5.1.2垂线
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课件41张PPT。5.1.2 垂线问题2：观察下面变化。固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a与b所成的角
是如何变化的？ab一、复习引入：问题1：回忆邻补角、对顶角的定义及性质。（3分钟）ab问题2：观察下面变化。固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a与b所成的角
是如何变化的？ab问题2：观察下面变化。固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a与b所成的角
是如何变化的？我国跳水运动员－－－田亮跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向二、问题引领：（10分钟）
阅读课本第3页至第6页练习，思考以下问题：
1、两条直线相交所形成的夹角是在不断变化的。当它们的夹角是___°时，我们说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫做____。
2、在垂线定义中包含了哪两种关系？如何用“因为”、“所以”表达这两种关系？
3、结合第4页探究中的三个问题可知条件不同，所得的_____也不同，三个问题中的条件分别是什么？结论分别是什么？
4、垂线的性质是什么？在性质中包含了哪两个特点？
5、结合第5页探究，动手画一画，哪一条线最特殊？你可以得到什么结论？
6、什么是点到直线的距离？它是一个___(填“数量或位置”)概念。
7、比例尺=___________，借助于比例尺我们可以进行_____与_______的转化。1、定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、举例：三、合作探究（15分钟）两条直线垂直所形成的四个角之间的关系？相等3、知识生发：4、辨别：区分互相垂直与垂线区别：
互相垂直：两条直线的位置关系；
垂线：其中一条线对另一条线的命名。
联系：
如果说两条直线“互相垂直”时，那么其中一条必定是另一条的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”。 5、表示与推理：（1）垂直的表示：
直线AB、CD互相垂直，
记作：“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，
读作：“直线AB垂直于直线CD”，
如果垂足为O，
记作：“AB⊥CD，垂足为O”
读作：“直线AB垂直于直线 CD，垂足为O”
（2）垂直的定义的应用格式 ∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.这个推理过程可以写成： ∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:由数量关系得出位置关系由位置关系得出数量关系记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于点F记作： AB⊥OE,垂足为O.
或者AB⊥OE于点O练一练:
1）、写一写2）、选一选：
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是
（A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等
（C） 有三个角相等 （ D） 有四对邻补角
（C）2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（ A） 4 （B） 3
（C） 2 （D） 1A问题2：
（1）两条直线垂直和相交是什么关系？（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系
有3种：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情况不能，因为垂直是相交的特殊情况 答：
理由是：
∵ ∠1＝35°，∠2＝55°（已知）垂直∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴ OE⊥AB (垂直的定义)3）、算一算：（作业1）
（1）如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 ? （2）：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= （A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54° 54°练习：过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．（作业2）4）、画一画：
如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．复习：用三角板过一点作垂线的方法：
一靠：即三角板的一条直角边靠在已知直线也就是与已知直线重合；
二过：即三角板的另一条直角边过已知点；
三画，即画出垂线。问题1：已知直线l，能画出l的垂线吗？能画几条？
结果：与直线l垂直的垂线有无数多条，即存在，但有不确定性。问题2：在直线l上取一点A，过点A画l的垂线，如何画？能画几条？你从中得到什么结论？
结果：经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。问题3：经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？从中你又得出什么结论？
结果：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。六、探究：垂线的性质（5分钟）垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线的存在性与唯一性
“有”表示存在，“只有”表示唯一，就是肯定有一条并且不能多于一条课堂练习（10分钟）1．选择题
C2.过点P分别向角的两边作垂线（作业3）3、如图，O为直线AB上的一点，∠AOC=－∠BOC,OC是∠AOD的平分线。（1）求∠COD的度数；（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由。（作业4）31ABOCD1、垂线段的概念：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段.PlA要找垂线段， 先把点来看. 过点画垂线， 点足垂线段.例如：如图，PA⊥l于点A，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.垂线段性质2的条探究 BDAOC1C2C3C4简单说成：垂线段最短.2、垂线段的性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.ABPD特别强调：2.如图， AC⊥BC， ∠C=90°，线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A)、AC (B)、BC (C)、CD (D)、不能确定1.已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条DABCDC例1、选择题：CADEB解：∵ AC⊥BC于C(已知）∴ AC＜AB（垂线段最短）又∵ CD⊥AD于D(已知）∵ DE⊥BC于E(已知）∴ CD＜AC（垂线段最短）∴ DE＜CD（垂线段最短）∴ AB＞AC＞CD＞DE例2、如图：AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小.直线外一点到这条直线的垂线段的
长度，叫做点到直线的距离.PA 例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例1：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示？ 解：过P点作PA⊥l于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.3、点到直线的距离：DBCAE已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？答：不能.想一想：AB 例3、如图，量出（1）村庄A与货场B的距离，（2）货场B到铁道的距离.ABCPQ∴BP=CQ例5、如图， （1）画出线段BC的中点M，连结AM； （2）比较点B与点C到直线AM的距离.例、1.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点， 2)M点和N点的距离是线段____的长， 3)M点到CD的距离是线段____的长.MNMFABCDMN∴直线MF为所求垂线.4、区分：点与点之间的距离、点到线之间的距离1、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.张庄∟解：点O即为所求。
理由是：垂线段最短五、拓展应用（7分钟）OABCDEFGM· ·问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.┏
N拓展应用21、如图已知AC⊥BC,CD⊥AB,则图中
以________的长度表示点A到BC的距离;
以________的长度表示点B到AC的距离;
以________的长度表示点C到AB的距离.2、如图A,B,C三点在直线a上,M点在直线a外,AM⊥CM,MB⊥AC,在①MA＞MB②MB＞MC③MC＞BC④AC＞AM这四个结论中,正确的个数是( )个
A.1 B.2 C.3 D.4线段AC线段BC线段CDC 课堂测试（6分钟） 3、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90 ，
①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角 形ABD的AB边上的高DE。
②点A到直线BC的距离是线段 .的长度.
