2023-2024温德克英名校联盟湖北省部分县市重点中学高二第一学期11月期中综合性质量监测
答案和解析
1 2 3 4 5 6
D D B C B D
7 8 9 10 11 12
C C BC ABD ABD ABC
1.【答案】
【解答】
解：向量，，满足，，
且，
，
所以．
可得：．
2.【答案】
【解答】
解：由题意可知，，则，
由该椭球横截面的最大直径为米，可知米，
所以米，米，该椭球的高为米．
3.【答案】
【解答】
解：因为抛物线上两点，关于直线对称，
故AB和直线垂直，
所以，
故，
又，
所以，
故AB中点坐标是，即
故选B．
4.【答案】
【解析】解：直线的方程为，
当时，直线的斜率不存在，倾斜角，
当，直线的斜率为，即或，即，
综上所述，直线的倾斜角的范围是．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：如图示：抛物线的焦点，准线：．
过作于，于，则．
由抛物线的定义可知：．
所以当且仅当在，即，，三点共线时“”成立．
故选：．
结合抛物线的定义，利用几何法求出的最小值．
本题主要考查了抛物线的定义及性质的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可得， ，
则 ，
又 ， ，且库底与水坝所成的二面角为 ，
则 ，
所以 ，
即 ．
故选：
【答案】
【解答】解：当直线与轴垂直时，，，
此时矩形的面积．
当直线与轴不垂直时，设所在直线方程为，
联立，得．
设，则，．
直线与的距离．
平行四边形的面积
令，则，
．
要使得最大值，则只需的值最大，即的值最小即可．
根据条件当这个平行四边形为矩形时，其面积最大．
即当时有最大值，也即是时最小．
由函数在上单调递减，在上单调递增．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
函数在上当时取得最小值，则．
解得：，又，所以．
故选：．
8.【答案】
【解答】
解：设，且，为互质的正整数，或或为内的无理数，
对于选项：
由题意，的值域为，
其中是大于等于的正整数，故选项A正确
对于选项：
若，，设，，且，互质，，互质，
则
若，，则
若，，则
若，，则
所以选项B正确
对于选项：
若为大于的正数，则，而的最大值为，
所以该方程不可能有实根故选项C错误
对于选项：
若，则，，，
若，设为正整数，为最简真分数，
则，
故选项D正确．
故选C．
9.【答案】
【解答】
解：圆的方程，可化为，所以圆心，半径，
易知，故A错误
将代入直线方程，则，解得，故B正确
将代入直线方程，整理可得直线方程，原点到直线的距离，且此为底上的高，所以，故
C正确
由与，则直线的斜率，
由直线方程，则直线斜率，由，则与不垂直，故D错误．
10.【答案】
【解答】
解：对于，由题意可知直线为：，即，
则得，，故直线过定点，故A正确；
对于，当时，由可知，当垂直直线时，线段长取到最小值，最小值为，故B正确；
对于；当时，时，此时直线方程为，与圆只有一个交点，不符合题意，故C不正确；
对于；时，
，
故当直线过圆心时，，则取到最小值为，
则，故D正确．
故选ABD．
11.【答案】
【解答】
解：设椭圆的右焦点为，连接，，
如图所示：
对于，
设，直线的斜率为，的斜率为，直线的斜率为，
设 ， ，则 ， ， ，，
故直线的斜率 ，
因为，在椭圆上，
所以，，
两式相减得，即，
即，所以，所以，
所以为直角，故A正确，
对于设不妨设在第一象限，，，因为在椭圆上，
所以，即，
所以，当且仅当，时取等号，故B正确
对于由，关于原点对称，故
，故C不正确
对于则四边形为平行四边形，所以，
所以
当且仅当即时取等号，故选项D正确
故选：．
12.【答案】
【解析】解：以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
对于，由，，
，，
与所成角的余弦值为，故A正确；
对于，由四面体的体积为，
由四面体的所有棱长均为，
可得四面体的表面积为，
设四面体的内切球的半径为，则，解得，
四面体的内切球的表面积为，故B正确；
对于，正方体中，点在底面上运动，且，
即点的轨迹为面截以，为母线，为轴的圆柱体侧面所得曲线，
如图所示的曲线，
由，，可得，
设与平面的夹角为，
则，所以，
点在平面上的轨迹为双曲线，故C正确；
对于，如图所示，分别取，，，，，的中点，，，，，，
分别连接，，，，，，
根据正方体的性质，可得六边形为正六边形，且边长为，
连接，，，可平面平面，
又由直线，，与平面所成的角都相等，
直线，，与平面所成的角都相等，
此时截面的面积取得最大值，且最大值为，所以不正确．
