人教版新课程数学必修一全部教案

“一次函数的性质和图象”教学设计
一.学习目标：
以一次函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过一次函数的有关知识的复习与提高，沟通初、高中数学内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学的平稳过渡。
二.重点难点：
重点： 斜率公式的推导
难点： 理解一次函数的性质
三.教学内容安排
(一).复习引入:1.什么是一次函数？定义域,值域分别是什么
2.一次函数的图象是什么
(二).新课导入：
1.提出问题：（教师可以利用多媒体等手段展示问题）
对于一次函数,思考以下几个问题.
（1）、函数值的改变量与自变量的改变量的比值是什么
（2）、斜率的符号与函数单调性的关系是什么
（3）、的取值对函数的奇偶性的影响是什么
（4）、函数的图像与坐标轴的交点坐标是什么
在同一坐标系内画出下列函数的图象:
(1).y=2x, (2).y=-2x (3).y=2x+1 (4).y=-2x+1
2.分组讨论后请学生回答结论.
(1).函数值的改变量与自变量的改变量的比值，称作函数在到之间的平均变化率，对一次函数来说它是一个常数，等于这条直线的斜率.
(2).一次函数的单调性与一次项系数的正负有关，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数。
(3) 一次函数,当时,一次函数变为正比例函数,图象过原点,为奇函数,当时,既不是奇函数也不是偶函数.
(4). 一次函数与x轴交点坐标为,与y轴交点坐标为.
引导学生关注：
(1).当时，函数为. 此时，它不再是一次函数，它的图象是一条与轴平行或重合的直线，通常成为常值函数.
(2). 要准确地作出一次函数的图象，只要找准图象上的两个点即可，这两个点通常是找图象与坐标轴的交点.
3.例题:(学生分组讨论回答,教师总结)
例1:设函数,
(1).当m为何值时,它是一次函数 并写出函数图象和坐标轴交点坐标.
(2).当m为何值时,它是正比例函数 说出函数单调性.
例2:设函数则函数值域为 .
例3:用函数单调性定义证明函数在上是减函数.
4、课内练习
教材第56页练习A第1, 3 , 5题.
教材第56页练习B第1题.
巩固练习:
1. 函数y=2x3n－2,当n=____时,y是x的正比例函数。
2. 试验表明小树原高为1.5米,在成长期间,每月增长20厘米,试写出小树高度y(米)与月份x之间的函数关系式。问半年后小树的高度是多少？
3. 某电信局收取网费如下：１６３网费为每小时３元，１６９网费为每小时２元，但要收取１５元月租费。设网费为y元，上网时间为x小时，
（1） 分别写出y与ｘ的函数关系式。
（2） 某网民每月上网１９小时，他应选择哪种上网方式。
(三).归纳小结：
一次函数的图象与性质的有关结论.
(四).布置作业：
教材P56练习A第2, 4题. 教材P56练习B第2题
四.教学资源建议
电子版教材,教学案例,相应课件,充分恰当利用多媒体手段让学生直观地观察参数的变化对函数图象的影响等.
五.教学方法与学习指导策略建议
1.通过测试题检测学生已有知识结构做好学生知识分析,确定教学起点.
2.可设计相关协作学习与自主探究等策略,如由学生依据课堂学习内容对具体的一次函数进行分析,然后通过小组汇报形式,展示学生探究过程和探究结果等.
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳3.1.1实数指数幂及其运算（第一课时）
（一）学习目标
1．知识与技能目标
理解整数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；
理解根式的概念和性质，并能用于相关计算中。
2．过程与方法目标
通过复习回顾初中所学二次根式的相关性质，用类比的思想来完成根式的学习；
3．情感态度与价值观目标
通过复习回顾旧知识，来完成新知识的学习，在这一过程中培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、化归转化能力；
（二）重点难点
教学重点：根式的概念、性质
教学难点：根式的概念
（三）教学内容安排
（I）复习回顾
师：在初中，我们已经学习了整数指数幂的概念及其性质。现在，我们一起来看屏幕。
整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
规定：
a0=1（a≠0）
（a≠0,n）
师：这儿我们为什么都要求a≠0？（引导学生分析清楚）
师：另外，我们在初中还学方根、立方根这两个概念。
22=4 2，-2叫4的平方根（-2）2=423=8 2叫8的立方根（-2）3=-8 -2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根
师（生）：我们来看，若22=4，则2叫4的平方根；若23=8，2叫做8的立方根；若25=32，则2叫做32的5次方根，类似地，若2n=a，则2叫a的n次方根。这样，我们可以给出n次方根的定义。
（II）讲授新课
1.n次方根的定义：
若xn=a(n>1且n∈N*)，则x叫做a的n次方根。
师：n次方根的定义给出了，我们考虑这样一个问题，x如何用a 表示呢？
生：正数的平方根有两个且互为相反数，负数没有平方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数。
师：跟平方根一样，偶次方根有下列性质：在实数范围内，正数的偶次方根有两个且互为相反数，负数没有偶次方根；跟立方根一样，奇次方根有下列性质：在实数范围内，正数的奇次方根是正数，负数的奇次方根是负数。
这样，再由n次方根的定义我们便可得到n次方根的性质：
2.根式运算性质：
①（n>1,且n）
②
师：关于性质的推导，我们一起来看：
性质①推导过程：当n为奇数时，当n为偶数时，综上所述，可知：性质②推导过程：当n为奇数时，由n次方根定义得：当n为偶数时，由n次方根定义得： 则综上所述：
师：性质②有一定变化，大家应重点掌握，接下来，我们来看例题：
3.例题讲解
例1：求下列各式的值：
解：
师：根指数 n为奇数的题目较易处理，而例题侧重于根指数n为偶数的运算，说明此类题目容易出错，应引起大家的注意。为使大家进一步熟悉性质运用，请大家来做练习题。
（III）课堂练习
（IV）课时小结
（V）课后作业
教材P89练习A：1
（四）教学资源建议
（五）教学方法与学习指导策略建议
3.1.1实数指数幂及其运算（第二课时）
（一）学习目标
1．知识与技能目标
理解分数指数幂的概念和性质，并能用于相关计算中；
会对根式、分数指数幂进行互化；
了解无理指数幂。
2．过程与方法目标
通过复习回顾初中所学的整数指数幂及上节课所学根式的相关性质，用类比的思想来完成分数指数幂的学习；
3．情感态度与价值观目标
培养学生用联系观点看问题；
（二）重点难点
教学重点：1.分数指数幂的概念.
2.分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解.
（三）教学内容安排
（I）复习回顾
师：上一节课，我们一起复习了整数指数幂折运算性质，并学习了根式的运算性质。
整数指数幂概念 整数指数幂运算性质
规定：a0=1（a≠0） （a≠0,n）
①（n>1,且n）②
师：对于整数指数幂运算性质（2），当a>0,m,n是分数时也成立。
（说明：对于这一点，课本采用了假设性质（2）对a>0,m,n是分数也成立这种方法，我认为不妨先推广性质（2），为下一步利用根式运算性质推导正分数指数幂的意义作准备）。
师：对于根式的运算性质，大家要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。接下来，我们来看几个例子。
例子：当a>0时①②③④⑤
师：上述推导过程主要利用了根式的运算性质，例子③、④、⑤用到了推广的整数指数幂运算性质（2）。因此，我们可以得出正分数指数幂的意义。
（II）讲授新课
1.正数的正分数指数幂的意义：
师：大家要注意两点，一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化。
另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定。
2.规定：
（1）
（2）0的正分数指数幂等于0。
（3）0的负分数指数幂无意义。
师：规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数推广到有理数指数。当a>0时，整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用。即对于任意有理数r,s,均有下面的运算性质：
3.有理指数幂的运算性质：
（1）ar as=ar+s(a>0,r,s∈Q)
(2)(ar)s=ar (a>0,r,s∈Q)
(3)(a b)r=ar br(a>0,b>0,r∈Q)
4.例题讲解
例2：求值：
分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。
解：
例3：用分数指数幂的形式表示下列各式：
分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。
解：
5．无理指数幂
师：若a>0,p是一个无理数，则ap（如）表示一个确定的实数，即有理指数幂还可以推广到无理指数幂。
我们现在还无法给出无理指数幂严格的定义，但是上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，而有关概念和证明我们现在也不考虑。
现在我们可能还有一些疑问，究竟是一个什么样的数呢？
我们按照要求的精确度，取无理数的不足近似值或过剩近似值：
1.4，1.41，1.414，……（的不足近似值）；
1.5，1.42，1.415，……（的过剩近似值）。
其次，我们相应地可用有理指数幂的序列
31.4，31.41，31.414，……或31.5，31.42，31.415，……
来近似地计算无理指数幂的不足或过剩近似值。
一般地，当a>0，α为任意实数时，实数指数幂aα都有意义。
例1．利用科学计算器计算（精确到0.001）：
例2．利用科学计算器计算函数值。已知
（III）课时小结
（IV）课后作业
教材P97-98练习A：2，3；B：1，2，3。
（四）教学资源建议
（五）教学方法与学习指导策略建议北京市高中数学新课程模块教学
集合教学设计
一、教材分析
1．本章的教学内容范围
以图表的形式给出：
2．本章的教学内容的地位和作用
集合语言是现代数学的基本语言，集合语言的使用，有利于数学学习者和研究者之间简洁、准确地表达数学内容。本章只将集合作为一种语言来学习，通过学习，促进学生运用数学语言进行交流的能力。数学许多重要的的分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合论的基础上；另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域得到应用。
3．本章教学内容的总体教学目标
（1）了解集合的含义，会使用符号“”或“”表示元素与集合之间的关系。
（2）能选择自然的语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
（3）理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等。
（4）理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集。在具体情景中了解空集和全集的含义。
（5）理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集。理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合的补集。
（6）掌握有关的术语和符号（、、、、、、、、等），会用它们表达集合之间的关系和运算。能使用Venn图表达集合的关系与运算。
4．本章的教学内容重点和难点分析
本章的重点是集合的特征性质描述法及集合之间的相互关系。只有掌握了集合的特征性质描述法及集合之间的相互关系，才有可能使学生简洁准确地表达数学对象和结构，更好地使用数学语言进行交流，进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的能力。
本章的难点是使用集合的特征性质描述集合的逻辑意义。学生从本章正式开始学习集合知识，其中学习了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号对于初学者来说比较容易混淆，这些因素都可能给学生的学习带来一些困难。
5．其它相关问题
（1）与教学大纲相比较，课程标准更注重了集合的语言性和基础性，淡化技巧和与其他数学知识的过早结合；
（2）课程标准提出能用三种语言描述数学问题的要求，并会在三种语言之间进行转换；
（3）学生在初中虽然没有学习过集合的概念，但初中数学学习已为集合的学习提供了大量的素材，教师应借助这些素材，帮助学生认识和学习集合知识
二、本章教学方式和教学方法的概述
集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识，通过丰富的事例和分析，使学生理解集合的含义。学习语言的最好方法是运用，在教学中，要多创设情景，让学生有机会使用集合语言进行表达和交流。数学中有三种语言：自然的文字语言、数学符号语言、图形语言。在集合中都得以体现，教学中要让学生逐步熟悉并能互相转换。充分利用Venn图和数轴为工具学习集合的关系和运算。教学中，可以利用PPT等方式，给学生呈现大量的材料，让学生去分析、表达和交流，以获得集合知识的感性认识。
三、本章所需教学资源的概述
教师需要从生活中和初中数学中选取适量的素材并制作成PPT，在教学中提供给学生；
选择一定量的练习题，作为课堂练习和作业；利用网络资源，搜寻一些和集合有关的数学史知识，扩大学生知识面，激发学生学习兴趣。
四、本章学时建议
根据本章的教学内容和难度，我们以层次较好的学生为参考，建议安排4个学时：
1.1.1与1.1.2 合为1学时
1.2.1 1学时
1.2.2 2学时
为方便起见,我们的教学设计仍以课本自然单元为一个案例.
第一章 集合
1.1集合与集合的表示方法
1.1.1 集 合 的 概 念
学习目标：
1.知识与技能
(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法.
(2)初步了解“”关系的意义.
(3)初步了解有限集、无限集、空集的意义.
2.过程与方法
(1)通过实例,初步体会元素与集合的”属于”关系,从观察分析集合的元素入手,正确地理解集合.
(2)观察关于集合的几组实例,并通过自己动手举出各种集合的例子,初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义.
(3)学会借助实例分析、探究数学问题(如集合中元素的确定性、互异性).
3.情感、态度与价值观
(1)了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系.
(2)在学习运用集合语言的过程中,增强学生认识事物的能力,初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度.
重点难点：重点为集合概念的形成,难点为理解集合的元素的确定性和互异性.
教学内容安排：
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
温故知新 集合这个词我们并不陌生.同学们先说说,我们平时看到的、听到的、用到的与集合或集合有关的名称/术语(或情境)有哪些 学生回答:自然数集、整数集,…;线段、射线、直线、圆、…它们都是点集.引导学生回顾,初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识:一般地,一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集. 鼓励学生发言,引出集合概念.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 实例1:“小于10”的正整数1,2,…,9;到两定点距离相等的点的全体;所有的等腰三角形;我校高一所有学生.实例2:湖泊名称所在地水面面积/km2湖面海拔/m蓄水量/(亿m3)湖水最深/m湖水性质南四湖山东10973316.063淡太湖江苏24283.1451.43.3淡青海湖青海43403195778.027咸洞庭湖湖南269133155.4224淡博斯腾湖新疆992104880.216淡鄱阳湖江西358322150.129淡呼伦湖内蒙古2339545.5131.38淡纳木错湖西藏1961.54718768.035咸洪泽湖江苏1576.91227.94淡填写下表:水面面积范围(单位:km2)湖泊名称备注3000以上2000～3000990～2000集合:一般地,把一些能够确定的不同的对象看成一个整体,就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).集合的元素(或成员):即构成集合的每个对象(或成员). 教师提问:对于实例1,以上各例(构成集合)有什么特点 请大家讨论.学生交流,得出集合概念的要点,然后教师肯定或补充.学生完成实例2的表格,体会“归类”想法.(鼓励学生自己设计表格,从湖面海拔/m、蓄水量/（亿m3）、湖水最深/m、湖水性质等方面，确立分类标准，感悟集合概念).教师:我们能否给出集合一个大体描述 …学生思考后回答,然后教师总结.提问:上述例子中集合的元素各是什么 通过实例1,引导学生经历并体会集合(描述性)概念形成的过程,引导学生进一步明确集合及集合元素的概念,会用自然语言描述集合.通过实例2,使学生更热爱祖国的大好河山,同时让集合走近“分类”.
概念深化 实例3:参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合;三角形的全体构成的集合;方程的解的全体构成的集合;不等式的解的全体构成的集合. 提问:你能指出各个集合的元素吗 各个集合的元素与集合之间是什么关系 例(3)中数0,是这个集合的元素吗 学生讨论交流,弄清元素与集合之间是从属关系. 引入集合语言描述集合.
概念深化 元素与集合的关系集合通常用英语大写字母表示,它们的元素通常用英语小写字母表示.如果是集合的元素,就说属于,记作,读作”属于”.如果不是集合的元素,就说不属于,记作,读作”不属于”.集合的元素的基本性质:确定性:集合的元素必须是确定的.不能确定的对象不能构成集合.互异性:集合的元素一定是互异的.相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素.实例4:节头图是中国体育代表团步入亚特兰大奥林匹克体育场的照片,代表团有309名成员;平面上与一个定点的距离等于定长的点的全体;方程的解的全体.空集:不含任何元素的集合,记作.集合的分类:按所含元素的个数分为有限集和无限集.常用的数集及其记号: 非负整数集(或自然数集).或:正整数集.:整数集.:有理数集.实数集. 提问:”著名的数学家”、”年轻人”、”较小的有理数”能否分别构成一个集合,为什么 学生讨论交流,进一步明确集合概念.强调集合中元素的确定性和互异性.学生观察实例4,问:它们各有元素多少个 学生通过观察思考并回答问题. 依据元素个数的多少将集合分类. 对于实例3,指出哪些是有限集 哪些是无限集 请同学们熟记常用数集及其符号. 通过讨论,使学生明确集合元素所具有的性质,从而进一步准确理解集合的概念.通过集合的个数对集合进行分类,感受有限集、无限集、空集存在的客观意义.
应用举例 例1 已知由三个实数构成一个集合,求应满足的条件.解:根据集合元素的互异性,得所以且.例2 由三个实数构成一个集合，若是集合中元素，则 .答案:.课堂练习:教材第4～5页练习A第1～3题.例3 用填空:①______; ②______; ③______;④_______;⑤_______;⑥_______. 例1学生求解,教师板书.例2,3给出答案,反馈矫正. 应用可进一步理解集合的有关概念.
归纳总结 ①知识方面;②学习的探索过程. 师生共同总结——交流——完善. 学生自己总结的过程，就是体会知识的发生、发展、和完善的过程，有助于能力的提高.
布置作业 ①教材第5页,练习B第1,2题.②预习教材第5～7页,“集合的表示法”. 学生独立完成. 巩固深化,预习教材,逐步培养学生的自学能力.
（四）教学资源建议
课本与教参;与内容相关的数学发展史;信息技术手段;人教社网站.
（五）教学方法与学习指导策略建议
根据学生的实际情况,采用启发式与讲授式相结合的方法,自主探究式学习与合作式学习相结合;建议多给学生一些感性认识,通过展示才会发现,通过发现才会发展,获得对知识更深层次的理解.