点B到直线AC的距离是线段 .的长度.
点D到直线AB的距离是线段 . 的长度
线段AD的长度是点 .到直线 .的距离.ABBDDEABDED 3、垂线段的定义 4、点到直线的距离5、垂线的性质小结（2分钟）1、垂直的定义；
2、垂线的性质；作业：课本
第8页 第6、7题
第9页 第12题
是如何变化的？ab一、复习引入：问题1：回忆邻补角、对顶角的定义及性质。（3分钟）ab问题2：观察下面变化。固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a与b所成的角
是如何变化的？ab问题2：观察下面变化。固定木条a，转动木条b，当b的位置发生变化时，a与b所成的角
是如何变化的？我国跳水运动员－－－田亮跳水运动员的入水姿势
b b b
a a a
水平面
无水花 水花小 水花大
入水方向二、问题引领：（10分钟）
阅读课本第3页至第6页练习，思考以下问题：
1、两条直线相交所形成的夹角是在不断变化的。当它们的夹角是___°时，我们说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的______，它们的交点叫做____。
2、在垂线定义中包含了哪两种关系？如何用“因为”、“所以”表达这两种关系？
3、结合第4页探究中的三个问题可知条件不同，所得的_____也不同，三个问题中的条件分别是什么？结论分别是什么？
4、垂线的性质是什么？在性质中包含了哪两个特点？
5、结合第5页探究，动手画一画，哪一条线最特殊？你可以得到什么结论？
6、什么是点到直线的距离？它是一个___(填“数量或位置”)概念。
7、比例尺=___________，借助于比例尺我们可以进行_____与_______的转化。1、定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
2、举例：三、合作探究（15分钟）两条直线垂直所形成的四个角之间的关系？相等3、知识生发：4、辨别：区分互相垂直与垂线区别：
互相垂直：两条直线的位置关系；
垂线：其中一条线对另一条线的命名。
联系：
如果说两条直线“互相垂直”时，那么其中一条必定是另一条的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”。 5、表示与推理：（1）垂直的表示：
直线AB、CD互相垂直，
记作：“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，
读作：“直线AB垂直于直线CD”，
如果垂足为O，
记作：“AB⊥CD，垂足为O”
读作：“直线AB垂直于直线 CD，垂足为O”
（2）垂直的定义的应用格式 ∵∠AOC=90°（已知），
∴AB⊥CD（垂直的定义）．
如果直线AB、CD 相交于点O，∠AOC=90°（或三个角中的一个角等于90°），那么 AB⊥CD.这个推理过程可以写成： ∵AB⊥CD（已知），
∴∠AOC＝90°（垂直的定义）．
如果AB⊥CD，那么所得的四个角中，必有一个是直角.这个推理过程可以写成:由数量关系得出位置关系由位置关系得出数量关系记作： MN⊥EF , 垂足为O.
或者MN⊥EF于点F记作： AB⊥OE,垂足为O.
