r-8)2，解得 r=13.
∴S =π×132=169π（cm2）…………………………10 分
26.（1）直线 AF 与⊙O 相切.
理由如下：连接 OC，
∵ OF∥BC, ∴∠AOF=∠B，∠COF=∠OCB，
∵OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠AOF=∠COF，
在△AOF 和△COF 中，
OA=OC
∠AOF=∠COF，
OF=OF
∴△AOF≌△COF(SAS)，∴∠OAF=∠OCF，
∵PC 为⊙O 切线，∴CP⊥OC，即∠OCP=90°，∴∠OAF=90°
又∵0A 为⊙O 的半径，∴AF 为⊙O 的切线； …………………………4 分
(2)∵△AOF≌△COF，∴∠AOF=∠COF, ∵OA=OC，∴OE 垂直平分 AC，
∵∠OAF=90°，OA=6，AF=2 3，∴OF=4 3，由面积法可得 AE=3，∴AC=2AE=6;………………8 分
（也可由 OF=2AF 直接得∠AOF=30°，得△AOC 是等边三角形，得 AC=AO=6）
(3)∵AC=OA=OC，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC=60°，
∵∠OCP=90°，OC=6，∴CP= 30C=6 3，
2
∴S 阴影=S△OCP-S
1 60 ·6
扇 OAC= ×6×6 3— =18 3—6π……………………12 分2 360
27.（1）设一元二次方程 x2-3x+c=0 的一个根为 x1，则另一个根为 2x1，
由根与系数的关系得，x1+2x1=3，
∴x1=1，即一个根为 1，另一个根为 2，∴c=1×2=2…………………………4 分
2
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}
(2)解：∵(x-2)(mx-n)=0 ∴x1=2，x =
2 …………………………5 分
当 =1 时，n=m,原式=4m2-5m2+m2=0
当 =4 时，n=4m,原式=4m2-5m·4m+（4m）2= 4m2-20m2+16m2=0 ……………………8 分
(3) 将(p，q)带入 y= 2 中，得 pq=2 ……………………9 分
=32-4pq=9-8=1, x= 3±1 x = 3+1∵△ ∴ ，∴ = 2 = - 1 , x = 3 1 = 4 = - 2
2 1 2 2 2 2 2
∴x2=2x1，∴px2+3x+q=0 是倍根方程.
28.（1）连接 BM，
∵A(-2，0)，B(0，4)， ∴OA=2，OB=4.
在 Rt△BOM 中，(r-2)2+42=r2，解得 r=5，即 AM=5∴OM=3，∴M(3，0).……………………4 分
（2）连接 MC、AC 交 BM 于点 G，
∵AB=BC，∴∠AMB=∠CMB，∵AM=CM，∴AG=CG，MG⊥AC.
易证△AMG≌△BMO（AAS）.∴AG=BO=4，MG=MO=3，
G
1
∴AC=2AG=8，∴BG=MB-MG=2.∴S△ABC= ×8×2=8.2
1
∵AD 是直径，∴∠ACD=90°，∴CD=6.∴S△ACD= ×6×8=242
∴S 四边形 ABCD=S△ACD+S△ABC=32…………………………9 分
（3）7 2 …………………………12 分
3
{#{QQABAQAAggioABBAABhCUwHACAEQkAGACAoOxBAIMAAAgBFABCA=}#}