1．1．2集合的表示方法
一、学习目标：
1．知识与技能：掌握集合的表示方法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题
2．过程与方法：发展学生运用数学语言的能力，感受集合语言的意义和作用，学习从数学的角度认识世界．
3．情感态度与价值观：通过合作学习培养学生的合作精神．
二、重点、难点：
重点是集合的表示方法，即运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
难点是集合特征性质的概念，以及运用特征性质描述法表示集合
三、教学内容安排
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1、集合、元素、空集、有限集和无限集的概念？怎样表示元素与集合的关系？集合的元素有哪些特征？常用数集的记法？2、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：（1）0 N；（2） Q；（3） R 教师提问，学生回答． 通过复习回顾，为引入集合的表示方法打下基础
提出问题 上节课我们学习了用大写字母表示集合，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么．表示一个集合，关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的其它表示方法．集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？ 学生阅读课本，先独立思考，再互相讨论，教师巡视． 锻炼学生自学和交流能力．
概念形成 列举法：如果一个集合是有限集，元素不太多，常常把集合的所有元素都列举出来，写在花括号“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫列举法． 学生回答师生共同归纳，教师用多媒体课件演示具体内容． 锻炼学生总结归纳总结能力．
概念深化 使用列举法时应注意：（1）适用情况：集合是有限集，元素不太多．集合是有限集，元素较多，有一定的规律（或有规律的无限集），可列出几个元素作为代表，其它元素用省略号代表（2）用列举法表示集合时，不必考虑元素的前后次序，要注意不重不漏．（3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素．a表示这个集合的一个元素． 教师分析：（1）从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}；（2）自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}；（3）12的所有正因数构成的集合：{1，2，3，4，6，12}；（4）集合{1，2}与{2，1}表示同一个集合；（5）某个国家代表团只有一个人，这个人本身和这个人构成的代表团是完全不同的． 进一步加深学生对列举法的理解，使学生能够正确熟练地使用列举法．
应用举例 例1（1）我国现有的直辖市组成的集合；（2）小于40的所有质数组成的集合；（3）前100个自然数组成的集合；（4）正偶数集合；（5）方程的解集. 学生独立思考并回答问题 运用概念解决问题．
概念形成 2．特征性质描述法：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以用它的特征性质描述为：{x∈I| p(x) } ，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的．这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法． 教师提问，学生回答，详细说明什么是特征性质．例如：正偶数构成的集合，它的每一个元素都具有性质“能被2整除，且大于0”，而这个集合外的其它元素都不具有这种性质，性质“能被2整除，且大于0”就是这个集合的特征性质．提问：集合的特征性质是什么？（学生回答）教师用多媒体课件演示． 加深学生对特征性质的理解，
概念深化 使用特征性质描述法时注意：（1）特征性质明确．（2）若元素范围为，“”可以省略不写．（3）在不致混淆的情况下，有的集合也可以直接写出元素名称，可以省去竖线及左边部分并用花括号括起来表示这类元素的全体，但实数集不能表示为：{实数集}或{全体实数} 教师分析：（1）不等式的解集可以表示为：或（2）所有直角三角形的集合可以表示为：也可以表示为：{直角三角形}； 提高探索简单集合特征性质的能力．
应用举例 例2用列举法表示下列集合（1）（2） 例3用描述法表示下列集合（1）；（2）大于3的全体偶数构成的集合；（3）在平面内，线段的垂直平分线．思考与讨论：1．哪些性质可作为集合的特征性质？2．平行四边形的哪些特征性质，可用来描述所有平行四边形构成的集合？ 学生讨论交流并回答教师应说明：在几何中，平面，直线，线段都可以看作是点的集合．通常用大写字母表示点（元素），用小写字母表示点的集合，应注意区别． 加深学生对特征性质描述法的理解和整握
课堂练习 教科书7～8页练习A、B 学生回答 进一步巩固所学知识
探索与研究 问题：以下集合①②③④ 是同一个集合吗？答：不是．集合是点集，集合, 是数集,表示只含一个元素的集合. 学生思考、讨论、交流并回答
归纳小结 1列举法2特征性质描述法3比较两种表示集合的方法，分析它们所适用的不同情况． 师生共同分析总结：⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合{1000以内的质数} 梳理知识体系，培养学生归纳、总结、概括能力．
布置作业 教材8～9页习题1-1 A、B
四、教学资源建议
参考资料：1.《普通高中课程标准实验教科书》数学必修1
2．《普通高中课程标准实验教科书》数学必修1教师教学用书
信息技术手段：软件powerpoint演示
五、教学方法与学习指导策略建议
在学生阅读并了解整节课的基础上采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法．在教学中通过列举例子，引导学生讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质．
1.2.1集合间的关系
一，教学目的：
1、知识与技能：（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）能识别给定集合的子集.
（3）能利用Venn图表达集合间的关系；
2、过程与方法：
（1）运用类比的方法，对照实数的相等与不等的关系，探究集合之间的包含与相等关系
（2）初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力。
3、情感、态度与价值观：
（1）了解集合的包含，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义。
（2）探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用
二、教学重点和难点
（1）重点：子集的概念
（2）难点：元素与子集、属于与包含之间的区别
三、教学方法：讲、议结合法。通过实例探索集合之间的（“包含”与“相等”）关系，同时引出子集的概念，对比集合的包含与相等关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质。
四，教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 两个实数间有相等、大于、小于等关系，那么两个集合之间是否有类似的关系呢？ 引语：数之间存在相等与不等的关系，元素与集合之间存在属于与不属于的关系，那么两个集合之间有什么关系呢 采用类比的方法将问题引入。强调类比的方法向学生渗透学习数学的方法
提出问题 研究集合与集合之间的关系
概念形成 问题一：观察实例(1) A=｛1，3｝，B=｛1,3,5,7｝(2) A=｛高一全体女生｝，B=｛高一全体学生｝（3）A={x︱x是矩形}，B={x︱x是平行四边形}(4) A=N,B=Q(5) A={x︱x>3}，B={x︱x>5}(6) A={x︱（x+2）(x+1)=0}，B={-1,-2}问在每个例子的两个集合中，前一个集合中的元素与后一个集合的元素之间有什么关系？幻灯片：1，子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.依据定义：规定： 教师引导学生思考问题一，分组讨论，然后回答问题。引导学生发现并总结前后两个集合元素之间的关系从而归纳出子集、真子集定义（1） 和.是否具有同样含义：或.（2）能否利用元素与集合的“属于”关系来判断集合与集合的“包含”与“不包含”的关系，请学生分组讨论并回答。师：由于空集不含任何元素，所以我们规定空集是任何集合的子集，请填空： {0} 让学生观察每组两个集合A、B之间的关系，归纳这些例子的共同特点，归纳集合间的包含关系，引导学生归纳出如下性质：（1）或.具有同样的含义。（2）“包含”可表达成：对于任意，则（或）（3）“不包含”可表述为：若A中至少存在一个，则
概念深化 1、类比实数中的结论：（1）a≤a；（2）若a≤b ，b≤c，则 a≤c（3）若a≤b ，b≤a，则a= a等讨论集合间的关系2、用Venn图表示两个集合间的“包含”关系 A=B练习：N、Z、Q、R四个数集之间是什么关系？请用Venn图表示出来。3、空集是任何非空集合的真子集4、“包含”关系的传递性：若，，则 若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.传递性：若，，则教师讲解集合韦恩图的表示方法。学生讨论并完成练习。 引导学生进一步分析“子集”概念，从中得出真子集与相等的两个概念。通过应用引导学生体会Venn图对理解子集、真子集、相等等概念的作用。
应用举例 教材第11到12页例1、例2例3：确定下列各组集合的关系 教师在讲解完例1后问：你能找出“元素个数”与“子集数目”之间的规律吗？ 通过应用进一步理解和巩固集合的子集、真子集等概念，逐步学会应用集合语言。
课堂练习 1、教材第3页，练习A第1---4题，2、已知，写出满足条件的所有集合X. 反馈矫正
归纳小解 子集、真子集、相等等概念，如何判断？与，a与{a}，{0}与之间有何区别？集合之间的包含关系等概念是怎么形成的，请回顾梳理一遍 师生共同总结——交流——完善。 引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程。
布置作业 教材第13至14页练习B第1—4题；教材第12页“思考与讨论”；预习教材第15至19页“集合的运算” 有学生独立完成 巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力。
1.2.2集合的运算
一、教学目标：
1.知识与技能
(1)初步理解两个集合的交集、并集、补集的含义.
(2)会求两个集合的交集、并集、补集.
(3)能使用Venn图表达集合间的运算.
2.过程与方法
(1)通过复习集合与集合间的关系，对照数或式的算术运算和代数运算，探究集合之间的运算.
(2)使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力.
3.情感、态度与价值观
(1)了解集合间的运算，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.
(2)通过直观图的运用培养学生的探索精神.
二、教学重点、难点：
(1)重点是集合的交、并、补运算.
(2)难点是补集的运算.
三、教学方法：
教师指导与学生合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解交集、并集、补集的概念和性质，并通过练习使学生能熟练的进行集合运算.
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习提问 举例说明集合有哪些表示方法.集合与集合之间的关系是什么？ 学生回答 巩固旧知识，引出新知识
提出问题 研究集合与集合之间的运算 引语：对数和式可以进行算术运算或代数运算，那么两个集合之间可以进行运算吗？
概念形成 问题一：1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={2,3}之间的关系.板书：1.交集：一般地，由所有属于A又属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A∩B（读作＂A交B＂），即A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝． 教师引导学生思考问题一，分组讨论，然后回答问题。教师与学生共同发现总结：1中阴影部分是集合A、集合B的公共部分。2中集合C是集合A、集合B的所有公共元素构成的集合。从而归纳出交集的定义 引导学生观察、分析、归纳，总结概括出“并集”的定义
概念深化 问题二：已知集合A={a,b,c} B={c,d,e,f} C={a,b,c,d,e}求①A∩B ②B∩A ③A∩④A∩C板书：2、 A∩B= B∩A; A∩A=A; A∩=∩A=; 如果AB，则A∩B=A 教师要求学生思考问题二，并分组讨论、交流并归纳出性质。教师要求学生将性质用Venn图表示出来 引导学生归纳出交集的性质引导学生体会Venn图对理解交集概念的作用
应用举例 教材P16 例1 例4例5．设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A∩B.解：A∩B=｛x|x>-2｝∩｛x|x<3｝=｛x|-2概念形成 问题三：观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？ 图1图22、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4}之间的关系.板书：3、并集：一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B的并集．记作A∪B（读作＂A并B＂），即A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝． 教师引导学生思考问题三，分组讨论，然后回答问题。教师与学生共同发现总结：1中阴影部分包括了集合A、集合B的全部元素。2中集合C是集合A、集合B的所有元素构成的集合。从而归纳出并集的定义提醒学生注意：在求集合的并集时，同时属于A和B的公共元素，在并集中只列举一次. 引导学生观察、分析、归纳，总结概括出“补集”的定义
概念深化 问题四：已知集合A={a,b,c} B={c,d,e,f} C={a,b,c,d,e}求①A∪B ②B∪A ③A∪④A∪C板书：4. A∪B= B∪A; A∪A=A; A∪=∪A=A; 如果AB，则A∪B=B. 教师要求学生思考问题四，并分组讨论、交流并归纳出性质.教师要求学生将性质用Venn图表示出来 引导学生归纳出并集的性质引导学生体会Venn图对理解并集概念的作用
应用举例 教材P17 例5例7设A=｛x|x是锐角三角形｝，B=｛x|x是钝角三角形｝，求A∪B.解：A∪B=｛x|x是锐角三角形｝∪｛x|x是钝角三角形｝=｛x|x是斜三角形｝．例8设A=｛x|-1课堂练习 教材P17 练习A15 学生解答，教师给出答案 反馈校正
概念形成 板书：5.全集：在给定的问题中，若研究的所有集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集.6.补集：若A是全集U的子集，由U中不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作. 教师讲授 使学生明确全集、补集的定义
概念深化 板书： 7.由补集定义可知，对于任意集合A，有A∪=U, A∩= 教师引导，学生总结 巩固全集、补集的概念
应用举例 教材P19 例6例8例10.分别用集合A,B,C表示下图的阴影部分 例11.已知全集U=，若，，求实数例12.已知全集，集合，，其中，若A∩B={－3}，求. 学生解答 使学生从题目中体会Venn图对理解集合运算的作用进一步理解和巩固集合的运算
课堂练习 教材P19 练习A14 学生解答，教师给出答案 反馈校正
归纳小结 交集、并集、全集、补集的概念及性质.2、Venn图对理解集合运算的重要作用. 师生共同总结—— 交流——完善 引导学生学会自己总结；让学生进一步（回顾）体会知识的形成、发展、完善的过程.
布置作业 教材P18练习B1-4，P19练习B1-3，P20习题A1-9；教材P16“思考与讨论”；教材P18“探索与研究”；复习本章内容. 由学生独立完成 巩固深化
首师大附中 薛忠俊 男 汉 36 12
首师大附中 韩新生 男 汉 47 28
首师大附中 宁锁燕 女 汉 43 21
首师大附中 郗玲玲 女 汉 31 6
首师大附中 王静园 女 汉 30 3
首师大二附中 李雪梅 女 汉 38 16
首师大二附中 姚娜 女 汉 33 12
首师大二附中 高伟 　 　 　 　
首师大二附中 陈菲 女 汉 34 11
集合
集合的概念
集合的表示法
集合与集合的关系
集合与元素的关系
空集及一些特殊的集合
集合元素的确定性与互异性
描述法
列举法
包含关系
子集
真子集
相等
集合的运算
交集
并集
补集
B
A
A、B
B
A
A
B
- 19 -课 题：3．1．2指数函数1
（一）学习目标
1知识与技能：了解指数函数模型的背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与特殊点.
2 过程与方法: 能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图像,探索指数函数的单调性与特殊点
3 情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识.
（二）重点难点
重点：指数函数的图像和性质
难点：指数函数的图象性质与底数的关系
（三）教学内容安排
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……. 1个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是什么？
分裂次数：1，2，3，4，…，x
细胞个数：2，4，8，16，…，y
由上面的对应关系可知，函数关系是.
这个函数的定义域是非负整数集,由上式,任给一个x的值，我们就可以求出对应得y值.
引例2：一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，求这种物质的剩留量随时间（单位：年）变化的函数关系.
设最初的质量为1，时间变量用x表示,剩余量用y表示，则y与x的函数关系式为 .这个函数的定义域是正整数集,
教师设问:函数与的共同特征是什么？你能类比正比例函数、反比例函数的解析式，写出这类函数的一般形式吗？
学生独立思考,交流讨论,得出共同特征：在,中，指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量，一般地，底数不变而指数可变，即底数是常数，而指数是自变量.
一般形式: y=
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.
二、新授内容：
1．指数函数的定义：
函数叫做指数函数
2.指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出函数y=，y=的图象.
学生列表,描点,作图如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y= … 1 2 4 8 …
y= … 8 4 2 1 …
我们观察y=，y=的图象特征，就可以得到的图象和性质。
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
注意:由指数函数的定义可知，指数函数的定义域是实数集，但在实际问题中不都如此, 引例1中函数的定义域是非负整数集，引例2中函数的定义域是正整数集,他们的定义域都是指数函数定义域的子集，而且他们在其定义域内分别与指数函数，取相同的值，通常，我们把这类函数称为指数函数的“限制函数”.
三、讲解范例：
例1 已知函数是指数函数，且，求函数的解析式.
待定系数法：函数是指数函数，所以可设=
，所以=4
函数的解析式是
例2（课本第92页例1）
利用指数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小：
①与； ②与；
③>,比较,的大小 ④与
首先让学生观察两个数的特点,有什么相同 由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢 让学生联想指数函数,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.
分析：①与底数是1.7，它们可以看成函数 y=，比较当x=和+1时的函数值；因为底数1.7>1，所以函数y=在R是增函数，而<+1所以，<；
解: y=在上是增函数,且<+1
<；
②③过程略。
④分析:>1；<1；>
小结：对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单调性，必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的两个函数值. 对不同底数幂的大小的比较可以与中间值进行比较.利用转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)
教师强调过程必须写清三句话:
(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.
(2) 自变量的大小比较.
(3) 函数值的大小比较.
后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.
例3某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留是原来的一半（结果保留1个有效数字）。
分析：通过恰当假设，将剩留量y表示成经过年数x的函数，并可列表、描点、作图，进而求得所求。
解：设这种物质量初的质量是1，经过x年，剩留量是y。
经过1年，剩留量y=1×84%=0.841;
经过2年，剩留量y=1×84%=0.842;
……
一般地，经过x年，剩留量
y=0.84
根据这个函数关系式可以列表如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35
用描点法画出指数函数y=0.84x的图象。从图上看出y=0.5只需x≈4.
答：约经过4年，剩留量是原来的一半。
评述：指数函数图象的应用；数形结合思想的体现。
四、课堂练习：⑴比较大小： ,
⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：
m < n；m < n.
⑶比较下列各数的大小： ，
五、小结
引导学生回顾本节课所学习的知识及数学思想方法：
⑴指数函数的定义;
⑵指数函数的图象和性质;
⑶待定系数法,特殊化方法,数形结合思想;
⑷学会 “数学地”思考现实生活中的各种问题.
，
六、课后作业：教材92页练习A
教材93页练习B 1,2
教材93页习题3-1A 4
教材94页习题3-1B 6
七、板书设计（略）
八、课后记：
（四）教学资源建议
（五）教学方法与学习指导策略建
教学方法：采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与教学的积极性。
指数函数是基本初等函数之一，应用非常广泛。它是在本章学习完函数概念和两个基本性质之后较为系统地研究的第一个初等函数。
前面已将指数概念扩充到了有实数指数幂，并给出了实数指数幂的运算性质。指数函数的概念从实际问题引入，这样既说明指数函数的概念来源于客观实际，也便于学生接受和培养学生用数学的意识函.数图象是研究函数性质的直观图形.指数函数的性质是利用图象总结出来的，这样便于学生记忆其性质和研究变化规律.
课 题：3．1．2指数函数2
（一）学习目标
1知识与技能：在了解指数函数模型的背景，理解指数函数的概念的基础上，进一步理解指数函数的单调性与特殊点,进一步理解指数函数的概念和意义.
2 过程与方法: 在能借助计算机或计算器画出具体指数函数的图像的基础上,进一步探索指数函数的单调性与特殊点
3 情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，进一步体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识。
（二）重点难点
重点：利用指数函数的性质求指数函数的定义域、值域：
难点：结合指数函数的图象性质研究相关函数的图像和性质,函数图象的变换,指数函数性质的运用
（三）教学内容安排
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
一、复习引入：
1、的图象和性质。
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
2、比较下列各组数的大小(板书)
(1)与 (2)与 ; (3) 与 ;
(4)与 . (5)与
解答过程略
(1)-(3)可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决；而(4)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生指数函数的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)
解决后由教师小结比较大小的方法
(1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)
(2) 搭桥比较法: 用特殊的数1或0.
二、讲授范例：
例1.求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵ ⑶ (4) （）
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合指数函数的图象。注意向学生指出函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量x的取值范围。
解:（1）由x-1≠0得x≠1
所以，所求函数定义域为{x|x≠1}
由 ，得y≠1
所以，所求函数值域为{y|y>0且y≠1}
说明：对于值域的求解，在向学生解释时，考察指数函数y=,并结合图象直观地得到，以下两题可作类似处理。
（2）由5x-1≥0得
所以，所求函数定义域为{x|}
由 ≥0得y≥1
所以，所求函数值域为{y|y≥1}
（3）所求函数定义域为R
由>0可得+1>1
所以，所求函数值域为{y|y>1}
通过此例题的训练，学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域，还应注意书写步骤与格式的规范性.
例2用计算机作出的图像，并在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=的图象的关系，
⑴y=与y=. ⑵y=与y=.
解：⑴作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.25 0.5 1 2 4 8 16
0.5 1 2 4 8 16 32
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
⑵作出图像，显示出函数数据表
x -3 -2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.3125 0.625 0.125 0.25 0.5 1 2
比较函数y=、y=与y=的关系：将指数函数y=的图象向右平行移动1个单位长度，就得到函数y=的图象，将指数函数y=的图象向右平行移动2个单位长度，就得到函数y=的图象
小结：⑴ y=与y=的关系：当m>0时，将指数函数y=的图象向右平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象；当m<0时，将指数函数y=的图象向左平行移动m个单位长度，就得到函数y=的图象
例3 ⑴已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将的图像y轴右侧的部分翻折到y轴左侧的到的图像，关于y轴对称.