故选：．
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，可得判定；
分别求得四面体的体积和表面积，结合体积相等，求得四面体的内切球的半径，结合球的表面积公式，可判定；
根据，得到点的轨迹为双曲线，可判定；
取，，，，，的中点，得到正六边形，求得其面积，可判定．
本题考查了空间向量与立体几何的综合应用，几何体的内切球及动点的轨迹问题，属于难题．
13.【答案】
【解答】
解：设直线，，，，则，
联立，消去得，
，
，，
又，，，
，，
即，，
，解得．
14.【答案】
【解答】
解：作于点，
则根据条件可得，，
设四边形的外接圆半径大小为，圆心到的距离为，
则，解得，，
根据侧棱与底面所成角的大小为，
知点到平面的距离为，
设球的半径为，则，
解得，
所以球的表面积为．
故答案为．
15.【答案】
【解答】
解：因为，所以，
设，则，，
由椭圆定义得：，．
因为，所以，
即
得：，所以，，
在中，
得：，即，故．
16.【答案】
【解答】解：如图：
由题可知，因为为的中点，
则为的中点，为的中点，
可得，，，
在中，，
则，
可得，椭圆方程为，
，
因为过作外角平分线的垂线与直线交于点，
所以，则，
可得．
故答案为：．
17.【答案】解：显然、斜率都存在，否则、与曲线不相交．设的斜率为，则的方程为
联立得，，
消去得
根据题意得，
，即有
完全类似地有，
，即有，
从而且．
由弦长公式得
完全类似地有
，
，从而
：，：或：，：
18.【答案】解：，
；
，
．
．
19.【答案】解：依题意，由解得或，
因此圆与圆的公共弦的两个端点坐标分别为，，
当圆的面积最小时，是圆的直径，则圆的圆心为，半径为，
所以圆的标准方程是．
因为直线与直线垂直，则设直线的方程为，
而直线与圆相切，则有，解得或，
又因为在轴上的截距大于，即，所以，即直线的方程为，
而圆的圆心，半径，
点到直线的距离为，
于是得，
20.【答案】解：证明：，，，
，平面，
平面，，
，，，
，，
，，
，平面，
平面，平面平面．
解：以为原点，所在直线为轴，在平面中过作的垂线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，
直线与平面所成角的正切值为，
直线与平面所成角的正弦值为，
平面的法向量，
直线与平面所成角的正切值为，
，解得，
，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
点到平面的距离．
21.【答案】解：由条件，设，则：，
又，，
，
，
，．
即椭圆的标准方程为．
由对称性可知，四边形为平行四边形，由椭圆方程可得，
设：，与椭圆方程联立得：．
设，，则，．
．
设点到直线的距离为，则，
所以四边形面积为：．
设，则在单调递减，
所以的取值范围为．
22.【答案】解：设点，的坐标为，
将其代入椭圆方程可得
两式相减可得，整理可得．
其中为直线的斜率，
可利用点及点计算可得．
其中，代入上式可得，即可得
根据椭圆三个参数间的关系：，可得
综上可得椭圆的方程为
解法一：设直线的方程为，设点关于直线的对称点为，从椭圆的左焦点发射一束光线经过直线进行反射后的反射光线必经过点
现计算点的坐标，设过点且与直线垂直的直线为．
直线与直线的交点为，从而可得点的坐标为
为了保证经过椭圆反射后再回到点，根据椭圆的光学性质可知上述反射光线会经过椭圆的右焦点，综上可知点，，三点共线
即可知，即有，经计算可得
符合条件的直线方程为
当直线为时，根据条件易知，根据椭圆的定义经过点的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为．
此时光线闭合三角形的周长为
当直线为时，根据条件易知，根据椭圆的定义经过点的反射光线及经过椭圆的后的反射光线的和为．
此时“光线三角形”的周长为
Ⅱ解法二：如图，如果过点的光线经过点被直线反射后经过交下半椭圆于点，过设过点且与直线垂直的直线为，直线与轴交于点，由题意可知，，由角平分线定理可得
又，，所以
解得，即
所，又，所以
所以，即直线的方程为：
易知过点发出的光束到点经过直线反射也满足题设，故而直线的方程也可以为
，综上所述，符合条件的直线方程为
后续求“光线三角形”的周长同解法一．
第2页，共2页2023-2024温德克英名校联盟湖北省部分县市重点中学高二第一学期11月期中综合性质量监测
命题：湖北温德克英考试研究院 审校：武汉守恒教育＆SFL创优教育团队 时间：2023.11.17
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.向量，，满足：，，且，则( )
