2023-2024学年上学期期中质量监测
高二数学
本试卷分第I卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，
1.已知直线1经过点A(-1,0)和B(1,2V3),则1的倾斜角为
A,
B.
C.
2π
6
4
3
D.
3
2.己知圆G:(x-12+y2=1,圆C2:(x-2}+y-5=4,则G与C,的位置关系是
A.外切
B.内切
C.外离
D.相交
3.已知直线1和平面α，则下列命题中正确的是
A.若l与a斜交，则a内不存在与l垂直的直线
B.若1⊥a,则a内的所有直线与l都垂直
C.若I与斜交，则a内存在与1平行的直线
D.若l//a,则a内的所有直线与l都平行
4.已知直线：(m+1)x+y+m=0;l2:x+(m+1)y-2=0,则下列结论正确的是
A.若1，与L2相交，则m≠-2：
B.若1，与L2平行，则m=-2
C.若l与2垂直，则m÷-1D.若l与l2重合，则m=0
5.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD,中，点A到平面ABCD,的距离为
A.√2
B.2W2
C.1
D.2
6.如图，等腰梯形ABCD是圆台OO的轴截面，
BD=CD=AB=4,E为下底面⊙0上的一点，
且BE=AE,则直线DE与平面ABCD所成的角为
B
A.30°
B.450
C.60°
D.90°
E
高二数学试题第1页（共4页）
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7.己知圆M:x2+y2-2x-2y=2,直线1：2x+y+2=0,P为1上的动点，过点P作圆
M的切线PA,PB,切点分别为A,B,当四边形PAMB面积最小时，PM的值为
A.2W5
B.2√2
C.5
D.√2
8.已知正四面体ABCD的棱长为1，棱AB上的一点P满足AP=},若点P到面ACD
和面BCD的距离分别为d1,d2,则d+d2三
A.6
B.3
c.6
D.3
6
6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9.下列结论正确的是
A.已知向量a=(x,0,1),b=(2,1,-4),若4⊥b,则x=2
B.已知向量a=(40,),b=(-2,21),则a在b上的投影的数量为}
C.在空间直角坐标系Oz中，点1,1,1)关于y轴的对称点为1，-1,1D
D.O为空间中任意一点，若OP=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=1,则P,A,B,C
四点共面
10.在正方体ABCD-AB,C,D中，下列结论正确的是
A.CA⊥BD,
B.AC11平面BAC
C.直线AD与AB所成的角为60°
D.二面角C-AB-C的大小为45
11.已知圆0，：x2+y2-2x-3=0和圆02：x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,直线1：
x+y+1=0与圆O,交于C,D两点，则下列结论正确的是
A.1的取值范围是(-2W2-1,22-1)
B.圆O2上存在两点P和2，使得PQ>AB
C.圆O,上的点到直线AB的最大距离为2+√2
D.若∠C0,D=60°，则1=√6-1
12.己知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD,
PA=2,且以A为圆心、”为半径的圆分别交AB,AD于E,F两点，点M是劣弧EF
高二数学试题第2页（共4页）
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数 学 参考答案 2023.11
单项选择题：CDBC ABCA
二、多项选择题： 9. AD 10. BCD 11. AC 12. ACD
三、填空题：13. 3 14. 15. 16.
四、解答题：
17.解：（1）由得 ………………2分
所以直线的方程为，即………………3分
由以上可知直线的倾斜角为，又因为 四边形为菱形，
所以直线的倾斜角为. ………………5分
由（1）知，直线的斜率为
由菱形的性质得直线的斜率为 ………………8分
所以对角线所在的直线方程为，
即. ………………10分
18.解：（1）连结，由题意可得，, 所以，
在直角三角形中，
所以，解得，………………4分
如图以为坐标系原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，,,，，
所以，，
则，，
所以
故直线与所成角的余弦值为. ……………7分
（2）由（1）知， 设平面的法向量，
则，
可取， ………………10分
设点到平面的距离为,
则 ………………12分
19.解：（1）由题意，设的方程为，
因为过点，所以 ①
因为与直线相切，所以 ②
联立①②解得，
所以的方程为. ………………4分
（2）（ⅰ）当直线的斜率不存在时，，此时 ………………7分
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则，
因为，所以圆心到直线的距离为
所以，解得，此时直线的方程为，
所以直线的方程为或 ………………8分
（ⅱ）设圆心到直线的距离为 因为
要使得弦最短，只需最大，此时， ………………10分
因为, 所以的斜率为
所以直线的方程为，即. ………………12分
20.（1）证明:连接，
因为分别为的中点,
所以， ………………2分
因为
所以. ………………4分
（2）解：取的中点,连接
因为,
所以和是全等的等边三角形，
所以 ,所以，
所以,又因为,.
………………6分
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示，则 ………………8分
所以，
设平面的法向量为，则，
令得， ………………9分
设平面的法向量为，则，
令得， ………………10分
所以 ………………11分
设二面角的大小为，由图可知为钝角,
所以二面角的余弦值为. ………………12分
（1）证明：由题意知，平面平面， 交线为，
(
A
B
C
D
E
F
P
G
)因为
所以平面，故 ………………3分
又是上异于，的点，且为直径，所以
又所以
而，
所以 ………………5分
（2）解：过作垂足为，
由（1）知平面.
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系,
由（1）知平面因为,所以平面
故为二面角的平面角，为二面角的平面角，
………………6分
故，四边形是等腰梯形，
则，
由以上可得，，，，，
， 所以，，，
， ………………7分
令
所以
设是平面的法向量，则
即所以可取, ………………9分
记直线和平面所成的角为
则
当时，
当时，，
所以 …………11分
所以直线和平面所成的角的正弦值的取值范围为.………12分
解：（1）因为圆的方程为，即，………………1分
设圆的圆心坐标为，
由题意得， 解得，………………4分
又因为两圆关于直线对称，所以圆的半径为2，
所以圆的标准方程为. ………………5分
当直线与轴垂直时，
所以四边形面积. ………………6分
当直线与轴不垂直时，
设直线方程为，即，
则直线方程为，即. ………………7分
点到直线的距离为，所以， ………8分
点到直线的距离为，所以, ………9分
所以四边形面积，
令（当时四边形不存在），
所以， ………………11分
所以
综上：四边形面积的取值范围为. ………………12分