⑵已知函数 用计算器或计算机作出函数图像，求定义域、值域，并探讨与图像的关系
解： 定义域：xR 值域：
关系：将（x>1）的图像在直线x=1右侧的部分翻折到直线x=1左侧得到的图像，是关于直线x=1对称
三、课堂练习:
1. 求下列函数的定义域和值域：
⑴ ⑵
解：⑴要使函数有意义，必须 ,
当时 ； 当时
∵ ∴ ∴值域为
⑵要使函数有意义，必须 即
∵ ∴
又∵ ∴值域为
2.在同一坐标系中,做出函数
四、小结
引导学生回顾本节课所学习的知识及数学思想方法
⑴ 指数函数的图象和性质
⑵ 指数形式的函数定义域、值域的求法
⑶ 函数图像的变换
五、课后作业：
教材93页练习B 3
教材93页习题3-1A 3
教材94页习题3-1B 1,2,4,5
六、板书设计（略）
七、课后记：
（四）教学资源建议
（五）教学方法与学习指导策略建
教学方法：采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与教学的积极性。§3.1.1实数指数幂及其运算（一）
一：教学目标　
　1．知识目标：
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质．
　　(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新 的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．
　　(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．
　　 2．能力目标：
通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．
3.情感目标：
通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．
二：教学重点难点
重点是分数指数幂的概念分数指数的性质
难点是根式的概念，分数指数的概念
三：教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究、合作交流的教学方法为宜。
四：教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1.整数指数幂的定义 a0=1(a≠0) a-n= (a≠0,n∈N)2.练习：计算下列各式 ， ，，，，3.整数指数幂的性质:(1) an.am=an+m(m,n∈Z)(2) (am)n=amn(3) (ab)m=ambn提问：中指数n是否可以是分数呢？今天这节课我们就主要来探究这个问题，在此之前我们先来学习根式的概念 师生一起回忆整数指数幂的定义并板书学生思考回答 回顾初中所学过的整数指数幂概念及其运算，引出问题，导入新课
概念形成 问题1：在初中我们学过平方根、立方根的概念，它是如何定义的？它有何性质？学生回忆(1)如果一个数的平方等于a，即，那么数x叫做a的平方根，(2)如果一个数的立方等于a，即，那么数x叫做a的立方根；(3)正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）正数和负数的立方根都只有一个，零的立方根是零。问题2: 以下式子：，，，. 中 与9，2与8，-2与-8，与16，3与243，-3与-243是什么关系？叫9的平方根，2叫8的立方根，-2叫-8的立方根.类比：叫16的四次方根，3叫243五次方根，-3叫-243的五次方根。 试想：如果 ，你能试着说出x与a的关系吗？由此类推：一般地，如果存在实数x,使得，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．求a的n次方根，叫做把a开n次方，称作开方运算。的次方根用符号表示． 式子叫做根式，这里叫做根指数（，叫做被开方数．正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，分别表示为， －（>0，n为偶数）负数的偶次方根在实数范围内不存在；当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．都表示为（n为奇数）．根据n次方根的定义，根式具有性质：（1）当是奇数时，当是偶数时， 学生独立思考，逐一回答，教师板书学生讨论交流后回答讨论交流“试想”并让多个学生回答 为学生理解根式概念作铺垫促使学生进一步理解以上概念，并尝试把知识迁移到四次方根和五次方根由特殊到一般，培养学生归纳、概括的能力
概念深化 例如：， 我们还可以把整数指数幂的运算法则推广到正分数指数幂。例如 ，显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释。但是如果规定 则上述分数指数幂得运算就能像整数指数幂那样运算了。分数指数幂的意义 规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．3．有理指数幂的运算性质（1）· ；（2） （3） 。 师生一起解答 进一步理解根式的性质，为导出分数指数幂做铺垫
应用举例 计算：（见书第87页） ， ，， 教师板书过程 巩固知识点
巩固练习 书第89页练习A第1题中（1）、(2)、(3)小题，第2题，第3题第（1）、(2)、(3)题 学生独立练习后，小组对答，再全班对答 通过自练、互评方式进一步理解所学知识
归纳小结 引导学生回顾本节课所学的知识：根式的定义分数指数幂的概念有理指数幂的运算性质
布置作业 教材第89页第3题和第90页第1题和第2题中的（2）（4）题
3.1.1 实数指数幂及其运算（第2课时）
一、教学目标
1．知识与技能：
① 理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；
②了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.
2．过程与方法：
①通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用。
②利用计算器或计算机进行实际操作，亲历有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体会数学的逼近思想。
3．情感、态度与价值观：
通过有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体验数学概念的发生、发展的过程，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。
说 明：有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。
二、教学重点、难点
重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质。
难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。
三、教学方法与手段
采用讲练结合、启发式、自主学习及小组合作交流等多种方式，借助计算器、多媒体辅助教学。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1．有理指数幂 问题1：将下列根式写成分数指数幂的形式：，，，，，？？回顾公式： 补充说明：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。2．有理指数幂的运算法则问题2：计算（1）；（2）；（3）？？运算法则： 问题1：， ，， ， ，公式： 问题2：（1）； （2）； （3）法则：（1）· ；（2） （3） 。 学生思考联系回答问题教师板书公式 回顾有理指数幂及其运算法则，在巩固理解有理指数幂定义的基础上，让 学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质．
概念形成 无理指数幂 有理指数幂还可以推广到无理指数幂。例如，是一个什么样的数呢？结合教材P88实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义。指出：若a＞0， 是一个无理数，则表示一个确定的实数。一般地，实数指数幂是一个确定的实数．可以证明对任意实数值，上述有理数指数幂的运算法则同样适用于无理数指数幂． 教师给出思想方法，给出表格，学生利用计算器实际操作体验数学逼近的思想。。 让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”的过程。体会“用有理数逼近无理数”的思想。从而理解无理指数幂的存在意义。
概念深化举例 教材P88例1 利用科学计算器计算（精确到0.001）： 解：例2 利用科学计算器计算函数值。已知，求，，，，，（精确到0.001）。解：，，，，， 自学，小组交流动手操作 结合例1例2学生自学，利用计算器进行实际操作，感受“逼近”过程进一步理解实数指数幂的意义。
应用举例 现在我们来利用实数指数幂运算法则解决一些问题 计算：（1）；（2）（3）（4）；（5）解：（1）（2）（3）（4）（5）原式=== 师生共同回顾分数指数幂运算法则并完成例题1-4学生可迅速完成，强调同底相除时指数相减，5着重讲解。 通过几个简单例题逐步训练有关有理指数幂运算法则的应用，进而为解决下个例题铺设台阶。
应用举例 例3（教材P89）化简下列各式：（1）（2）解：（1）原式==（利用法则化简）=24=24；（2）原式=（配完全平方） = =注：对于计算结果不强求统一形式表示。没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数。 先独立思考练习，后师生共同完成 通过例题巩固指数运算法则，掌握并能熟练运用
归纳小结 引导学生回顾本节课所学的知识及数学思想方法：本节主要回顾了根式与分数指数幂以及指数幂的运算，分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化．在进行指数幂的运算时，一般地，化指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．同时了解了从有理指数幂到无理指数幂的逼近过程，知道实数指数幂存在的意义。 学生先自觉回忆本节收获并交流，然后师生共同总结。 巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力。
布置作业 作业：教材P90练习B第2－3题．现在资源有限，待开学时将对例题练习作业作进一步补充完善。 巩固有理指数幂的概念及运算法则
五、教学指导建议
在指数幂的教学中，要注意控制分数指数幂运算的难度。要在回顾上节学习的分数指数幂的概念及分数指数幂运算性质的基础上，巩固有理指数幂的概念及运算性质，以及实数指数幂的意义及运算性质，
“无理指数幂”的教学，可让学生进一步体会“无限逼近”的思想，建议指导学生利用计算器或计算机进行实际操作，亲历逼近的过程。2.3函数的应用（Ⅰ）第二学时
（一）学习目标
1．能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题并初步掌握数学建模的一般步骤和方法。
2．通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点．
3．学生在运用函数的思想和方法理解和处理其它学科、现实生活中的简单问题中体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观。在数学建模中体会客观世界是有规律可循的，形成正确的世界观。通过函数应用的学习，让学生感受到数学就在身边，从而激发学生学习的兴趣，增强学习的自信心。
（二）重点难点
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题，引导学生探索从实际问题中抽象出函数关系。
教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法。
（三）教学内容安排
1、处理课本的例4
例4：建立函数数学模型的例子.
问题：我国1999-2002年国内生产总值（单位：万亿元）如下表所示：
年份 1999 2000 2001 2002
x 0 1 2 3
生产总值 8.2067 8.9442 9.5933 10.2398
（1）、画出函数图形，猜想他们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）、利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）、利用关系式估计2003年我国的国内生产总值.
例4是建立一个真实的函数模型解决实际问题的例子，所提供的数据没有作任何处理，它里面包含的信息很丰富，要求学生根据需要抓住主要矛盾，建立模型解决问题，要求也更高。 鉴于学生是第一次接触数学建模，课本采取分步设问的办法，引导学生分析数据，建立模型解决问题，使学生经历一个完整的数学建模过程。本题可以根据学生实际的认知水平作不同的处理，若学生没有建模的基础，就采取教材的处理方式，然后再归纳总结建模的方法，提炼数学建模的思想。若学生基础较好或有一定的建模基础，教师可以只提供数据，让学生提出自己感兴趣的问题，然后自主探究，解决问题，师生交流，达成共识，落实方法。这样处理除了向学生渗透数学建模的思想方法之外，还关注学生的问题意识，提高学生的创新能力。在例4的教学过程中要充分利用计算机帮助学生解决问题，丰富学生的学习方式。
2、补充练习：
在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到共n个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其它近似值比较,它与各测量数据的差的平方和最小.依此规定,从推出的最佳近似值=____.
解：设最佳近似值为x，设x与各测量数据的差的平方和为y，则
，因为n>0，由二次函数的性质可得，y取最小值时，x的值为，即最佳近似值为
补充练习条件比较简单，但所建数学模型为二次函数，包含了找出应用题中的核心数学概念、正确理解并列出与核心数学概念相关的数量关系、结合题意利用列出的数量关系正确的建立数学模型和能正确辨认数学模型的数学实质，利用已学数学知识正确求解数学模型这几个关键步骤，是对课本例4的补充和巩固。
（四）教学资源建议
教师教学用书附录scilab 3.0作图命令简介
（五）教学方法与学习指导策略建议
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一。在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识；学生在体验数学与日常生活和其它学科领域的联系中树立起正确的世界观；数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用。结合后两节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯。
总之，对于函数应用的教学主要是培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画客观世界的规律的能力。关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法，使学生初步做到以下五点：
1、会审题：找出实际问题中的核心数学概念
2、会理解：正确理解并列出与核心数学概念相关的数量关系
3、会建模：结合题意利用列出的数量关系正确的建立数学模型
4、会求解：能正确辨认数学模型的数学实质，利用已学数学知识正确求解数学模型
5、会反思：要反思模型结论在实践中的应用；反思求解数学模型的思维过程
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳§2.3函数的应用（Ⅰ）第一课时
（一）学习目标
1．知识目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用一次函数、二次函数模型解决实际问题，初步掌握数学建模的一般步骤和方法．
2．能力目标：通过具体实例，感受运用函数建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性，初步树立函数的观点．
3．情感目标：了解数学知识来源于生活，又服务于实际，从而培养学生的应用意识．
（二）重点难点
教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决实际问题．
教学难点：增强运用函数思想理解和处理问题的意识，理解数学建模中将实际问题抽象、转化为数学问题的一般方法．
（三）教学内容安排
1、复习一次、二次函数的有关知识
2、创设情景，揭示课题
引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.
此例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.
可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
3、结合实例，探求新知
例1、 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求出离开北京2h时火车行驶的路程．
探索：
1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；
2）变式思考：试写出火车匀速行驶的路程y与火车行驶的时间x之间的函数关系
3）所涉及的变量的关系如何？
4）写出本例的解答过程.
老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.
学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.
说明：本例是一次函数模型的例子，在审题中重点是理解各变量的含义及相互间的依赖关系，难点是求自变量t的取值范围．可设一次函数为，使用待定系数法求解．对于第二问，我们可以引导学生体会函数与方程，一般与特殊的关系，加深对函数本质的理解．
例2、某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其它因素，旅游公司将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
引导学生探索过程如下：
1）本例涉及到哪些数量关系？
2）应如何选取变量，其取值范围又如何？
3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？
4）“总收入最高”的数学含义如何理解？
根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.
[略解：]
设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30
设客房租金总上收入元，则有：=（20+2）(300－10)
=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）
由二次函数性质可知当=10时，=8000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.
课堂练习 1、要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.
2、如图，把截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形一边长为x，面积为y试将y表示成x的函数，并画出函数的大致图象，并判断怎样锯才能使得截面面积最大？
例3
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示。
（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式。
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：元／百千克，时间单位：天）
解: 由图1可得市场售价与时间t的函数关系：，由图2可得种植成本与时间t的函数关系：，由上消去t得Q与P的对应关系式：
。

因为认定市场售价P与种植成本Q之差为纯收益，所以当且时，；由二次函数性质可知当P＝250时，t＝50，此时P－Q取得最大值100；
当且时，；由二次函数性质可知当P＝300时，t＝300，此时P－Q取得最大值87.5．因为100＞87.5，所以当t＝50时，P－Q取得最大值100，即从二月一日起的第50天上市的西红柿收益最大。
4、归纳整理，发展思维.
引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：
1） 合理选取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为
函数模型问题：
2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；
3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；
4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观
性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.
5、布置作业
作业：教材P68习题2.3（A组）第3 、4、5题：习题2.3（B组）第1、2题
（四）教学资源建议
教师教学用书
（五）教学方法与学习指导策略建议
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，因此函数的应用是学习函数的主要目的之一．本节课学习一次和二次函数模型的应用，让学生在熟悉的知识背景下理解用函数的思想分析问题、解决问题的方法，初步掌握建立数学模型的一般步骤，为第二次学习函数的应用打好基础．教材这样处理既符合学生的认知规律又体现了螺旋式上升的设计理念．在函数应用的教学中，学生通过动手操作、模仿，参与解决实际问题，体验从实际问题中抽象出数学关系的方法，从而感受函数的应用价值，增强数学应用的意识；学生在体验数学与日常生活和其它学科领域的联系中树立起正确的世界观；数学建模活动，在激发学生学习数学的兴趣，发展学生创新精神和实践能力方面起到重要的作用．结合本节内容的学习，使学生形成用函数思考问题的习惯．总之，对于函数应用的教学主要是培养学生数学应用的意识，用函数模型刻画客观世界的规律的能力．关键在模型的建立中要合理选择变量和寻求变量间的依赖关系，掌握数学建模的一般方法．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳
25人教B版，必修1，基本初等函数（Ⅰ）单元教学设计
一、教材分析
1、本单元教学内容的范围
第三章的主要内容是指数函数、对数函数和幂函数这三种函数模型.本章共分四大节，共14课时.
第一大节3.1指数与指数函数分2小节（3.11-3.12）共4课时.该节首先引入整数指数幂和分数指数幂的概念.在初中已经学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念的基础上，本节复习了正整数指数幂、零指数、负整数指数幂的概念，并且复习了正整数指数幂的运算法则.有了这些知识，本章将指数幂的概念和运算性质逐步扩充到有理指数幂以及实数指数幂. 接着通过两个具体的例子引入了指数函数，并对指数函数的图象和性质进行了研究.
第二大节3.2对数与对数函数分3小节（3.2.1-3.2.3），共5课时，该节首先学习对数和对数的运算法则，然后再学习对数函数及其图象和性质，对数函数的图象是在画指数函数图象的对应值表的基础上描绘的，对数函数同指数函数一样，是以对数概念和运算法则作为基础讲授的.接着，通过对指数函数与对数函数的关系的研究给出了反函数的含义，并对这两种函数的增长差异进行了比较.
第三大节3.3幂函数只安排了1个课时.该节通过考查已经学过的函数，引出了幂函数的概念，然后研究了幂函数的图象和性质.
第四大节3.4 函数的应用（Ⅱ）也安排了1个课时，举例说明了指数函数、对数函数和幂函数在经济学、物理学等领域中的应用.
为了加强数学的应用意识，体现函数作为刻画现实世界变量之间相互关系的数学模型的作用，在第四大节的“探索与研究”中安排了“如何建立数学模型”的内容，在章末安排了“实习作业”.另外，在本章内容的讲解过程中，特别注意通过一些社会生活中的实例来展示指数函数、对数函数和幂函数作为函数模型的广泛应用.
为了体现数学文化的作用，本章安排了两个阅读材料，通过介绍对数方法产生的历史以及建立对数与指数的联系的过程，引导学生体会数学与社会生产生活之间的紧密联系，认识对数在人类社会发展、科技进步中的作用，以及社会生产生活的需要对数学发展的促进作用.另外，通过介绍对数方法先于指数概念，对数的发明没有应用指数与对数的互逆关系这一历史，可以让学生体会数学发展的不同轨迹，从而激发学生的学习兴趣.