A. B. C. D.
2.某广场的一个椭球水景雕塑如图所示，其横截面为圆，过横截面圆心的纵截面为椭圆，该椭圆的离心率为若该椭球横截面的最大直径为米，则该椭球的高为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为( )
A. B. C. D.
4.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B.
C. D.
5.已知是抛物线上一动点，直线的方程为，定点，到的距离为则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲乙两人相距
( )
A. B. C. D.
7.已知焦点在轴上的椭圆：的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点如图，当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当，且，为互质的正整数时，；当或或为内的无理数时，，则下列说法错误的是( )
A. 在上的最大值为
B. 若，，则( )
C. 存在大于的实数，使方程有实数根
D. ，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.设为坐标原点，直线过圆：的圆心且交圆于，两点，则（）
A. B.
C. 的面积为 D.
10.已知直线与圆有两个不同的公共点，，则( )
A. 直线过定点
B. 当时，线段长的最小值为
C. 半径的取值范围是
D. 当时，有最小值为
11.已知为椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则( )
A. B. 面积的最大值为
C. 周长的最小值为 D. 的最小值为
12.如图，在棱长为的正方体中，为边的中点，下列结论正确的有( )
A. 与所成角的余弦值为
B. 四面体的内切球的表面积为
C. 正方体中，点在底面所在的平面上运动并且使，那么点的轨迹是双曲线
D. 每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点若，则的值为 ．
14.内接于球的四棱锥的底面是等腰梯形，四条侧棱均相等，，，，，侧棱与底面所成角的大小为，则球的表面积为 ．
15.设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为 ．
16.已知椭圆的左，右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于、两点，、分别交轴于、两点，的周长为过作外角平分线的垂线与直线交于点，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知、是过点的两条互相垂直的直线，且、与双曲线各有两个交点，分别为、和、．
求的斜率的取值范围；
若，求、的方程．
18.本小题分
如图，四棱锥的底面为平行四边形，且，是的中点．
若，求的值；
求线段的长．
19.本小题分
已知圆，圆，圆，这三个圆有一条公共弦．
当圆的面积最小时，求圆的标准方程
在的条件下，直线同时满足以下三个条件：
(ⅰ)与直线垂直
(ⅱ)与圆相切
(ⅲ)在轴上的截距大于，
若直线与圆交于，两点，求．
20.本小题分
如图，四边形为平行四边形，点在上，，且以为折痕把折起，便点到达点的位置，且．
求证：平面平面；
若直线与平面所成角的正切值为，求点到平面的距离．
21.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为、，焦距为，上、下顶点分别为、，为椭圆上的点，且满足．
求椭圆的标准方程；
过、作两条相互平行的直线，交于，和，，顺次连接构成四边形，求四边形面积的取值范围．
22.本小题分
已知点为椭圆内一点，过点的直线与交于、两点当直线经过的右焦点时，点恰好为线段的中点．
Ⅰ求椭圆的方程
Ⅱ椭圆的光学性质是指：从椭圆的一个焦点出发的一束光线被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点设从椭圆的左焦点出发的一束光线经过点，被直线反射，反射后的光线经椭圆二次反射后恰好经过点，由此形成的三角形称之为“光线三角形”求此时直线的方程，并计算“光线三角形”的周长．