或者AB⊥OE于点O练一练:
1）、写一写2）、选一选：
1、 两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能判
定两条直线垂直的是
（A） 有两个角相等 （ B）有两对角相等
（C） 有三个角相等 （ D） 有四对邻补角
（C）2、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确的有（ ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直
（2）两条直线相交，只要有一组邻补角相等，则这两条直线互相垂直
（3）两条直线相交，所成的四个角相等，这两条直线互相垂直
（4）两条直线相交，有一组对顶角互补，则这两条直线互相垂直
（ A） 4 （B） 3
（C） 2 （D） 1A问题2：
（1）两条直线垂直和相交是什么关系？（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系
有3种：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情况不能，因为垂直是相交的特殊情况 答：
理由是：
∵ ∠1＝35°，∠2＝55°（已知）垂直∴ ∠AOE＝180°－∠1－∠2
＝ 180°－35°－55°
＝90°
∴ OE⊥AB (垂直的定义)3）、算一算：（作业1）
（1）如图，已知直线AB、CD都经过O点，OE为射线，
若∠1＝35° ∠2＝55°，则OE与AB的位置关系是 ? （2）：如图 ，已知AB. CD相交于O, OE⊥CD
于O,∠AOC=36°，则∠BOE= （A）36° (B) 64°
(C)144° (D) 54° 54°练习：过点Ｐ画出射线AB或线段AB的垂线．（作业2）4）、画一画：
如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 两条线段垂直、两条射线垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直．复习：用三角板过一点作垂线的方法：
一靠：即三角板的一条直角边靠在已知直线也就是与已知直线重合；
二过：即三角板的另一条直角边过已知点；
三画，即画出垂线。问题1：已知直线l，能画出l的垂线吗？能画几条？
结果：与直线l垂直的垂线有无数多条，即存在，但有不确定性。问题2：在直线l上取一点A，过点A画l的垂线，如何画？能画几条？你从中得到什么结论？
结果：经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直。问题3：经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？从中你又得出什么结论？
结果：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。六、探究：垂线的性质（5分钟）垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．垂线的存在性与唯一性
“有”表示存在，“只有”表示唯一，就是肯定有一条并且不能多于一条课堂练习（10分钟）1．选择题
C2.过点P分别向角的两边作垂线（作业3）3、如图，O为直线AB上的一点，∠AOC=－∠BOC,OC是∠AOD的平分线。（1）求∠COD的度数；（2）判断OD与AB的位置关系，并说明理由。（作业4）31ABOCD1、垂线段的概念：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段.PlA要找垂线段， 先把点来看. 过点画垂线， 点足垂线段.例如：如图，PA⊥l于点A，线段PA叫做点P到直线l的垂线段.垂线段性质2的条探究 BDAOC1C2C3C4简单说成：垂线段最短.2、垂线段的性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足.ABPD特别强调：2.如图， AC⊥BC， ∠C=90°，线段AC、BC、CD中最短的是( )
(A)、AC (B)、BC (C)、CD (D)、不能确定1.已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条DABCDC例1、选择题：CADEB解：∵ AC⊥BC于C(已知）∴ AC＜AB（垂线段最短）又∵ CD⊥AD于D(已知）∵ DE⊥BC于E(已知）∴ CD＜AC（垂线段最短）∴ DE＜CD（垂线段最短）∴ AB＞AC＞CD＞DE例2、如图：AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，DE⊥BC于E，试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小.直线外一点到这条直线的垂线段的
长度，叫做点到直线的距离.PA 例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例1：如图，是一个同学跳远的位置跳远成绩怎么表示？ 解：过P点作PA⊥l于点A，垂线段PA的长度就是该同学的跳远成绩.3、点到直线的距离：DBCAE已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的长是A到BC的距离吗？答：不能.想一想：AB 例3、如图，量出（1）村庄A与货场B的距离，（2）货场B到铁道的距离.ABCPQ∴BP=CQ例5、如图， （1）画出线段BC的中点M，连结AM； （2）比较点B与点C到直线AM的距离.例、1.如图，点M、N分别在直线AB、CD上，用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点， 2)M点和N点的距离是线段____的长， 3)M点到CD的距离是线段____的长.MNMFABCDMN∴直线MF为所求垂线.4、区分：点与点之间的距离、点到线之间的距离1、如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由.张庄∟解：点O即为所求。
理由是：垂线段最短五、拓展应用（7分钟）OABCDEFGM· ·问题1：长方体的顶点A处有一只蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬行的最佳路线.并说明理由.问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱BC上，你认为它的最佳路线是什么？问题3：若蚂蚁在点M处，想爬到棱BC上，请你设计一条最佳路线.┏
N拓展应用21、如图已知AC⊥BC,CD⊥AB,则图中
以________的长度表示点A到BC的距离;
以________的长度表示点B到AC的距离;
以________的长度表示点C到AB的距离.2、如图A,B,C三点在直线a上,M点在直线a外,AM⊥CM,MB⊥AC,在①MA＞MB②MB＞MC③MC＞BC④AC＞AM这四个结论中,正确的个数是( )个
A.1 B.2 C.3 D.4线段AC线段BC线段CDC 课堂测试（6分钟） 3、如图所示，在△ABC中，∠ABC=90 ，
①过点B作三角形ABC的AC边上的高BD，过D点作三角 形ABD的AB边上的高DE。
②点A到直线BC的距离是线段 .的长度.
点B到直线AC的距离是线段 .的长度.
点D到直线AB的距离是线段 . 的长度
线段AD的长度是点 .到直线 .的距离.ABBDDEABDED 3、垂线段的定义 4、点到直线的距离5、垂线的性质小结（2分钟）1、垂直的定义；
2、垂线的性质；作业：课本
第8页 第6、7题
第9页 第12题