2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用
本章内容是在学完函数概念以及函数基本性质后的情况下，较为系统地研究指数函数、对数函数、幂函数，它是函数内容学习的继续和深入（第二阶段）．
基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数)是高中数学的基础，是刻画现实世界变化规律的重要模型，由于我们生活在充满变化的现实世界中，其中有一类具有重要的运动变化的关系，如GDP的增长问题、人口增长问题、细胞分裂、考古中所用的14C的衰减、药物在人体内残留量的变化等，结合实际问题，可以感受观察、抽象概括并建立数学模型的过程和方法，通过计算工具，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长的差异，体会、认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同的函数类型增长的含义．体会函数在数学和其他学科中的重要性，体现数学的应用价值．
学生在以前学习中，已经经历过“数”的扩充过程，由正整数到整数，由整数到有理数，再由有理数到实数，从而形成一个优美的体系，本章继续体现这样扩充的思路，实现指数概念的扩充进而进一步研究幂函数概念，依据两个原则：①数学发展的需要；②基本运算能无限制地进行，把“指数函数、对数函数、幂函数”科学地组织起来，再一次体现充满在整个数学中的组织化、系统化的精神．
本章是在上一章学习函数及其性质的基础上，具体研究指数函数、对数函数、幂函数这三个高中阶段重要的函数．这是高中函数学习的第二个阶段，目的是使学生在这一阶段获得较为系统的函数知识，并初步培养函数应用意识，为今后的学习打下坚实的基础，同时使学生对函数的认识由感性上升到理性．可以说这一章起到了承上启下的重要作用，本章所涉及到的一些重要思想方法，对学生掌握基础的数学语言，学好高中数学起着重要的作用．
3、本单元教学内容总体教学目标
学生通过本章学习，可以了解指数函数、对数函数等的实际背景，理解指数函数、对数函数、幂函数的概念与基本性质，了解五种幂函数，体会建立和研究一个函数的基本过程和方法，同时会用它们解决一些实际问题．
一知识目标
1.了解指数函数模型的实际背景
2．理解有理数指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算性质．
3．经历由指数得到对数的过程，理解对数的概念，掌握对数的运算性质．
4．经历由正整数指数函数逐步扩充到实数指数函数的过程，由指数函数的概念、图象与性质得到对数函数的概念、图象与性质的过程，并通过具体实例去了解指数函数模型、对数函数模型的实际背景，掌握指数函数和对数函数的概念、图象以及性质．
5．收集现实生活中普遍使用的指数函数和对数函数的模型实例，了解它们的广泛应用．
6．利用计算工具、比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．
7．了解指数y=ax(a>0，且a≠1)与对数函数y=logax(a>0，且a≠1)的图象关系，初步了解指数函数和对数函数互为反函数的关系．
8．通过特殊的幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y=了解幂函数
9．引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、幂函数等与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．
10．鼓励学生运用现代信息技术学习、探索和解决问题．例如，利用科学计算器、计算机画出指数函数、对数函数和幂函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质．
(二)能力目标
1．培养学生观察分析、抽象概括能力和归纳总结能力．
2．培养学生数形结合、辩证思维和动手实践的能力．
3．培养学生应用函数思想方法解决实际问题的能力．
(三)价值目标
1．培养学生积极学习、刻苦钻研的学习毅力等良好的意志品质．
2．培养学生观察分析、抽象概括能力，数形结合、归纳总结能力和实践与探索能力．
3．学会理论联系实际，学以致用，在解决实际问题的过程中，逐步理解、认识函数思想方法，了解数学的应用价值．
4、本单元教学内容重点和难点分析
重点：指数函数和对数函数的性质.
难点：无理指数幂的含义以及指数和对数的关系.
5、本单元内容《新课标》与《大纲》的比较
（1）本单元内容《新课标》与《大纲》的目标对比
项目 课标（14课时） 大纲（24课时）
必修1-3 第一册（上）第二章二（三）
内容 《新课标》的目标表述 大纲的目标表述
指数函数 ① 通过具体实例（如，细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景.
② 理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
④ 在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）. 理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质
对数函数 ① 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.
② 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
③ 知道指数函数y=ax 与对数函数y=loga x互为反函数（a > 0, a≠1） 理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质
幂函数 通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2，y=x3，y=，y= 的图象，了解它们的变化情况. 无
（2）变化之处
1．加强的内容
(1)加强了函数模型的背景和应用的要求．
了解指数函数模型的实际背景，了解对数函数模型的实际背景；认识直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义；让学生通过收集生活中普遍使用的函数模型实例体会函数模型应用的现实意义．
要求学生了解无理数指数幂的意义，感受用有理数指数幂逼近无理指数幂的过程，通过“过剩近似值”与“不足近似值”两个方向逼近，认识无理指数幂是一个确定的实数，明确有理数指数幂的运算性质在无理数范围内也是成立的，大纲只要求掌握有理数指数幂的运算．
在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深学生对函数概念的理解．新课标在指数函数与对数函数的内容上与原大纲有较大区别，新课标更侧重于指数型函数与对数型函数的教学．
(2)加强了信息技术整合的要求．
明确指出了要运用信息技术进行教学，如：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的单调性与特殊点；能借助计算器用二分法求相应方程的近似解等．这都体现了加强与信息技术整合的要求，加强了函数模型的背景和应用的要求.在理解函数概念的基础上，再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，有利于加深学生对函数概念的理解．
2．削弱的内容
(1)削弱了对定义域、值域的过于繁难的，尤其是人为的过于技巧化的训练．
(2)削弱了反函数的概念，只要求知道指数函数（）与对数函数（）是互为反函数；不要求形式化的理解其概念，也不要求求已知函数的反函数,复合函数的概念仍放到“导数及其应用”的相关内容中．对于对数函数内容的要求也有所降低．这都是为了尽可能地减轻学生的负担．
（1）增加了幂函数(y=x，y=x2，y=x3，y=，y=)的内容；
（2）换底公式又恢复为教学内容.
6.教学建议
1．指数函数、对数函数等有其丰富的实际应用价值，在教学中，应让学生充分感受指数函数的应用，如通过GDP的增长问题、14C的衰减，考古、地震、pH的测定等，体现数学的应用价值．
2．应强调在基本初等函数学习中所蕴涵的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推广)、逼近的思想(有理指数幂逼近无理指数幂)、数形结合的思想(用指数函数、对数函数、幂函数的图象探究指数函数的性质)、归纳思想、类比思想(如从指数的运算律类比对数的运算律)等．引导学生用类比的思想方法，将指数函数、对数函数、幂函数的研究方法统一起来，并加以归纳总结．在本章教学中尤其应注意加强数形结合、几何直观等数学思想方法的学习要求，可先从分析具体的函数图象与性质入手，观察分析、体验探索、归纳概括，进而得到的基本初等函数的图象与性质．这是教学的重点之一，强调指数函数和对数函数的底数a对函数值变化的影响，这是教学的难点，应注意贯穿分类讨论的思想方法，化解难点、突出重点．
3．教学过程中要注意发挥信息技术的优势，尽量利用计算机或计算器等创设教学情境，绘制指数函数、对数函数、幂函数的图象，为学生的数学探究与数学思维创设有利的环境和条件．
4．教材中对反函数的概念要求作了较大的调整和降低，只要求知道指数函数（）与对数函数（）是互为反函数，对反函数的形式化的符号和推理不作一般性的要求。
二、与本单元教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
根据本单元教学内容的特点，可以采用讲授式与自主探究相结合的教学方式，要重视章头故事在教学中的应用,要充分利用几何画板,科学计算自由软件（P120）等软件以及图形计算器等工具通过教师引导下的学生的自主探究，发现指数函数、对数函数、幂函数的若干性质，完成教学目标所确定的教学任务.
三、本单元所需教学资源概述
图形计算器，几何画板,科学计算自由软件或其他软件平台，已经进入新课标的省份的高考试题.
四、本章各节课教学设计
人教B版 必修（I） 基本初等函数（I）
3.1 指数与指数函数的教学设计
§3.1.1实数指数幂及其运算（第一课时—— 第二课时）
一、学习目标
1. 理解n次方根、根式、分数指数幂概念，了解实数指数幂的意义，会对根式、分数指数幂进行互化；
2. 掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简，求值；
3. 通过复习回顾初中所学整数幂运算，用类比的思想来完成实数指数幂的学习；
4. 借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想.
二、重点难点
1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质；解决方法：利用正整数幂的概念及性质进行类比分析，由简到繁，逐步深入.
2. 难点：根式的概念及分数指数幂的概念；解决方法：由具体到一般，注意过程分析.
三、教学内容安排
本小节内容包括整数指数幂、分数指数幂、根式的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算.
1. 整数指数幂的概念及运算性质
在初中我们首先研究了正整数指数幂：一个数的n次幂等于n个的连乘积，即
正整数指数幂的运算法则有五条：
①
② （）
③ ④
⑤
为保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m，n都是正整数，且在法则②中限定，为了取消的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：
（）
这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条①③④同时，将指数的概念扩大到了整数.
在这里，应该指出：由于零指数或负整数指数幂要求底数不等于0，因而，对于整数指数幂而言，当然就要求“底数不等于0”
2. 根式
教材中安排根式这部分内容，是为讲分数指数幂做准备，所以本节教材只讲根式的概念及其性质，先复习平方根、立方根的定义，然后给出n次方根的定义，同时教材根据n次方根的意义得出了n次方根的性质
（1）n次方根的定义
如果，则称为的次方根，次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，对比平方根、立方根概念，可知：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0，设，是大于1的奇数，则的次方根为，如－27的3次方根为； ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义，设，是大于1的偶数，则的次方根记作，如16的4次方根为，为16的4次方根中的正根.
（2）开方与乘方
求的次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求3的四次方，结果是，而求3的四次方根，结果为 ，对于根式符号，要注意以下几点；①，且 ②零的任何次方根都是零 ③为奇数或时，
④当为大于1的偶数时，只有当时有意义，当时无意义，表示在实数范围内的一个非负次方根，另一个是.
⑤式子对任意都有意义，当为奇数时，；当为偶数时，如要加以注意
（3）根式的概念是教学的难点.教课时，可举几个具体实例，然后再给出次方根的一般定义.
方根的性质，可以结合立方根与平方根的性质来讲述，即次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此，教课时可以以平方根与立方根为基础来说明.
3. 分数指数幂
（1）分数指数幂规定：①正数的正分数指数幂的意义是：
（为既约分数）
②正数的负分数指数幂的意义是：
（，且为既约分数）
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）关于分数指数幂要注意以下几点：
①. 的意义，分数指数幂是根式的一种新的写法，根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式上不同而已.
②. 0的指数幂，0的正分数指数幂是0，0的负分数幂没有意义，负数的负分数指数幂是否有意义，应视的具体数值而言.
③. 指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
4. 分数指数幂的运算性质
有理数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：
； ； ；
式中，，对于这三条性质须记准、记熟，会用、用活.
5. 讲述实数指数幂的意义及其运算性质时，让学生进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并结合例1、例2让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.
6. 参考例题与练习
（1）用根式的形式表示下列各式（）
（2）用分数指数幂表示下列各式
① ② ③
④ （） ⑤ （） ⑥
（3）计算
① ②；
③ ④
（4）化简：
① ②
③（式中）（扩展）
（5）已知，求下列各式的值
① ② ③（扩展）
（6）已知+1，求的值（其中），（扩展）
（7）若（）求的值.
四、教学资源建议
教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.
五、教学方法与学习指导策略建议
根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.
§3.1.2指数函数（第三课时----第四课时）
一、学习目标
1. 理解指数函数的概念和意义；
2. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质；
3. 能利用指数函数的性质比较幂的大小；
4. 根据图象探索，理解指数函数的单调性与特殊点，感受数形结合的数学思想.
5. 培养学生的观察能力，分析问题能力，概括总结的能力.
二、重点难点
1. 重点，掌握指数函数的图象，性质及应用，解决方法；由具体到抽象，由特殊到一般，进行类比分析.
2. 难点：①对于与的情况的讨论，解决方法：对比分析.
②指数函数性质的应用，解决方法：训练，研究，总结.
三、教学内容安排
本小节包括指数函数的概念，图象和性质
1. 指数函数的概念
教材从一个关于细胞分裂的具体问题引入指数数的概念，既说明指数函数的概念来自实践，也便于学生接受，在讲解指数函数的定义时，要说明它的定义域是什么，为什么要规定是一个大于零且不等于1的常量.
（1）指数函数的定义
一般地，函数（且）叫做指数函数.
（2）对指数函数定义的理解
①定义域，因为指数函数概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数的前提下，
可以是任意实数.
②规定底数大于零且不等于1的理由；
如果，
如果，比如，这时对于，都无意义，如果，对于任何实数，是一个常量，对它就没有研究的必要.
2. 指数函数（）的图象和性质
（1）函数图象是研究函数性质的直观工具，利用图象便于学生理解并常握函数的性质和变化规律，用描点法画出指数函数的图象时，首先要通过计算列出对应值表.
（2）教材中利用两个指数函数，的图象，分析它们的特征，并由此得出指数函数的性质.
引导学生分析图象特征和性质
图象特征 函数性质
1. 这些函数位于轴上方 1. 取任何实数，都有
2. 这些图象过（0，1）点3. 图象（I）在第一象限内的纵坐标，都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，图象（II）正好相反. 2. 无论为任何正数，有3. 当时当时，
（4）自在向右看，图象（I）逐渐上升，图象（II）逐渐下降 （4）当时，是增函数当时，是减函数
因而得出指数函数的性质（分和）两种情况
图象
性质 （1）定义域是R（2）值域（0，+）（3）过点（0，1）即时，
（4）
（5）在（）上是增函数 在（）上是减函数
3. 由指数函数（）与直线相交于（1, a）可知，在y轴右侧，图象从下到上相应的底数从小到大，如，图象如图.
4. 函数图象的平行移动
由函数，，的图象，可以看出将指数函数的图象向左平移1个单位，就得到函数的图象，将指数函数的图象向右平行移动2个单位，就得到函数的图象.
5. 说明：①本小节是在有理指数扩充到实数指数的基础上引入指数函数的，因此在指数函数的概念引入之前，先要复习零指数、负指数、分数指数，分数指数幂的意义及其运算，无理指数幂的意义要用极限才能解释清楚，教学中可根椐教材第3．１．１节向学生解释.
②在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图象和性质，其关键在于弄情底数对于函数值变化的影响，对于与时正数质变化的不同情况，学生经经容易混淆，这里教学中的一个难点，攻克这一难点应特别重视直观教学，即应充分利用函数图象理解函数的性质.
③本小节要强化对运算，作用，处理数据，科学计算器的使用等基本技能的训练.
④充分利用本小节内容，加强数形结合，分类讨论等数学思想的惨透.
6．注意，通常我们把定义域M是指数函数定义域R的真子集（MR）的函数（）叫做指数函数的“限制函数”.
7. 参考例题与练习
（1）指出下列函数中哪些指数函数
① ② ③ ④ ⑤
⑥ ⑦ ⑧ （且）
（2）函数恒过定点 .
（3）比较下列各项中两个值的大小
①与 ②与
③已知 比较的大小 ④与
（4）指数函数，，，的
图象如图，则底数与1共5个数从小到大的
顺序是____________________.
（5）求下列函数的定义域
①（）
②若f(x)的定义域为(0, 1)，求的定义域
③
（6）求下列函数的值域
① ②
③ ④
（7）求函数的增区间 .
（8）方程的解的个数为 .
（9）教材ｐ——４，５，６
四：教学资源建议
教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.
五：教学方法与学习指导策略建议
1．根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.
2．引导学生认真阅读教科书，注意特殊与一般的思想方法及数形结合的思想方法的运用，通过实例整体把握指数函数的本质，培养学生运用图形帮助思考的习惯，培养学生观察能力、分析问题能力及概括能力.
3.2 对数与对数函数教材分析.
§3.2.1 对数及其运算（共3课时）
第一课时：
一．学习目标
1．理解对数的定义: 这一符号的含义，字母的取值范围；
2. 理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想；
3．根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式（教材P96），培养学生归纳猜想的能力；
4．理解常用对数的概念；
5．能够通过对数的概念求出比较简单的对数式的值.
6．信息技术整合：使用科学计算器，求对数
二．重点难点
本节的重点是给出对数的定义，以及指数式与对数式之间的互相转化，求对数式的值；教学难点是对对数符号的正确理解；
三．教学内容安排
1．复习
(), 叫做底数，叫做指数，N叫做幂值；
(1) N的取值范围；
(2) 指数的性质；
2．新课引入
由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第次后，细胞的个数；
如果知道细胞分裂若干次后的个数为，如何求出分裂次数；这就是已知底数和幂，要求指数的问题；
3．对数的定义
由此引出对数的定义：一般地，对于指数式，我们把“以为底N的对数”记作，即
例：，则；
让学生从以下几个方面去理解对数的定义：
(1) 对数式书写的格式，体会与的区别；
(2) 对“”的理解：就像我们在初中阶段引入“，sin”等数学符号一样，是一个新的数学运算符号；
(3) 回想：的数学含义：①表示一个非负实数；②它的平方等于5；
这一数学符号的含义：①表示一个实数；② 2的这个实数次幂的值恰好为3.
这一新的数学符号的含义：①它表示一个实数，②的这个实数次幂的值恰好为N；
(4)式子中，的名称；
(5)实质上，对数表达式是指数式的另一种表达形式；
教材中从细胞分裂的实际出发，提出了知道底数和幂值如何怎样表示指数的问题，引出了对数的概念，同时也揭示了对数式和指数式的关系；
4．指数式和对数式的互相转化
对数式与指数式的关系及相应名称列表如下：
式子 名称
N
指数式 底数 指数 幂值
对数式 底数 对数 真数
通过对数式与指数式的互相转化，使得学生更加深刻理解N＝，为了更好的应用对数及其验证对数的性质奠定了基础；
指数式转化为对数式参考练习：
=12
对数式转化为指数式参考练习：
通过指数式和对数式的相互转化，揭示了“辩证统一，相互转化”的哲学思想.为对数运算性质和对数函数与指数运算性质与指数函数作类比奠定了基础；
5．通过对数的定义求对数
以为例，若设＝，则能转化成怎样的指数式，让学生充分理解的数学含义，进而达到会求对数的目的；例题应为对数的性质奠定基础；
例1：求，，
6．对数的3条性质和对数恒等式
(1)通过前面对指数性质的复习，以及前面求对数值的实际练习，让同学探究对数的性质；
思考问题：根据中N的取值范围，当指数式转化为对数式后，你认为关于真数N应满足什么要求？
参考练习：；；
根据以上练习，你能得到怎样的结论？
参考练习：；；
根据以上练习，你能得到怎样的结论？
(2) 通过例题（例如）让学生总结出对数恒等式，并且通过指数式和对数式的转换给予证明.
参考练习：=____________；=____________--
根据以上练习，你能得到怎样的结论？
7．常用对数的定义，及其简单的常用对数求值
(1) 根据常用对数的定义，让学生探讨数学符号“”的具体数学含义；
(2) 通过指数式和对数式的互相转化，去求一些数的对数值；例如等；
例2：求的值
好班的学生可以让其总结出或其他更加深刻的结论；也可以讨论的取值要求.
8．利用科学计算器求对数
问题：怎样求，我们可以借助计算器；
例3：利用科学计算器对数（精确到0.0001）
lg2008, lg0.0618, lg0.0045, lg396.5
9. 对数的发明
建议让学生在网上和图书馆查阅关于对数发面的一些资料；了解对数的发展历史.
四．教学资源建议
教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；
五．教学方法与学习指导策略建议
也可以在介绍常用对数的基础上，介绍一下自然对数；
第二课时
一． 学习目标
1、理解对数的运算性质.
2、通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识.
3．通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系、相互转化以及“特殊——一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神.
2． 重点难点
本节的重点是对数的运算性质的推导过程及其应用；难点为积、商、幂的对数的发现过程及其证明.
三．教学内容安排
1．复习对数的定义，对数恒等式和对数的性质.
2．让学生计算0或用计算器计算等例子，引导学生观察和归纳对数运算的性质.引导学生经历从特殊到一般的归纳过程，有利于增强学生的直观感受，激发学生学习兴趣，也符合认知习惯.使用计算器也是现在信息技术的要求，所以可以在此鼓励学生使用计算器探索数学规律.
