1.2直角三角形性质与判定（3课时）

1.2直角三角形性质与判定第1课时
勾股定理
【教学目标】：
1.理解勾股定理，了解勾股定理的历史
2. 让学生经历“观察——猜测——证明——应用”的数学探究过程，在动手实践中体会“特殊到一般”和“数形结合”的数学思想方法。
3. 通过实验，让学生感受到数学所具有的 ( http: / / www.21cnjy.com )探索性和创造性，激发学生探究热情，培养学生良好的团队合作意识和创新精神。通过对我国古代数学成就的了解，增强民族自豪感，激发学习热情。
【教学重点】：勾股定理的探索过程与应用
【教学难点】：勾股定理的证明
【教学过程】：
一、创设情景 引入新知
创设校园问题情景，抽象出数学问题
如图，少数师生为了走“捷径”，在学校 ( http: / / www.21cnjy.com )求索馆前的长方形草坪内走出一条小路AB。已知两步为1m，你能算出“捷径”省了多少路吗？从计算出的结果，你有怎样的想法？
引导学生分析：要算节省的路程，就要算 ( http: / / www.21cnjy.com )出AB的长，Rt△AOB中，已经知道AO、BO的长，如何计算AB呢？即问题转化为：直角三角形中已知两边，如何求第三边？
这就是我们今天要探究的内容：勾股定理
二、测量实验 猜测新知
操作一
在方格纸上画一个顶点都在格点上的Rt△ABC,∠C=90°，
其中a=3,b=4，测量斜边c的长度。
操作二
分别以Rt△ABC三边a、b、c为边长向外作正方形S、T、P，则正方形S、T的面积是多少？正方形P呢，如何计算？
引导学生先画图，由画图过程去体会正方形P的计算方法（割补法）,然后请学生来表述。
操作三
继续实验，完成下表：
面积实验组 S T P 三正方形面积关系
实验一 9 16
实验二 1 1
实验三 4 9
观察实验结果，猜测：
分析：学生从实验结果不难发现，S、T的面积之和恰好等于P的面积，由此猜测，即勾股定理：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.
三、拼图探究 验证新知
（一）拼图实验
步骤1 剪出四个全等的（如右图）直角三角形，其中c为斜边，且b＞a.
步骤2 用这四个直角三角形拼出一个正方形（中间可以出现空心）.
学生作品展示
运用多媒体工具（备课王）展示学生作品：
（二）运用拼图，验证勾股定理
作品（Ⅰ）中，大正方形的面积是多少？说说你的计算方法：
法一 正方形边长为（a+b） 则面积为
法二 正方形由四个直角三角形和一个正方形构成，则面积等于
由两种方法算出的面积相等，得出化简后得到
试一试
类似地，让学生自主探 ( http: / / www.21cnjy.com )究，运用作品（Ⅱ）证明勾股定理，请学生到黑板上演示过程，师生共评学生给出的证明方法。同时，指出作品（Ⅱ）就是著名的赵爽玄图，并介绍其相关历史背景。介绍一下古今中外对勾股定理的研究。让学生了解我国对勾股定理的发现比古希腊的毕达哥拉斯还早500多年。
（三）理解勾股定理
学习小组思考讨论：1、勾股定理在任意三角形中都存在吗？2、勾股定理有怎样的意义和用途呢？3、引导学生写出勾股定理的几种表达形式：
若Rt△ABC中,∠C=90°则 ①； ② ； ③；
四、师生互动 应用新知
做一做
1、在Rt△ABC中,∠C=90°①若a=8,b=6,则c=_________.②若c=20,b=12,则a=__________.
2、如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，
①你能算出BC边上的高AD的长吗？②△ABC的面积是多少？
试一试
现在你能计算出引入情景中“捷径”省下了几步路吗？结合计算结果，说说你的感想。
五、小结拓展 内化新知
㈠课堂小结
思考、讨论：这节课我学到了什么？ 我还有哪些困惑？
㈡拓展思考 已知△ABC的两边分别为3和4，求第三边的长
六、分层作业 巩固新知
基础题（必做）
教材16页习题3.6 A组1、3题
延伸题（选做）
1、一根长为70厘米的木棒，要放在长，宽，高分别为50厘米，40厘米，30厘米的长方体木箱中，能放进去吗？为什么？
2、搜集勾股定理古今中外相关历史背景及证明方法，了解美丽的勾股树。
1.2直角三角形性质与判定 第2课时
勾股定理
【教学目标】：
1、知识与方法目标：通过对一些典型题目的思考、练习，能正确、熟练的进行勾股定理有关计算，深入对勾股定理的理解。
2、过程与方法目标：通过对一些题目的探讨，以达到掌握知识的目的。
3、情感与态度目标：感受数学在生活中的应用，感受数学定理的美。
【教学重点】：勾股定理的应用
【教学难点】：勾股定理的应用
【教学过程】：
一、课前复习
1、勾股定理的内容是什么？
问：是这样的。在RtΔABC中，∠C＝90°，有：AC2+BC2＝AB2，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系。
今天我们来看看这个定理的应用。
二、新课过程
分析：
大家分组合作探究：
解：在RtΔABC中，由题意有：
　　AC＝＝≈2.236
　　∵AC大于木板的宽
　　∴薄木板能从门框通过。
学生进行练习：
1、在Rt△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， ∠B=90゜.