参考练习
(1)__________, =________, =________
(2) =________, =________, =________,
(3) __________,__________, __________
(4) lg10=_________, lg100=___________,1g1000=_____________
通过以上练习，你能总结出怎样的结论，若学生不能总结出运算性质2，可以提醒学生的从不同角度看待问题，这样看是加法，从另外一个角度看就是减法，当然也应该有等
3．对数运算性质的推导
先引导学生猜想对数的运算性质，接下来提出证明.由于，设，于是.由对数的定义得到.这样，我们就得到对数的一个运算性质：.从指数运算来推导对数运算的性质，体现了化归的数学思想.
新教材在此将这个性质推广到若干个正因数的积的情况，而旧教材没有推广的内容.
同样地，可以推导对数的另外两条运算性质.教材没有给出证明，教参上是利用刚推出的对数运算性质来证明.
4．总结板书对数的三条运算性质：
其中：a＞0，a≠1，M＞0，N＞0.
以上三个性质可归纳为：（1）积的对数等于各因式对数的和；（2）商的对数等于被除数的对数减除数的对数；（3）幂的对数等于指数乘以底数的对数.
5．举例帮助学生掌握对数的运算性质.
例1：用表示下列各式：
（1）； （2）．
例2 求下列各式的值：
（1）； （2）
与旧教材相比，新教材增加了例题量和难度（如p99例5（3）（4））.在习题B中，第2题已知lg2求lg5的题目，第3题是配方，开方，对数估值的综合题.这样的安排可以满足优秀学生的学习需要.
最后是归纳小结和作业.
四．教学资源
教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；
五．教学方法与学习指导策略建议
可以采用讲授与学生探究相接合，帮助学生理解对数与指数的关系，提升学生的学习兴趣。
第三课时
一．学习目标
1. 利用换底公式统一对数底数，即“化异为同”是解决有关对数问题的基本思想方法；
2. 理解数学符号的含义；
3. 常用对数和自然对数的关系；
二．重点难点
本节课的重点是换底公式的证明和应用；难点是领悟换底公式的基本作用；熟练掌握换底公式正逆两方面的应用；
三．教学内容安排
1． 复习
(1) 对数的性质：
(2) 对数的运算性质
2． 新课引入
问题的提出：已知，求；（不通过计算器）
先从特殊的例子开始研究，例如，与之间的关系；请学生猜想可以化简成什么.得到猜想＝.
3． 换底公式的证明
(1)连续设问，学生进行思考？
如何证明这个猜想？
关于对数的运算公式都是利用怎样的思想方法？
利用指数式和对数式之间的互相转化，辨正统一的思想是否可以证明这个公式呢？如何实现这个证明？
是否存在其他的证明方法？
(2) 研究换底公式中的取值范围；
通过一连串引导性的问题，让学生体验不同的数学问题，隐含着同一的数学思想方法.
4． 自然对数的定义，及其自然对数与常用对数之间的关系
(1) “”近似值；
(2) 自然对数的数学含义；
(3) 研究与之间的关系
5． 换底公式的应用
利用换底公式求对数的值，以及利用换底公式来证明一些恒等式；
探讨换底公式的作用：体现对数运算中一种常用的转化，即将较复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，是数学转化思想的具体应用；
6． 对数的功绩
让学生在互联网上或图书馆查阅资料，在对数的发展历史过程中，对自然科学起到了怎样的推动作用.
四．教学资源建议
教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；
五．教学方法与学习指导策略建议
建议去证明和，这两个是对数运算中经常遇到的两个常见的公式，为基础数学比较好的同学奠定基础.
§3.2.2 对数函数（第一课时）
1． 学习目标
1． 理解对数函数的概念、能正确描绘对数函数的图象，掌握对数函数的性质.
2． 在对数函数性质的学习中，渗透运用定义、数形结合、分类讨论等数学思想，促进学生的数学思想的升华.
3． 从数和形的角度帮助学生认识对数函数，最终达到数形的和谐统一.
2． 重点难点
理解对数函数的定义，掌握对数函数的图形和性质.
3． 教学内容安排
1． 引导学生复习指数，对数的定义和运算法则.
2． 从对数式的形式出发，给出对数函数的概念.
函数叫做对数函数，由对数概念可知，对数函数的定义域是（0，+∞），值域是R.
新教材在定义了对数运算之后，从对数运算和对数式出发，直接定义对数函数.老教材先引入“细胞分裂”的实例，列出指数式，再根据对数的定义写成对数式，从而引出对数函数的概念.有了对数运算就可以定义一个相应的函数，所以新教材不再从指数式出发，而直接从对数式出发的定义方式，显得简洁而顺理成章.
3． 接下来，教师让学生画出及的图象，从图象观察对数函数的性质.
新教材用描点法，列表的数据是根据指数函数表互换变量得到的，渗透了对数函数与指数函数的关系.老教材用到了对数函数与指数函数互为反函数，根据它们图象关于y=x对称作出.新教材在随后的一小节“指数函数与对数函数的关系”中，才引入“反函数”的概念.
对数函数在其底数及这两种情况的图象和性质如下表所示
a>1 0图 象
性 质 ⑴定义域：（0，+∞）
⑵值域：R
⑶过点（1，0），即当x=1时,y=0.
⑷在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数
4． 对数函数性质的应用
例1． 求下列函数的定义域：
（1）；（2）
例2． 比较下列各组数中两个值的大小：
（1）；（2）已知 ，求m的取值范围.
在例题和习题的选取上，关于用对数函数单调性比较大小上，新教材均是同底对数，老教材有不同底借助中间量比较的，可见新教材在此内容上降低了难度.
最后是归纳小结和作业.
4． 教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；
五．教学方法与学习指导策略建议
教学过程中，贯穿数形结合的思想，类比的思想
§3.2.3 对数函数与指数函数的关系（第一课时）
一．学习目标
1．掌握指数函数和对数函数的关系；
2．理解函数的概念；
3．掌握互为反函数图象的关系；
4．会求指数函数和对数函数的反函数.
5．通过观察函数图象，理解指数增长和对数增长；
二．重点难点
本节课的重点是反函数的概念及互为反函数图象的关系，难点是反函数的概念；
三．教学内容安排
1. 复习
(1) 一一映射
(2)指数式和对数式的互相转化；
(3)利用描点法画出函数与(都是一一映射)的图象；（七点描点）
2. 新课引入
由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量和因变量对调位置而得出的；它们之间是怎样的关系？
提出问题：函数的定义域为A，值域为C，对调的位置，得到，则此时可以写成的函数吗？即是否存在一个函数，满足；
学生讨论，举出反例；
那么当函数满足什么条件时，对调的位置，得到，则此时可以写成的函数了呢？
学生讨论：函数是数集A到数集C的一一映射；
3．反函数的概念
当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.函数的反函数通常用表示.
旧教材反函数的定义：一般地，式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的定义域为A，值域为C. 我们从式子y=f(x)中解出x，得到式子x=φ(y).如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在Ａ中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y) 就表示x是自变量y的函数.这样的函数x=φ(y) 叫做函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y), 即
x=φ(y)=f -1(y)
在函数式x=f -1(y)中，y表示自变量，x表示函数.但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此，我们常常对调x=f -1(y)中的字母x,y，把它改写成y=f -1(x).
新教材和旧教材关于反函数的定义的本质是一致的：都是一一映射的逆映射；
旧版本教材由于没有一一映射的概念，叙述比较复杂，而且还容易引起x=φ(y)(是自变量)与y=f(x)是同一个函数的错误结论；
4． 对数函数和指数函数的关系
提出问题：对数函数是把指数函数中的自变量和因变量对调位置而得出的；它们之间是怎样的关系？它们的图象又是怎样的关系？你能总结出怎样的一般性结论？
对数函数与指数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称；
5． 反函数性质
依然以对数函数和指数函数为例，继续探究反函数的性质：
由学生讨论得出：①如果函数有反函数，那么的反函数为；② 反函数的定义域为原函数的值域，反函数的值域为原函数的定义域；
等等；（例如单调性也可以得到一些结论）
6．求反函数
根据例题，得到求出反函数的具体步骤：①用含的代数式表示；②交换的位置；③求出原函数的值域作为反函数的定义域.
7．指数增长和对数增长
通过对数函数和指数函数的图象在区间上的观察，体会指数增长与对数增长的增长速度；
四．教学资源建议
教材、教参，与教材相关的课件，信息技术手段等；
五．教学方法与学习指导策略建议
1. 求反函数只要求原函数是指数函数和对数函数；而且不在定义域上作文章；
2．关于反函数存在的条件，可以教师讲授；而不是学生讨论；
3．原函数与反函数的图象关于直线对称，只是通过图象观察得到即可.
§3.3幂函数
第一课时
一．学习目标
1．通过实例，了解幂函数的概念、图象和性质.会求幂函数的定义域，会应用幂函数的图象与性质比较数或代数式的大小.
2．通过幂函数图象的学习，加深学生对幂函数性质的理解，使学生体会通过观察、分析函数图象来研究函数性质的方法.
3．通过引导学生主动参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，增强学生对数学图形美的认识，并在研究函数变化的过程中渗透辨证唯物主义的观点.
二．重点难点
本节的教学重点是幂函数的概念、图象和性质，难点是将函数图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质.
三．教学内容安排
1．从学生已经掌握的最简单的函数，，出发引入幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如，等都不是幂函数.
2．引导学生作出五个具体的幂函数，，，，的图象：先列出对应值表，再用描点法画图.列出对应值表是描点法画图的关键，列表之后要引导学生耐心地，力求准确地画出图象，教师可以先用实物投影仪有选择地展示学生的作品，然后再用计算机展示各个函数的图象.
3．先引导学生通过观察上述五个幂函数的图象，归纳、概括出幂函数在第一象限的性质，再引导学生探索“思考与讨论”中的三个问题，即当为正偶数、为正奇数时幂函数的主要性质，以及当与时图象的区别.要培养学生的看图、析图能力，培养学生的归纳、概括能力，要让学生自主探索，主动学习.
4．处理课本例题
（1）.对例1的分析：
①要比较的两个代数式有什么相同点和不同点？答：都是幂的形式，且指数相同，但底数不同.
因此我们想通过构造一个幂函数来解决这个问题.
②构造一个什么样的幂函数？
③要比较的两个代数式与所构造的幂函数有何关系？
④利用幂函数在上的单调性可以比较两个代数式值的大小.
（2）对例2的分析：
①在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论.
②对于幂函数的研究，首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此可以确定图象的位置，即所在的象限.
③只需弄清楚幂函数在第一象限的图象，再借助于奇偶函数的图象性质，即可画出整个函数的图象.
5．让学生回忆本节收获，然后师生共同完成本节小结，巩固本节学习成果，使学生逐步养成爱总结、善总结、会总结的习惯和能力.
四．教学资源建议
建议参考《教师教学用书》中的案例4《3.3 幂函数》，以及配套光盘1课件集锦中课件1304和1305.
五．教学方法与学习指导策略建议
建议采用师生互动的方式，由学生自我探索、自我分析，合作学习，充分发挥学生的积极性与主动性.利用实物投影仪及计算机辅助教学.
§3.4 函数的应用（Ⅱ） （第二课时）
一、 学习目标
1．能够找出简单实际问题中的函数关系式，应用指数函数、对数函数模型解决实际问题，并初步掌握数学建模的一般步骤和方法.
2．通过具体实例，让学生感受运用函数建立模型的过程和方法，体会指数函数、对数函数模型在数学和其他学科中的应用.
3．通过函数应用的学习，体会数学应用的广泛性，树立事物间相互联系的辩证观，培养分析问题、解决问题的能力，增强数学的应用意识.
二、重点难点
本节的教学重点是理解函数应用模型，难点是数学建模的建立.
三、教学内容安排
本节主要以例题的形式，介绍如何建立函数关系式，即数学模型，其中包括了社会学、经济学和核物理学等学科的应用例题.
1．引导学生复习回顾本章前面所学的内容：函数的概念；指数函数概念及其性质；对数函数概念及其性质.
2．介绍一下数学建模的有关知识.简单地说，数学建模就是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，再利用数学知识来分析问题，解决问题.
3．处理课本例题.
例1是人口增长率问题，例2是储蓄中的复利问题，例3是放射性元素衰减问题，都是指数型函数模型的应用.解答这类函数应用题的关键是建立函数模型，要根据题意，分清有关数量间的关系，确定变量和常量，进而列出函数表达式，还要注意函数的定义域.
本节例1中直接给出了具体数值，只要求学生能找出等量关系列方程求解即可，难度较低，可以让学生自主学习.
本节例2在例1的基础上增加了难度，用字母代替了具体数值，要求学生先列出函数表达式再进行计算，可以作为本节重点例题进行分析.教师应引导学生从特殊到一般，逐步探索该实际问题中隐含的函数关系，寻找解题方法和途径，最后归纳总结出解决此类问题的一般步骤.
1 审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系；
2 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3 求模：求解数学模型，得到数学结论；
4 还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的结论.
本节例3涉及到物理方面的知识，有的学生较为生疏，在教学过程中可适当予以复习和补充，以便排除教学中的障碍.在处理上，可以让学生模仿例2的方法和步骤，作为课堂练习.
4、 教学资源建议
本节的例题和习题都涉及到数字计算问题，应注意鼓励学生运用现代化技术学习、探索和解决问题.例如，利用计算器、计算机画出所给函数的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等.还可以参考《教师教学用书》中的拓展资源---生活中的数学.
5、 教学方法与学习指导策略建议
函数的应用是学习函数的主要目的之一，本模块安排了两次函数应用的学习，第一次是学习一次和二次函数模型的应用，第二次是学习指数、对数函数模型的应用.教材这样处理既符合学生的认知规律，又体现了螺旋式上升的设计理念.
在教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用.
§实习作业 （第一课时 ）
为了让学生体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对数学创新原动力的认识，接受优秀数学文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识、应用意识，本章在最后安排了“实习作业”.
具体实施建议：
1．实习作业的难点是提出实际问题，实际问题一定要到实际生产、生活中去观察、搜集、整理和提炼，切忌从书本上摘抄和虚拟.
2．实习作业是一个实践性课题，是研究性学习的一种形式，是培养学生综合实践能力和创新精神的课堂，师生都应该给予足够的重视.通过实习作业还可以进一步培养学生的协作精神和组织能力.教师要积极引导，积极参与，防止包办代替和流于形式.
3．实习作业的实习报告是记录和总结实习作业的结果，要认真填写，并注意就实际问题进行深入探究和研究.
清华附中 郭玉珊
清华附中 范永春
清华附中 张小英
清华附中 周俊
清华附中 程琳
北京师范大学第三附属中学 张志刚
北京师范大学第三附属中学 曹光升
北京师范大学第三附属中学 靳建颖
北京师范大学第三附属中学 史树明
x
1
0
y
1
0
y
x
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27“待定系数法”教学设计
一、学习目标
（1）引导学生分析所求解的数学问题，会判断那些问题要用待定系数法.理解待定系数法的基本思想与步骤；能够根据所给的条件设出某些未定系数，正确列出含有未定系数的等式．
（2）通过对实例的探究，使学生对数学的严密的逻辑性有进一步的认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析解决问题的能力
（3）通过师生、生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的喜悦，培养学生热爱数学的态度，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心
2、 重点与难点
重点：根据已知条件设未知函数列方程（组）
难点：解方程，确定待定系数，确定变量间的函数关系
3、 教学内容安排
1、复习旧知识：
一次函数与二次函数的解析式与性质．
2、新课导入：
已知一个正比例函数的图象通过点，求这个函数的解析式：
可以由学生展示出计算的结果。
教师总结：得出待定系数法的定义，引出新课
3、例题讲解：
例1、已知一个二次函数求这个函数的解析式。(写出相应的计算步骤)
练习：P62 2、5（学生做，教师巡视，并展示学生的结果）
教师引导，学生得出结论：未知量与方程的关系（即几个未知量就要用几个方程来解）待定系数法就是解方程组的问题
例2、已知是一次函数，且有求这个函数的解析式。（可以让学生说，教师写的方式）
练习：P62 4（学生在黑板上写出步骤，别的学生下面再加以验证）
让学生学会怎样利用题目中的已知条件，列出方程；并学会如何分析题目中的已知条件。
4、提高练习：
已知是常数，且，方程有等根，求解析式（可以让学生讨论，慢慢领会对已知条件的分析）
5、探索与研究：
二次函数的解析式有几种情况？在不同情况下，要确定一个具体的二次函数的解析式，应如何给出已知条件？
（如果学生课上回答不出来的话，这个可以留着课后思考，也可以让学生回家查阅相关的数学资料）。
如果时间允许，可以做B组中的练习
6、归纳小结：
教师总结待定系数法的解题步骤，让学生并领会、回顾本节所学的知识与方法，以逐步提高学生分析问题、解决问题的能力。
7、作业：
教材P62练习3、4. 教材P63习题2.2 A组 6
四、教学资源建议
电子版教材，教学案例，相应课件等.
5、 教学方法与学习指导策略建
1.教学目标的落实：
新的高中数学课程标准强调了课堂教学要以学生的发展为本，如何在课堂教学中根据学生的心理特点、不同水平的学生提供其感兴趣的教学材料，创设有趣且适合学生学习的教学情景，激励学生主动学习和探索，在交流和亲自参与中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．从实例引入能充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．引入中的实例是为引入待定系数法做准备，也说明待定系数法在解决一些数学问题中的必要性和重要性．整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，学生更容易接受知识；另外应以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，这样有利于学生对知识的掌握，并强化对待定系数法基本思想与步骤的理解；这样可以使学生在讨论、合作中解决问题，充分体验成功的愉悦．在教学过程中教师可以鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习
2.学生的能力、价值观培养：
数学教学不仅要重视数学知识的传授和技能的形成，更重要的是在教学过程中应以“问题”为主线，不断地创设问题情境，培养学生的探究意识．这样有利于培养学生学习数学的情感，增强学生学习数学的自信心，提高解决问题的能力．而且本节课中学生体验了一个由待定系数法的研究学习上升到对数学通性通法的学习与研究的过程．在教学过程中注重学习方法，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学，体现了“方法比知识更重要”这一新的教学价值观，在此过程中教师可以引导学生充分认识到算法思想的重要性，并提高学生数学的应用意识和探究能力．
3.重视“以学生为本”：
　　《标准》指出：“数学教学是数学活动的教学，是师生之间，学生之间交往互动与共同发展的过程．”根据优化课堂教学的需要对教材进行适当的加工处理，根据教学要求，从学生的实际出发，创设学生熟悉的教学情境，设计富有情趣的教学活动，鼓励每个学生动口、动脑，积极参与数学的学习过程．在整个教学过程中，教师注意发挥学生的主体性，给学生留下充分的时间与空间．在课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点想法，还学会了相互接纳、赞赏与互助，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思．通过学生间的多向交流，可以使他们从多角度看到问题解决的途径．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳课 题：3．2．2对数函数
（一）学习目标
1 知识与技能：通过具体实例，直观了解对数函数模型的背景所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念；
2 过程与方法: 能借助计算机或计算器画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的单调性与特殊点
3 情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识.
（二）重点难点
重点：对数函数的图像和性质
难点：对数函数的图象性质与底数的关系
（三）教学内容安排
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1、指对数互化关系：
2、 的图象和性质。
a>1 0图象
性质 (1)定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
3、提问：
在指数函数中，对于实数集R内的每一个值x，在正实数集内内都有唯一确定的y值和它对应；反之，对于正实数集内每一个确定的y值，在实数集R内都有唯一确定的x的值和它对应.将指数函数化成对数形式是什么
由得．
进一步分析:又的值域为，
．在这里, 是自变量, 是因变量.习惯上,常用表示自变量, 表示因变量.
二、新授内容：
1．对数函数的定义：
函数叫做对数函数；它有指数函数 转换过来的。
对数函数 的定义域为，值域为。
在此基础上，我们将一起来研究对数函数的图像与性质．
2、对数函数的图像与性质 (板书)
在同一坐标系内作出对数函数和的图像．
教师设问: 由指数函数和对数函数的互化关系,由下表中指数函数的和关系,你能得到对数函数的什么结论
学生独立思考,交流讨论,得出共同特征：只需把上表中的两个指数函数的对应值表里和的数值对调,就可以得到下面的两个表:
x … 1 2 4 8 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
x … 8 4 2 1 …
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
在同一座坐标系内,用描点法画出图像和的图像如图：
教师设问: 由对数函数的列表和函数的图像你能看出对数函数有什么性质
学生独立思考,交流讨论,得出对数函数的性质：
(要求从几何与代数两个角度说明)
(1) 定义域： 值域：
由以上两条可说明图像位于轴的右侧．
(2) 图像都过点(1,0)
(3) 在定义域内：当时，在上是增函数．即图像是上升的
当时，在上是减函数，即图像是下降的．
之后可以追问学生有没有最大值和最小值，当得到否定答案时，可以再问能否看待何时函数值为正 学生看着图可以答出应有两种情况：
当时，有；当时，有．
总结：强调记住性质的关键在于要脑中有图．且应将其性质与指数函数的性质对比记忆．
三、讲解范例：
例1求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）
由学生依次列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制．）
分析：此题主要利用对数函数的定义域（0，+∞）求解。
解：（1）由>0得,∴函数的定义域是；
（2）由得，∴函数的定义域是
（3）由9-得-3，∴函数的定义域是
例2比较下列各组数中两个值的大小：
⑴； ⑵；
⑶
解：⑴考查对数函数，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是
⑵考查对数函数，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上是减函数，于是
小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：
①确定所要考查的对数函数；
②根据对数底数判断对数函数增减性；
③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小
⑶当时，在（0，+∞）上是增函数，于是
当时，在（0，+∞）上是减函数，于是
小结2：分类讨论的思想
对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1。而已知条件并未指明，因此需要对底数进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握。
例3比较下列各组中两个值的大小：
⑴； ⑵
分析：由于两个对数值不同底，故不能直接比较大小，可在两对数值中间插入一个已知数，间接比较两对数的大小。
解：⑴，，
⑵，，；
小结3：引入中间变量比较大小
例3仍是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的大小。
例4 求下列函数的定义域、值域：
⑴ ⑵
⑶ ⑷
解：⑴要使函数有意义，则须：
即：
∵ ∴ 从而
∴ ∴ ∴
∴定义域为[-1,1]，值域为
⑵∵对一切实数都恒成立
∴函数定义域为R
从而 即函数值域为
⑶要使函数有意义，则须：
由 ∴在此区间内
∴
从而 即：值域为
∴定义域为[-1,5]，值域为
⑷要使函数有意义，则须：
由①：
由②：∵时 则须 ，
综合①②得
当时 ∴
∴ ∴
∴定义域为(-1,0)，值域为
巩固练习：课本第104页 练习A；
四、小结
引导学生回顾本节课所学习的知识及数学思想方法：
⑴对数函数的定义;
⑵对数函数的图象和性质;
⑶比较对数大小的方法，求函数定义域、值域的方法。
⑷分类讨论的思想方法,数形结合思想;
⑸学会 “数学地”思考现实生活中的各种问题.
五、作业：课本第104页 习题B
课本第106页 习题3-2 A 4 6
八、课后记：
（四）教学资源建议
（五）教学方法与学习指导策略建
教学方法：采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体，调动学生参与教学的积极性。集合教学设计
唐建 孙长娟 吴朝晖 王律斯 张萍 高晓玲 孙延飞 宋小妹 门秋佳 关闳
数学科学之所以被广泛应用．一个重要的原因是数学能运用数学语言将客观事物的数量关系和数学结构表示出来．符号化、形式化是数学的一个显著特点．学习数学的任务之一，就是学习用形式化语言去表述、解释、解决各种问题．
一、教学内容
本章的主要内容是集合的概念、表示方法和集合之间的关系与运算。本章共分两大节。
第一大节，是集合与集合的表示方法。本节首先通过实例，引入集合与集合的元素的概念，接着给出了空集的含义。然后，学习了集合的两种表示方法（列举法和特征性质描述法）。
第二大节，是集合之间的关系与运算。本节首先从观察集合与集合之间元素的关系开始，给出子集、真子集以及集合相等的概念，同时学习了用维恩（Venn）图表示集合。接着，学习了交集、并集以及全集、补集的初步知识。
本章的最后安排了一篇介绍数学文化的阅读材料“聪明在于学习，天才由于积累――自学成才的华罗庚”。安排这篇阅读材料的主要目的是，培养学生的爱国主义和刻苦学习、勤奋钻研的精神。
二、地位及作用
集合语言是现代数学的基本语言。通过集合语言的学习，有利于学生简明准确地表达学习的数学内容。集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。
三、教学目标
本章是将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力．了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．掌握某些数集的专用符号．
1．理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.
3．能在具体情境中，了解全集与空集的含义．
4．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．培养学生从具体到抽象的思维能力．
5．理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
6．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．
四、教学内容及课时安排建议
本章教学时间约5课时．
§1.1.1 集合的概念 （约1课时）
§1.1.2集合的表示方法 （约1课时）
§1.2.1集合之间的关系 （约1课时）
§1.2.2集合的运算 （约1课时）
集合复习课 （约1课时）
五、教学重点及难点
本章的重点是集合的特征性质描述法及集合间的相互关系。只有掌握了集合的特征性质描述方法及集合间的相互关系，才有可能使学生简洁准确地表述数学对象和结构，更好地使用数学语言进行交流，进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的能力。
本章的难点是用集合的特征性质描述法描述集合和补集的逻辑含义。学生从本章正式开始学习集合知识，集合包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能给学生的学习带来一定的困难。
六、教学资源建议
课本与教参；与教材相关的课件；与内容有关的数学发展史；信息技术手段。
七、教学方法与学习指导建议
教师指导与学生合作交流相结合，通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素与集合，集合与集合的关系及运算，从而熟练使用集合语言来表述数学对象。
八、评价建议
　　1．重视对学生数学学习过程的评价
关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题充满兴趣；在学习过程中，能否体会集合语言准确、简洁的特征；是否能积极、主动地发展自己运用数学语言进行交流的能力。
　　2．正确评价学生的数学基础知识和基本技能
关注学生在本章及今后学习中，能否正确理解以及恰当运用集合语言。包括：正确掌握有关的术语和符号；使用集合语言表述数学问题；运用集合的观点研究、处理数学问题；针对不同的具体问题时，是否恰当地选择自然语言、图形语言、集合语言进行描述。
教学案例
1.1.1集合的概念
教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法
（2）使学生初步了解“属于”关系的意义
（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念
教学方法：教师指导与学生合作、交流相结合的教学方法.
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体. 学生思考、交流 设疑激趣，导入课题
讲授新课 阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？ （4）如何给集合分类 :1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来写.3、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 5、常用数集及其表示方法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+（3）整数集：全体整数的集合.记作Z（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q（5）实数集：全体实数的集合.记作R注：（1）自然数集包括数0. （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z* 教师提问，学生讨论交流，得出集合概念的要点，并弄清元素与集合之间的从属关系. 通过实例，引导学生经历并体会集合概念形成过程.
应用举例 例1 下列各组对象能否构成一个集合：著名的数学家某校高一（2）班所有高个子的同学不超过10的非负数方程在实数范围内的解的近似值的全体例2 选择填空;（1）给出下面四个关系:R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:( )个A．4 B．3 C．2 D．1（2）下面有四个命题:①若-aΝ,则aΝ ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2③集合N中最小元素是1 ④ x2+4=4x的解集可表示为{2,2}.其中正确命题的个数是( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 学生思考、交流，并得出结论. 通过练习进一步理解集合有关概念、性质.
课堂练习 1、教材P4练习A B.2、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 学生独立完成 巩固概念
归纳总结 本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性3．常用数集的定义及记法 师生共同总结、交流、完善 让学生进一步体会知识的形成、发展、完善过程.
作业 P9习题1-1B第3题
1.1.2集合的表示方法
教学目标：（1）掌握集合的表示方法.
（2）能选择自然语言、集合语言描述不同的问题.
教学重点、难点：用列举法、描述法表示一个集合.
教学方法：采用实例归纳、自主探究、合作交流等方法.教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索一些常见集合的特征性质.
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 1．回忆集合的概念2．集合中元素有那些性质？3．空集、有限集和无限集的概念 教师提问，学生回答 通过复习回顾，为引入集合表示方法作铺垫.
概念形成及深化 集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.例如，24所有正约数构成的集合可以表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}注：（1）大括号不能缺失.(2)有些集合种元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100}自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}（3）区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.a表示这个集合的一个元素.（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.2、特征性质描述法：在集合I中，属于集合A的任意元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以表示如下：{x∈I| p(x) } 例如，不等式的解集可以表示为：或，所有直角三角形的集合可以表示为：注：（1）在不致混淆的情况下，也可以写成：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）注意区别：实数集，{实数集}. 教师给出概念，学生讨论. 加深学生对列举法、特征性质描述法的理解
应用举例 例1 用列举法表示下列集合：小于5的正奇数组成的集合；能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；从51到100的所有整数的集合；小于10的所有自然数组成的集合；方程的所有实数根组成的集合；(6)由1~20以内的所有质数组成的集合.例2 用描述法表示下列集合：由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;到定点距离等于定长的点的集合;抛物线y=x2上的点;(4)抛物线y=x2上点的横坐标; (5)抛物线y=x2上点的纵坐标; 学生独立思考、讨论、交流后，展示结论，教师给予积极评价. 巩固所学知识，家生学生对列举法及特征性质描述法的理解和掌握.
课堂练习 1. {(x,y) ∣x+y=6，x、y∈N}用列举法表示为 .2.用列举法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集 (1){x∣x为不大于20的质数}; (2){100以下的,9与12的公倍数}; (3){(x,y) ∣x+y=5,xy=6};3.用描述法表示下列集合,并说明是有限集还是无限集 (1){3,5,7,9}; (2){偶数}; (3){(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),…4．教材第7页练习A、B5．习题1-1A：1， 学生独立完成. 进一步巩固所学知识.
归纳总结 1、本节课学习了集合的表示方法（列举法、描述法）2、通过回顾本届的学习过程，请同学体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的. 师生共同完成小结. 梳理知识体系，培养学生的概括归纳能力.
布置作业 P9习题1-1B第1,2题
1.2.1集合间的关系
教学目标：
1、知识与技能
（1） 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集
（2） 能使用维恩图表达集合间的关系
2、过程与方法
（1）通过复习元素与集合间的关系，对照实数的相等与不相等的关系，联系元素与集合之间的从属关系，探究集合之间的包含与相等关系
（2）初步经历使用最基本的集合语言表示相关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数学语言进行交流的能力
3、情感态度与价值观：探索直观图示对理解抽象概念的作用，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义
教学重、难点：
重点：子集、真子集的概念和性质
难点：元素与子集、属于与包含间的区别
教学方法：讲、议结合法
教学过程与操作设计：
环节 教学内容设计 师生双边互动 设计意图
创设情境 引例：（1） 教师引导学生思考引例，分组讨论然后回答问题，从而归纳出子集的定义 引导学生观察，分析，归纳出子集定义，对子集加深理解
概念形成 子集的概念：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作或.若集合P中存在元素不是集合Q的元素，那么P不包含于Q，或Q不包含P.记作 思考：1、如何用符号语言表示集合间的关系？ 2、与是同一含义吗？ 引导学生归纳出子集的性质：（1）
概念深化 思考：比较引例中各组两个集合有什么异同？真子集：若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集. 或.集合相等：若集合A中的元素与集合B中的元素完全相同则称集合A等于集合B,记作A=B.2、3、集合的维恩（Venn）图表示我们常用平面内的封闭曲线的内部表示集合，这个区域叫做维恩图（1）A （2） （3）A=B用维恩图可以直观地看出两个集合的包含关系练习：1、教材14页4，3让学生用维恩图表示N+，N，Z，Q，R之间的关系4、空集是任何非空集合的真子集5、传递性：若，，则 教师要求学生思考问题，并分组讨论、交流得出结论：学生解答并做出练习，教师要求学生能够用韦恩图将包含关系正确表达出来。 引导学生进一步分析“子集”概念，从中得出真子集与相等两个概念。通过应用引导学生体会韦恩图对理解子集、真子集、相等等概念的作用
应用举例 教材第12页例1、例2补充例子：例3、设集合A={0,1},集合B={x|x},则A与B的关系如何 答案：例4注意：要讨论集合A为空集的情形 通过应用进一步理解和巩固集合的子集、真子集等概念，逐步学习运用集合语言
课堂练习 满足的集合A是什么？答案：已知集合A=且,求实数m的取值范围 （m<2或m>4）设，，若求x,y 答案：x=1且y1或y=1且x1 [问题]你会判断集合间的关系了，那你能找出给定集合的子集与元素个数的关系吗？提醒学生注意：在初中曾利用数轴表示过不等式，在此可以用来表示集合间的关系
归纳小结 子集、真子集，集合相等的概念，如何判断？集合之间的包含关系等概念是怎样形成的？ 师生共同总结——交流——完善 引导学生学会自己总结，让学生进一步体会知识的形成、发展、完善的过程
布置作业 课后作业： 1， 3新学案P7A组 有学生独立完成 巩固深化
课题：§1.2.2集合的运算
一、教学目标：1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用；
4．认识由具体到抽象的思维过程，并树立相对的观点.
二、教学重点：交集与并集概念、补集的概念、数形结合的运用.
教学难点：理解交集与并集概念、符号之间的区别与联系，补集的有关运算
三、教学方法：发现式教学法
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习回顾 问题1: (1)分别说明A与A=B的意义；(2)说出集合{1,2,3}的子集、真子集个数及表示； 通过复习问题，回忆相关知识.
讲授新课 问题2：观察下面五个图（投影1）,它们与集合A,集合B有什么关系 图1—5图1—5（1）给出了两个集合A、B；图1—5（2）阴影部分是A与B公共部分；图1—5（3）阴影部分是由A、B组成；图1—5（4）集合A是集合B的真子集；图1—5（5）集合B是集合A的真子集； 教师说明：图（2）阴影部分叫集合A与B的交集；图（3）阴影部分叫集合A与B的并集.由此可有： 通过设问引出概念.
概念形成 1. 交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的交集（intersection set），即A与B的公共部分，记作A∩B（读作“A交B”），即A∩B={x|x∈A且x∈B}.如上述图（2）中的阴影部分.说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合.2．并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集(union set)，即A与B的所有部分，记作A∪B（读作“A并B”），即A∪B={x|x∈A或x∈B}.如上述图（3）中的阴影部分.说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）.3．全集如果一个集合含有我们所要研究问题中所涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集（uniwerse set），记作U.如：解决某些数学问题时，就可以把实数集看作全集U，那么有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合.4.补集(余集)一般地，设U是一个集合，A是U的一个子集（即A S），由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U中集合A的补集（或余集），记作CUA，即CUA={x|x∈U，且x A}图1—5（6）阴影部分即表示A在U中补集CUA. 师生共同完成，教师用多媒体课件演示并说明. 通过直观图形，引导学生理解交集、并集与补集的概念
概念深化 拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集 教师说明：（1）当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集（2）连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示.（3）补集的概念必须要有全集的限制 培养学生思维的深刻性
应用举例 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求AB.解：AB=｛x|x>-2｝｛x|x<3｝=｛x|-2课堂练习 (1)课本P19练习A---3、4 ；练习B---1、2、3.(2)已知集合M{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )；A 3个 B 4个 C 6个 D5个（3）设集合A={-1,1}, B={x|x2-2ax+b=0}, 若B, 且B, 求a, b的值. 学生独立思考并回答 进一步巩固所学知识.
课时小结 1．在并交问题求解过程中，充分利用数轴、文恩图.2．能熟练求解一个给定集合的补集；3．求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法.4．集合基本运算的一些结论：A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩AAA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A（CUA）∪A=U，（CUA）∩A= 若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B 学生回忆本节收获，师生共同完成小结. 梳理知识体系，培养学生的归纳、概括能力.