①已知a=5，b=12，求c；②已知a=20，c=29，求b
（请大家画出图来，注意不要简单机械的套a2+b2＝c2，要根据本质来看问题）
2、如果一个直角三角形的两条边长分别是6厘米和8厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？
解：①当6cm和8cm分别为两直角边时；斜边＝＝10∴周长为：6+8+10＝24cm
②当6cm为一直角边，8cm是斜边时，另一直角边＝ ＝2
　　周长为：6+8+2＝14+2
解：由题意有：∠O＝90°，在RtΔABO中
　　∴AO＝＝2.4（米）
　　又∵下滑了0.4米
　　∴OC＝2.0米
在RtΔODC中
∴OD＝=1.5（米）
∴外移BD＝0.8米
答：梯足将外移0.8米。
例3 再来看一道古代名题：
这是一道成书于公元前一世纪，距今约两千多年前的，《九章算术》中记录的一道古代趣题：
“现在有一个贮满水的正方形池子，池子的 ( http: / / www.21cnjy.com )中央长着一株芦苇，水池的边长为10尺，芦苇露出水面1尺。若将芦苇拉到岸边，刚好能达到水池岸与水面的交接线的中点上。请求出水深与芦苇的长各有多少尺？
解：由题意有：DE＝5尺，DF＝FE+1。
设EF＝x尺，则DF＝（x+1）尺
由勾股定理有：
x2+52＝（x+1）2
解之得：x＝12
答：水深12尺，芦苇长13尺。
例4　如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高16米，另一棵树高11米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
解：由题意有：BC＝12米，AC＝16－11＝5米。
在RtΔABC中
AB＝＝13
答：小鸟至少要飞13米。
三、应用巩固
书本P13练习
四、小结
今天你掌握了什么
五、作业：
完成基础训练
1.2直角三角形性质与判定第3课时
勾股定理的逆定理
【教学目标】：
1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3、通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。
【教学重点】：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题
【教学难点】：勾股定理的应用
【教学过程】：
一、复习旧课
直角三角形两只脚边的平方和等于斜边的平方。
二、情境导入
在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的
（1）用一根打了13个等距离结的细 ( http: / / www.21cnjy.com )绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起。然后用三角板量出最大角的度数。可以发现这个三角形是直角三角形。（这是古埃及人画直角的方法）
（2）为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）
学生猜想：如果一个三角形的三边长a、b、c满足下面的关系a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形。
三、探究新知
（1）探究：在下图中，△ABC的三 ( http: / / www.21cnjy.com )边长a、b、c满足a2+b2=c2。如果△ABC是直角三角形，它应该与直角边是a、b的直角三角形全等。实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A、B、C、， 使∠C、=90°，
A、C、=b，B、C、=a。把画好的△A、B、C、剪下，放到△ABC上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指导）
(2)用三角形全等的方法证明这个命题。（由于难度较大，由教师示范证明过程）
已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2，如上图（1）,那么△ ABC是直角三角形吗？
证明 : 作△A′B′C′使∠C′=90°，A′C′=b， B′C′=a，如上图（2），
那么AB = a2+b2（勾股定理）
又∵a2+b2=c2（已知）
∴A′B′= c2，A′B′=c (A′B′＞0)
在△ABC和△A′B′C′中，
BC=a=B′C′
CA=b=C′A′
AB=c=A′B′
∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)
∴∠C=∠C′=90°，
∴△ABC是直角三角形
勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
【强调说明】
（1）勾股定理及其逆定理的区别。
（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。
四、应用举例
已知△ABC的三边是下列各值，那么它们是直角三角形吗？如果是,确定哪一个角是直角？
(1) a=8 b=15 c=17
(2) a=10 b=24 c=25
(3) a=6 b=8 c=10
(4) a=12 b=15 c=20
（3）如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6,AD=8，AC=17.求DC的长。
（4）P16练习1、2
五、小结
通过这节课的学习，你有什么收获？这节课我们学习了：
（1）勾股定理的逆定理。
（2）如何证明勾股定理的逆定理。
（3）互逆命题和互逆定理。
六、作业布置
课本101页A组第2题