作业 1．课本P20，习题1.2A组题第4~9题.习题1.2B组题第1~5题2．集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若AB={-2，0，1}，求p、q；3．集合A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且AB ={3，7}，求B
集合单元复习课
一、学习目标：
知识目标：理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系。
能力目标：将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性；帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行表达和交流的能力。教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题，渗透了集合中的分类思想，让学生体会到分类思想在生活中和数学中的广泛运用，培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识。
情感目标：在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度，为树立辨证唯物主义科学的世界观认识世界打下基础；感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义；探索直观图示（Venn图）对理解抽象概念的作用；通过合作学生，培养学生的合作精神。
二、重点难点：
重点：是集合的特征性质描述法及集合间的相互关系。只有掌握了集合的特征性质描述方法及集合间的相互关系，才有可能使学生简洁准确地表述数学对象和结构，更好地使用数学语言进行交流，进而培养学生运用集合的观点研究和处理数学问题的能力。
难点：是用集合的特征性质描述法描述集合和补集的逻辑含义。学生从本章正式开始学习集合知识，集合包含了比较多的新概念，还有相应的新符号，有些概念、符号还容易混淆，这些因素都可能给学生的学习带来一定的困难。有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系。
三、教学方法：讲练结合法。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
作用与地位 集合语言是现代数学的基本语言。通过集合语言的学习，有利于学生简明准确地表达学习的数学内容。集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点。 教师介绍 明确学习意义
知识结构 学生回忆、交流完成结构图 整体把握集合整章的结构
思考与交流 基本知识点：1．集合中的元素属性：（1） （2） （3） （确定性、互异性、无序性）2. 集合的表示法：（1） （2） （3） （列举法、描述法、图示法）3．子集： 数学表达式 4．两个集合相等： 数学表达式 5．空集： 它的性质（1） （2） 6．常用数集符号：N N+ Z Q R 7．集合的运算(填表)运算类型交 集并 集补 集定 义由属于A又属于B的所有元素所组成的集合,叫做A，B的交集。记作AB（读作“A交B”） 由集合A和集合B中的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集。记作：AB（读作“A并B”） 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集。记作韦恩图性 质AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)= Cu (AB)(CuA)(CuB)= Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)= Φ容斥原理有限集A的元素个数记作card(A)。对于两个有限集A，B，有card(A∪B)= card(A)+card(B)- card(A∩B) 8．如果一个集合A有n个元素（CradA=n）,那么它有 个子集， 个非空真子集。注意：（1）元素与集合间的关系用 符号表示；（2）集合与集合间的关系用 符号表示。（3）如何正确使用等符号？（4）集合的特征性质：如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质。认清集合中元素所具有的性质，并能将集合语言等价转换成为熟悉的数学语言，这才是避免错误的根本办法。 利用多媒体提问，通过学生的回忆及生生互动、教师点拨，完成表格， 抓住重点知识点，弄清集合与集合关系及元素与集合的关系。
巩固与提高 1、点击基础（1） 若，则a2006+b2007＝ .(1)（2）若集合M ={-1,1,2} , N ={y|y = x2,x∈M },则M ∩N是( )(B) A. {1，2，4} B. { 1 } C. {1，4} D. Φ （3）已知集合M ={12,a}，集合，M∩P ={ 0 }，若M∪P =S。则集合S的真子集个数是（ ）（D） A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 （4）集合S，M，N，P如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是( ) （D）A. M∩(N∪P) B. M∩CS(N∩P)C. M∪CS(N∩P) D. M∩CS(N∪P) （5）集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y∈{1,2,…9}且P是Q的真子集。把满足上述条件的一对有序整数 (x , y)作为一个点，这样的点的个数是( ) (B) A . 9 B . 14 C . 15 D . 21 让学生独立思考完成点击基础内容，再进行交流，教师给予适当的鼓励 体会集合整章的数学思想方法，提高学生的计算能力
2、典型例题例1 已知全集为R，A=｛y｜y = x2 +2x+2｝，B=｛x｜y = x2 +2x-8｝，求: (1)A∩B；(2)A∪CRB； (3)(CRA)∩(CRB)【解题指导】本题涉及集合的不同表示方法，准确认识集合A，B是解答本题的关键；对(3)也可计算CR(A∪B)。例2 已知集合A =｛x｜x2-x-6＜0}， B =｛x｜0＜x-m＜9｝ (1) 若A∪B=B，求实数m的取值范围；(2) 若A∩B≠，求实数m的取值范围。【解题指导】(1)注意下面的等价关系① A∪B＝B AB ② A∩B＝A AB(2)用“数形结合思想”解题时，要特别注意“端点”的取舍问题。 先由学生独立分析思考，再小组内讨论、交流完成，最后教师利用多媒体展示学生的杰作并给予积极的评价。 提高学生分析、解决问题的能力。
课堂小结 1、知识方面：如何解决与集合的运算有关的问题？①对所给的集合进行尽可能的化简； ②有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； ③有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素。2、数学思想方法：等价转化的数学思想、分类思想、数形结合思想、求补集的思想。 让学生总结本节课的收获。交流—完成。 让学生养成总结的好习惯
课后作业 课后完成“集合单元知识点过关测试” 由学生独立完成，并给予评价。 巩固深化
高一数学（集合）单元知识点过关测试参考答案一、选择题：BDCAD BDB 二、填空题（每小题4分，共24分）9、； 10、14； 11、{0,1,2}； 12、a≥9/8 a=0 ； 13、3； 14、S ={4}，S ={0，8}或{1，7}或{2，6}或{3，5}。三、解答题（共36分）15. （10分） ∵A∩B＝｛－3｝　　∴－3∈B．　　①若a－3＝－3，则a＝0，则A＝｛0，1，－3｝，B＝｛－3，－1，1｝　　∴A∩B＝｛－3，1｝与∩B＝｛－3｝矛盾，所以a－3≠－3．　　②若2a－1＝－3，则a＝－1，则A＝｛1，0，－3｝，B＝｛－4，－3，2｝　　此时A∩B＝｛－3｝符合题意，所以a＝－1．16．（12分）；；；=={2}。17（14分）（1）此时当且仅当，有韦达定理可得和同时成立，即；（2）由于，，故只可能3。此时，也即或，由（1）可得。
A
A(B)
A
B
（5）
(6)
A
B
A B
A(B)
A
B
B
A
B
A
S
A
B
sBb
A
B
A
S
A
PAGE
12.1.1函数的概念（1）
一.教学目标
1.知识目标：（1）会用集合与对应的语言刻画函数；（2）理解函数三要素（3）会求一些简单函数的定义域和值域，并初步掌握换元法的简单应用
2.能力目标：通过对实例的探究，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用 ，使学生对数学的高度抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性有进一步认识，提高抽象概括、分析总结、数学表达交流等基本数学思维能力；培养学生分析问题i、解决问题的能力。
3.情感目标：通过师生、生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高数学学习的兴趣，树立学好数学的信心。
重点是函数概念的理解，难点是对函数符号y=f(x)的理解。
三、教学方法与教学手段
教学方法：学案教学法，通过不同实例的探究，让学生积极参与教学活动
教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课容量，提高效率
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生活动 设计意图
课题引入 回顾、实例引入1）复习初中的常量、变量与函数的概念在一个变化过程中，有两个变量x和y ,如果给定了一个x值,相应地就确定唯一的一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。2）请同学们回顾一下我们在初中学习了哪些函数？（板书）Y=kx;y=kx+b;y=k/x；Y=ax +bx+c；请同学们再次回顾在初中物理及日常生活中见到哪些符合上述的实例？（对应板书）3）问题1：在加油站为汽车加油，油价为每升4.93元，启动加油机开关后表示加油量和金额的两个窗口的数字不停地跳动直到加油量为12升时停止，问金额y元与加油量x升之间的关系式是什么？ 学生回答学生回答学生回答学生回答 通过学生的回顾，再现初中变量观点描述函数的概念，为后面用集合和对应的观点来定义函数奠定基础。通过实例使学生进一步认识生活中充满变量间的依赖关系；激发学生学习数学的兴趣，提高发散思维能力
概念形成 一、请同学们看课本第29页至30页（1）到（4），回答下列问题：你从上述4例了解到哪些信息？（对应、唯一、数集等）自变量与因变量之间有何关系？（法则） T学生独立思考2~3分钟，再讨论、交流、分享。教师关注学生 通过实际问题引出概念，激发学生学习兴趣，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析问题和解决问题的能力。
二、函数的概念设集合A是一个非空的数集，对A内任意数x，按照确定的法则f,都有唯一确定的数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量，自变量的取值范围（数集A）叫做这个函数的定义域。如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)，所有函数值构成的集合｛y∣y=f(x),x∈A｝叫做这个函数的值域。进一步理解函数概念定义域、对应法则、值域三者关系深刻理解f(x)中的f与x的关系3、怎样判断两个函数是否是同一个函数？ 总结出函数关系实质 师生互动抓住函数概念这一重点，举出实例来突破理解对应法则f这一难点。2、突出强调重点，积极调动学生
例题精析 例1：判断下列函数是否是同一函数y=x ,x∈R;s=t ,t∈Ry=x ,x∈R;s=2t ,t∈Ry=x ,x∈Z;s=t ,t∈Rf(x)= x ,x∈R;g(x-2)=(x-2) , x∈R;例2：求下列函数定义域f(x)=2x,f(x)=f(x)=f(x)=(2x-3)例3：求函数f(x)=,x,在x=0、1、2处的函数值和值域例4：1）已知函数 f(x)= x ,求f(x-1)2)已知函数f(x-1)= x ,求f(x) 例1~例3第一问均让学生独立进行然后师生交流分享例3第2问及例4交流后教师讲解板书 培养学生解题能力及学习方法和习惯
请同学们把下面集合用数轴表示出来设a、b∈R,a＜b1、｛x︱a≤x≤b,x∈R｝2、｛x︱a＜x＜b,x∈R3、｛x︱a≤x＜b,x∈R4、｛x︱a＜x≤b,x∈R从而引出闭区间，开区间，半开半闭区间 学生实物投影展示
巩固落实 巩固练习教材33页练习A 第1、3、4、5题练习B第1、2、3 学生实物投影展示分析出现的问题，规范格式 通过练习理解函数，能熟练求定义域
归纳小结 理解函数概念会求函数定义域、值域、对应法则会用区间表示集合 学生总结，教师板书 提高学生的概括能力
作业 1、做在书上的练习A的6、8及B的4、52、提高性练习1）求函数f(x)=的定义域2)若f(x-4)=，求函数f(x)的解析式 分层作业巩固所学知识
五、板书设计
一、回顾引入 二、新课讲解函数概念 三、例题分析 四、小结，作业
Y=kxY=kx+bY=k/xY= ax +bx+c 对应实例
2.1.1函数（二）映射与函数
一、教学目标：
1．知识目标：了解映射的概念；能判定一些简单的对应是不是映射，并用映射概念加深对函数概念的理解.
2．能力目标：通过对实例的探究，让学生了解映射的概念,了解函数与映射的关系,发展学生的抽象概括归纳总结的能力;通过练习发展学生的判断能力,发展与深化学生的数学思维能力.
3．情感目标：通过对实例的探究,让学生感受到数学的无处不在,培养学生热爱数学的态度,通过对映射与函数关系的理解,让学生体会事物的普遍联系,由特殊到一般的认知规律.
二、教学重点、难点：
重点是在映射的基础上理解函数的概念.难点是深化理解函数的概念.
三、教学方法与教学手段
教学方法:通过对实例的探究,让学生积极参与教学活动,使学生对映射有所了解.主要是讨论与发现法,辅以讲授法.
教学手段:充分利用教材,用多媒体补充实例与练习,利用飞镖与镖盘等实物,增强学生学习的兴趣.
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题引入 1．上一节我们学习了函数，它是两个非空数集之间一种对应关系。回忆函数的定义。2．在现实生活和科学研究中，不仅是数集间存在着某种对应关系，很多集合间也存在着某种对应关系。来玩飞镖的游戏。可得到哪两个集合？这两个集合间有什么对应关系？每支飞镖与唯一一个环数相对应。建立了飞镖集合与环数集合的一个对应关系。 学生回答函数定义把镖盘放在教室前面，让一名学生投掷飞镖，共六支，同学们记录每支飞镖所得环数。 温故让学生在活动中提高兴趣，活跃课堂气氛，一下子抓住学生的注意。设置良好的教学情境。让学生自己找到两个集合间的对应关系。
概念形成 下面我们继续看几个例子，翻开课本第34页，例4-例6，请分析分别是哪两个集合，两个集合间有什么对应关系？这些对应关系有什么共同的特性 学生读书，思考，教师巡视，适当地询问学生，特别关注思维较慢的学生。 培养学生带着问题读书，会读书，钻研教材的好习惯。培养学生独立思考,探索发现的能力.培养学生学习数学的自信.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 1.映射的定义:设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射.这时,称y是x在映射f的作用下的象,记作f(x).于是,x称做y的原象.映射f也可记为:f: A→B, x→f(x).其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广),由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域,通常记作f(A). 共同归纳出映射的定义,再读书,学习科学的语言表述. 师生共同归纳,提高学生的归纳总结能力.读书上映射的定义,培养科学的态度,精确的表述.
概念深化 例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：⑴ A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；⑵A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；⑶A={1，2，3，4，5}，B=R，对应法则：“求平方根”；例2, (1)（x，y）在映射f下的象是(x+y,x-y),则(1,2)在f下象是___,(1,2)在f下的原象是_____.(2)已知：f：xy=x2是从集合A=R到B=的一个映射，则B中的元素1在A中的原象是_________注意:1.两个集合A、B,可以是数集,也可以是点集或其它集合.注意这两个集合有先后次序,A到B的映射与B到A的映射是截然不同的.2.:强调象与原象的概念,注意集合A中的任何一个元素都有象,并且象是唯一的;而B中可能有些元素不是集合A中的元素的象. 打出投影,学生做练习,并结合映射概念进行分析,充分让学生去说,教师适时点拨. 做练习说明理由巩固映射概念,会求象,原象由原象求象时培养学生的逆向思维能力
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
归纳小结 映射的定义及有关概念(象,原象,一一映射)三个角度理解函数的概念3. 学会分析问题的方法 学生归纳总结教师点拨 培养学生的概括总结能力
布置作业 书第36页练习A 2,3第37页练习B 3,5第52页习题A 1,2,3 映射作为函数概念的推广,其教学要求不能太高.所以习题不需要加深
教案2。1.1函数的概念（3）
一教学目标
1知识目标：①会用函数定义判断一个对应是否是函数；②会求简单函数的三要素即定义域、值域、对应关系；③初步掌握用换元法由复合函数求原函数求；
2能力目标：提高学生抽象思维能力，培养学生分析问题解决问题的能力；
3情感目标：函数是数学应用的核心，通过学习函数让学生体会学好数学的重要性，从而提高学习数学的兴趣。
二教学重点、难点
①重点是进一步理解函数的定义和两要素；②难点是抽象的函数符号的理解；
三教学方法：通过习题的探究，让学生积极的参与教学活动中，并积极归纳解题方法；
四教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习前两节函数与映射的概念 问题：1什么样的对应是映射？2什么样的映射是函数？3怎样的两个函数才是相等的函数？4如何求一个自然函数的定义域？ 学生积极思考回答教师提出的问题 通过设问激发学生的学习欲望，达到掌握基本概念的目的。
习题讨论 　变式练习　　一、选择题　　1．下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（　　）　　答案：D　　2．在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）　　 A．f（x）＝x－1，g（x）＝　　 B．f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝　　 C．f（x）＝x＋1，x∈R，g（x）＝x＋1，x∈Z　　 D．f（x）＝x，g（x）＝　　解析：只有B选项中函数的定义域与对应法则是相同的．　　答案：B 学生独立完成并且总结知识点和方法 通过图形语言掌握函数的定义掌握函数的二要素
　　3．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）＝1.06×（0.5·［m］＋1）（元）决定，其中m＞0，［m］是大于或等于m的最小整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为（　　）　　 A．3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D．4.77元　　答案：C　　二、填空题　　4．已知f（x）＝＋x＋1，则＝______；f［］＝______．　　答案：3＋　57　　6．已知函数f（x）＝，那么f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝________．　　解析：f（x）＝，＝，f（x）＋＝1．　　∴f（1）＋f（2）＋f（）＋f（3）＋f（）＋f（4）＋f（）＝＋1＋1＋1＝．　　答案： 学生独立完成并且总结知识点和方法 加强对应法则的理解和提高，会求函数值
　　5．求下列函数的定义域．　　（1）；（2）；（3）．　　答案：（1）（－1，1）∪（1，2）；（2）R；（3）（－∞，0）．　　6．求下列函数的值域．　　（1）y＝－＋x＋2；（2）y＝3－2x，x∈［－2，9］；（3）y＝－2x－3，x∈（－1，2］；　　（4）y＝　　答案：（1）（－∞，）；（2）［－15，7］；（3）［－4，0］；（4）（－4，＋∞）． 在研讨过程中教师要不断给予正确域错误的评价 通过求函数的定义域总结归纳求自然函数定义域的类型：1偶次根号下被开方数非负；2分式中分母不为零；3零指数中底数不为零；4有实际意义的函数中，自变量的取值应该有意义。
布置作业 教材P77巩固与提高1－6
2. 1. 2 函数的表示法(1)
一、教学目标
1.知识目标：(1). 能正确认识函数的三种表示法：解析法，列表法，图象法；了解各种方法的优点．(2).掌握作函数图象的方法（列表、描点、连线；用几何画板来会制较为精确的函数图象）(3)初步了解用递归运算给出函数的方法.
2.能力目标：: (1)通过函数三种表示方法的相互转化和对图形的分析，使学生体会数形结合的思想，同时深化理解函数概念.(2)培养学生作图分析图形的能力，解决问题的能力.
3.情感目标：(1)通过本节学习,进一步体会三种表示方法的区别和联系,让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想.（2）通过师生，生生互动的教学活动过程,培养学生主动交流的合作精神，善于探索的思维品质.
二、教学重点、难点
教学重点：函数的三种表示方法，图象的分析
教学难点：图象的认识; 递归式函数的认识.
三、教学方法与手段：师生互动，讲练结合，多媒体辅助教学
四、教学过程
教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设 计 意 图
复习引入 一、引入阅读教材29页函数例1至例4，以上四个问题展现的是函数关系吗？问题1、2的函数关系是怎么给出的问题3呢？问题4呢？ 学生思考回答问题引出函数表示的多种方法 通过教材内容的 回顾引导学生重视研究教材的学法指导，从而提出问题，解决问题，为新知识的学习做好铺垫
概念形成 二、函数的表示方法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法：函数的表示方法⑴解析法优点：一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.⑵列表法优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.⑶图象法：优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质 教师引导学生分析上面问题，得出函数的表示法的概念，学生回答，师生共同完善。引导学生得出各表示法的优点 结合教材39页图2-9教师要用多媒体帮助学生理解教材中，用集合的观点认识函数图象。培养学生归纳总结，分析概括能力
概念深化 三、思考研究：1判断下列图形与表格是否表示函数？阅读教材：（1）教材思考与讨论P39 （2）P34例4中的表格 （3）一个小组共五名成员按学号1----5的次序依次为李小平、高英木、田萍萍、范江、鲁智。他们的一次数学测试的成绩与学号的关系如下表：学号12345成绩10098899598说明：判断一个图形表示函数方法：用平行于Y轴的直线与这个图形相交，若最多只有一个交点，则这个图形表示函数 多媒体展示学生分组讨论教师对有问题的同学适当的点拔学生交流，汇报教师点评引导学生小结 以问题的形式代替教师说明有利于学生对函数的知识的掌握深化理解函数的概念及函数的表示法。
应用举例 例1：作函数的图象解: 略 说明：1、画图方法步骤中，要知道在定义域取值一般是等距取值，要用光滑曲线连线。 2、教师介绍用几何画板画函数图象的方法， 例2已知函数，满足，且，求解：略 小结方法：赋值递推 问：同学能否画出它的图象， 例题由学生自己完成，对出现的问题及时纠正。教师要注意：引导学生形成按“取值、列表、画点、连线”方法作图的程序步骤.学生画的图象用影仪展示交流。学生思考，分组讨论、交流，教师启发学生联想到对式子“”中的对n进赋值，如n=1使等式左边出现我们所求的值，这时等式的右边为，再引导学生结合条件，从而得解。以下学生自己完成。学生画图 让学生自己完成培养学生动手能力，掌握画图技能。指导学生用多媒体软件画图，提高学习数学的兴趣和素养.让学生初步了解以递归运算给出函数的解析式的方法.同时指导学生用赋值法研究此类函数的方法。
巩固落实 学生练习：教材41页练习A第1、2、（1）（3）、3、6（可以用几何画板画图） 学生练习，教师巡视通过投影，展示学生解题过程，师生共同分析，引导学生解题规范。 通过练习使学生熟练函数的表示方法，理解函数概念
归纳小结 小结：1、能正确认识函数的三种表示法：2会用列表、描点、连线的方法作函数图象；用几何画板来会制较为精确的函数图象；函数的图象有连续的曲线，还可以是点，或线段等3、.初步了解用递归运算给出函数的处理方法. 让学生谈本节课的收获，并进行反思，师生共同归纳总结。 关注学生的自主体验，反思和发表本节课的体验与收获，教师及时点评，学生对所学内容有一个整体认识
布置作业 1基础题：教材41页练习A第1、2（2）、（4）教材42页练习B第1、2、32研究性作业（选作）研究教材40页例2，试做教材41页练习A第4题 分层布置作业，巩固基础，兼固提高
2. 1. 2 函数的表示法(2)
一、教学目标
1.知识目标：(1)知道分段函数的含义；(2)会根据所给问题建立分段函数解析式；(3)会画简单分段函数的图象.
2.能力目标：(1)培养学生阅读和理解题意的能力；(2)培养学生全面分析问题的能力，解决问题的能力；(3)培养学生作图能力.
3.情感目标：(1)通过画图,加深体会数形结合的思想方法和严谨的学习态度;(2)通过学习分段函数, 加深体会分类讨论的思想方法；(3)通过本节学习,进一步体会三种表示方法的区别和联系,激发学生的学习热情.
二、教学重点、难点
教学重点：分段函数解析式的建立和分段函数函数的图象
教学难点：分段函数解析式的建立
三、教学方法：师生互动，讲练结合，多媒体辅助教学
四、教学过程
教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设 计 意 图
复习引入 1、举例说明函数常有哪几种表示方法？ 它们各有什么优点？（1）解析法：（2）图象法：（3）列表法：2、画出函数y=|x|的图象.分析：y=|x|=这个函数的图象是两条射线，分别是第一象限和第二象限的角平分线，如图所示. 学生思考回答问题复习绝对值的定义，学生画图 通过对旧知识的回顾为新知识的学习做好铺垫
概念形成 提问：函数的对应法则有什么特点？3、分段函数的定义：在它的定义域中，对于自变量x的不同取值区间，有不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数. 概念辨析：（1）分段函数是几个函数吗？（2）分段函数的“段”是等长吗？如:y= 学生探索：对于自变量x的不同取值范围，对应法则不同.学生讨论：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数.(2) 分段函数的“段”可以不等长 使学生准确的理解分段函数的含义
概念深化 4、知识应用例1已知函数y=f(x)的定义域为区间[0,2],当时,对应的法则为y=x,当时,对应的法则为y=2-x,试用解析法与图象法分别表示这个函数.解:略(教材第42页例4)例2在某地投寄外埠平信，每封信函不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过60g付邮资240分，依次类推，每封x g(0巩固落实 5巩固练习教材第43页练习A第1,2(2),(3)题提问:分段函数的分界点如何确定 学生自己动手画图,在实践中体会对绝对值函数可以利用绝对值的定义确定分界点. 培养学生作图能力,进一步理解函数的表示法.
归纳小结 6小结： （1）分段函数的概念;(2)解析式的建立; （3）分段函数图象的画法. 在教师的启发下,学生归纳总结,教师完善(1)对分段函数不同定义域中的对应法则不同;(2)认真阅读理解题意,建立函数关系;(3)分段函数如何确定分界点,如何准确画图. 让学生交流学生收获
布置作业 7作业：教材第43页练习A第3题某市的空调公共汽车的票价制定的规则是：（1） 乘坐汽车5km以内且含5km，票价2元；（2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设21个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．实践与拓展：请你设计一张乘车价目表，让售票员和乘客非常容易地知道任意两站之间的票价．（可以实地考查一下某公交车线路）教材第44页练习B第1,2题预习教材第44页2.13函数的单调性.思考: 求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 帮助学生巩固所学知识,反馈课堂教学效果.
课后反思
2.1.3函数的单调性（第一课时）
一、教学目标
1、知识与技能：使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步理解函数的单调性，
会根据函数图象判断函数的增减区间，会利用单调性定义证明一些简单函数的单调性。
2、过程与方法：通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具
体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 。通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3、情感、态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程
二、教学重点与难点
1、重点：函数单调性的定义及其应用
2、难点：增减函数定义的形成；利用定义证明函数的单调性。
三、教学方法与教学手段
本节课采用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探究和交流的过程中获得对函数单调性的全面体验和理解。在教学过程中采用讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对概念的理解。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 谈到一个人，可以用几句话简单描述他的特征和状况，比如性别，高矮，胖瘦，脸形，性格等。碰到一个函数，也常常从几个方面看看它的总体特征，为更详细了解它打下基础。这一节和后面几节课，我们从不同方面去研究函数的有关性质。 教师提出问题，学生回答。 引起学生的兴趣，为学生认识函数的性质做好准备。
概念形成 1. 此函数图象描述的是在我国某地区部分年代人口出生率变化曲线，大家通过图象，能否发现该地区的人口出生率有什么样的变化规律。2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1） 从左至右图象上升还是下降 ______ 在区间 ____________ 上，随着x的增大，y的值随着 ________ ．（2） 从左至右图象上升还是下降 ______ 在区间 ____________ 上，随着x的增大，y的值随着 ________ ．（3）在区间 ____________ 上，y的值随着x的增大而 ________ ． 在区间 ____________ 上，y的值随着x的增大而 ________ ．为了刻画函数的这种增减性质，我们引入增函数和减函数的概念。在函数的图象上任取两点记表示自变量的改变量，表示因变量的改变量，其中为希腊字母。一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间.如果取区间M中的任意两个值，，改变量=>0，则当=>o时，就称函数在区间M上是增函数，如下图所示如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间。 多媒体展示函数及其图象，引导学生发现和总结图象所反应出的规律教师巡视，帮助学生作图，学生做完图后教师提问，学生回答。观察函数的图象，描述函数图象的特征。用文字语言来叙述，即：y随x的增大而增大用数学符号语言来叙述，即在定义域内任取，，若<,则有<。仿照增函数的定义，叙述减函数的定义并画出减函数的图象。总结增减函数图象的特征。 学习观察函数图象的特征要求学生动手作图以锻炼学生的动手实践能力，为下一步的问题的提出做好准备让学生熟悉几种语言之间的转换，借此更好地理解增减函数的定义
概念深化 自变量不可能被穷举，所以在给定区间内任意取两点。在区间中任意取两点，而不是只取两点，说明对于区间中所有的点都成立。函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题一个函数在整个定义域内并不一定只是单调递增或单调递减，函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质。 教师设计如下问题:（1）定义中的“任意”是什么含义？去掉这两个字是否可以？（2）结合前面所作函数图象说明函数的单调性是否在整个定义域内成立？ 通过对问题的探讨加深对函数单调性定义的理解
应用举例 例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2 证明函数，在上是增函数学生练习：（1）书第46页练习A第一题和练习B第一题。（2）证明函数，在上是减函数例3 证明函数，在区间上是增函数。 观察函数图象的性质找到函数在每个区间的单调性在考虑函数的单调区间时，包括不包括端点都可以。教师板书，示范解题的步骤。一个学生回答，其余学生给予评价。一个学生板书，其余学生在下面完成，教师巡视指导并进行讲评。在例3的解题技巧上给予学生一定的指导 例1由图象可以很直观地观察出函数地的单调性，找到单调区间，强化学生对图形语言的理解。例2教会学生书写证明过程，强化函数单调性的定义。通过解题告诉学生遇到根式的差判断正负问题应该如何处理
归纳小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;2．函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论3．数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 让学生从知识和方法两个方面谈谈本节课的收获并进行反思 培养学生的归纳概括能力，关注学生的自主体验，养成及时总结反思的学习习惯。
布置作业 层次1证明函数，在R上是增函数层次2 书第52页第6题 学生练习 通过习题巩固所学内容，为学有余力的学生提供进一步学习的机会
2.1.3函数的单调性（第二课时）
一、教学目标
1、知识与技能：（1）使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念；（2）初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法；（3）初步体会函数单调性应用．
2、过程与方法：通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．
3、情感、态度与价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
二、教学重点与难点
1、重点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．
2、难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性
．
三、教学方法与教学手段
采用教师启发讲授，学生探究学习、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（计算机、实物投影等），调动学生参与课题教学的主动性和积极性。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 学生设计出一个增函数和一个减函数的例子并画出函数图象。结合自己的实例叙述增函数和减函数的定义证明函数单调性的一般步骤是什么？ 教师提出问题，学生思考回答。（教师在学生回答时板书一般步骤） 通过概念的复述培养学生的抽象能力和语言表达能力；通过具体实例渗透数形结合数学思想方法
概念形成 练习：下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上， y=f(x)是增函数还是减函数。 学生独立思考回答问题 通过图像的识别，进一步加深学生对函数单调性的理解，并指出函数的单调性是对某个区间而言的。
概念深化 例1．判断函数的单调区间，并证明之。分析：先画出函数图像，结合图像指明单调性。答：函数在区间(—,0) 和区间(0,+)上分别是减函数.证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且<，则△x=－>0,△y=－=－=, 由,∈(0,+ )，得>0,又由－=－△x <0 ,于是△y<0∴在(0,+ )上是减函数.同理，对于区间(—,0) 也是减函数. 学生交流讨论，做出函数图像。教师引导并证明在两个区间上的单调性，对于第二个区间，让学生上黑板板书写作过程，师生共同指出其问题所在。例题结束后，教师设计以下问题，组织学生讨论：问题1：能否说，函数在实数集上是减函数？为什么 能否说，函数在它的定义域上是减函数？为什么 问题2：能否说：在(—,0) U(0,+)上是减函数（展示几何画板课件） 通过本例题的教学使学生意识到数形结合的重要作用，找出问题解决的突破口：先画出函数图像！通过思维的发散，培养学生的探究问题的意识，引导学生认识1、函数的单调性是对某个区间而言的。2、x=0不属于的定义域，因此不能说函数在实数集上是减函数。集合的并集符号不能用在表示函数单调区上。
应用举例 练习1：教材P46练习A3练习2：教材P46练习A5（1）思考题：1、研究函数y= 的单调区间2、讨论函数y=kx的单调性3、证明二次函数f(x)=ax2+c(a<0)在区间（－∞，0）上是增函数。4、已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间（－∞，4）上是减函数，求实数a的取值范围。 教师通过展示几何画板课件对本题进行深入挖掘，提出知识拓展知识拓展：当x∈(1,5)时，求函数的值域。、当x∈(-4,-2)时，求函数的值域。、当x∈(-1,5)时，求函数的值域。你能总结出一般规律吗？教师当堂用几何画板做出函数图像，引导学生分析、思考。教师适当点拨，引发学生深入的思考。本题是例题图像的平移问题。字母系数的问题，要让学生敢于尝试，引出分类讨论思想。无需分类讨论，因此还要让学生通过思考，明白并不是任何时候都是见字母就分类讨论。4、本题难度较大，属逆向思维问题。 二次函数的求值域问题是学生的难点，利用单调区间，不仅使学生体会到了函数单调性的应用价值，而且通过图形的观察，培养了学生的观察、分析、总结、猜想的能力，同时为后面讲解二次函数时作铺垫。通过本练习使学生1、进一步认识绝对值函数的单调性问题；2、体会函数图像的平移变换。思考题通：过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．
归纳小结 知识：分别用图象、文字、数学符号三种语言描述函数单调性定义。方法：数形结合、分类讨论的思想方法以及函数运动变化的观点。 学生回答相关问题，总结本节课的有关内容。 通过思考和总结对本节课的内容有一个深刻的认识。
布置作业 必做题：教材P46练习A5（2）教材P79巩固与提高第20题选做题：本节课的4道思考题探究题：讨论函数 的单调性，并证明你的结论. 学生练习 使学生巩固本节课所学的知识与方法。
五、板书设计
2.1.3函数的单调性（第二课时）证明函数单调性的一般步骤例1 小结练习 作业
2．1．4函数的奇偶性
课题：函数的奇偶性
一、教学目标：
1、知识目标：学习函数奇偶性的概念；利用定义判断简单函数的奇偶性
2、能力目标：培养学生观察和归纳的能力，培养学生数形结合的思想
3、情感目标：通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性的关系，培养学生勇于探索创新的精神。
二、教学重点：函数的奇偶性的概念
教学难点：函数的奇偶性的判断
三、教学方法：运用多媒体的教学手段，按照从一般到特殊的认知规律，由形及数，数形结合，在观察、归纳、探究的过程中获得对函数的奇偶性的理解。
四、教学过程
教学环节 教 学 内 容 师 生 互 动 设 计 意 图
复习引入 复习初中学过的轴对称图形和中心对称图形的定义对称也是函数图象的一个重要特征，通过图象的对称进而得到函数（函数值变化）的一个重要性质 学生回答，并举例 为下一步问题的提出做好准备，并通过问题的提出来引导学生从形的角度认识函数的特征
概念形成 一、1、课件展示，，的图象。观察以上图象有什么共同点以为例来研究，使 x=x=,x=,……时的函数值可得出什么结论能证明吗？2、设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，且,则这个函数叫做偶函数。 3、图象的特征性质如果一个函数是偶函数，则它的图象是以Y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 教师引导学生观察图象，学生分组交流总结以上的图象的共同点。关于Y轴对称学生计算函数学值并结合图象发现以上的函数具有特性：通过解析式给出证明，进一步说明以上的特性对于定义域内的任意一个x都成立。请同学给出偶函数的下个定义学生讨论回答，教师引导并加经完善板书偶函数的定义学生举例说明偶函数总结以上学习的内容 锻炼学生的识图能力，使学生从形的角度来认识函数的特征。加强数形结合的思想通过特殊值让学生认识到关于Y轴对称的具体特征。感受从特殊到一般的思想培养学生的推理论证的能力，以及严谨的学习态度。通过以 上的例子使学生对偶函数的形与数的特征有了初步的认识，引导学生得出偶函数的定义就自然而然了。由形到数，由数到形加深学生对偶函数的理解
二、再注意观察的图象，显然不是偶函数，那么它随自变量的改变函数值间存在怎样的变化规律呢？引入课件，加深印象。课件展示，的图象。观察以上图象有什么共同点以为例来研究，使 x=x=,x=,……时的函数值可得出什么结论能证明吗？2、奇函数设函数的定义域为D，如果对D内的任意一个，都有，且，则这个函数叫做奇函数。3、图象的特征性质如果一个函数是奇函数，则它的图象是以坐标原点为对称中民的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 多媒体课件展示是偶函数吗？学生类比偶函数，分组交流总结，汇报成果教师引导学生给出奇函数的定义。得出奇函数的图象特征性质 观察图象，加深理解学生分组交流合作由偶函数的概念的形成可以水到渠成得出奇函数的定义培养了学生的类比的思想数形结合的思想进一步深化
概念的深化 概念需注意问题――我们一起找找定义中的关键词：“定义域内”“任意…都”及。强调：奇偶函数定义域关于原点对称 教师引导学生分组合作找出定义中的关键词分析：⑴ 定义域内：奇偶性是整个定义域上的性质，而不仅仅是某个区间上的性质,与单调性区分开；⑵ 任意…都：说明具有普遍性，是对所有的自变量都成立，而不是个别的 学生分组合作通过对于是函数奇偶性概念的深入引导学生认识函数奇偶性是一个整体的性质函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件教师层层深入地引导学生加深对定义的理解。
应用举例 例1 判断下列函数的奇偶性 （6）=0总结：判断函数奇偶性的步骤先判断定义域是否关于原点对称判断还是。对于一个函数而言，它的奇偶性有如下四种可能是奇函数但不是偶函数是偶函数但不是奇函数既不是奇函数也不是偶函数是奇函数又是偶函数例题2、研究函数学的性质并作出它的图象分析函数的性质，设计方案如何来做出图象 对于（1）请同学在黑板上板演，教师纠正并示范比较规范的步骤。的定义域为R，当所以是奇函数其余的题目在下面学生自己完成，教师在下面巡视作个别指导。针对有比较典型的问题，将学生的答案做投影。师生一起交流，纠正，规范答案教师引导学总结归纳学生总结，教师完善学生研究函数的奇偶性学生分组研究如何画函数图象的方案，根据学生提供的方案，师生一起点评方案的可行性并比较哪种方案比较简单学生做图，教师巡视 通过例一使学生能达到以下的要求：如何利用定义判断函数的奇偶性。了解到函数按奇偶性可以分为几种类型巩固奇偶性的定义让学生自主设计，目的是让学生体会函数性质对于研究函数的方便条件，先判断出奇偶性，然后根据函数的对称性，只需做出一侧的图象即可。
巩固 学生练习：教材49页练习A第1、2、3、练习B 第1 学生练习，教师巡视根据时间练习A中第一题做奇数号题 巩固练习加深理解
归纳小结强化思想 总结：1、函数奇偶性的定义；利用定义判断奇偶性要把握：⑴ 定义域关于原点对称(2）2、函数奇偶性质简单应用 接着引导学生寻找其中的规律。从知识与方法两个角度让学生谈本节课的收获，并进行反思教师补充师生共同交流 关注学生的自主体验，反思和发表本节课的体验与收获
布置作业 教材52页练习2-1A第7、8教材53页练习2-1B第2、3、4③补充题 作业分层次做 通过分层使学生进一步加深巩固所学的内容。使各种学习程度的学生都各有收获
参加编写教案的教师有：党瑞平、陈爱华、刘新春、邓向阳、康志山、万东、郝静、裴建平3．2．2 对数函数
一、教学目标
1、知识与技能
通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念，理解研究对数函数定义域的必要性，理解函数单调性与特殊点；
2、过程与方法
能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并理解对数函数的定义域、单调性与特殊点，会运用对数函数的定义域求一般相关对数函数的定义域，会利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小；
3、情感、态度与价值观
让学生体会在处理国民经济数据等大型统计数据的过程中，对数函数是一类重要的函数变换模型，激发学生学习数学的兴趣；让学生体会理解数学概念的本质是灵活运用数学的前提，努力培养学生应用数学的意识和创新意识。
二、教学重点和难点
重点：理解对数函数定义，掌握对数函数的图象和性质；
难点：对于底数与时，不同对数函数的不同性质。
教材分析：
1 对数函数是数学中常见的、经典的函数模型之一；在统计数据的处理尤其是时间序列数据、经济数据的处理中，利用对数函数的性质经常利用对数变换的手段消除数据的异方差；
2 对数函数是中学数学中的一个非常重要的基本函数模型，是帮助学生深刻理解函数概念和函数图象的载体；
3 由于学生在前几节课已经学习了指数运算、指数函数和对数运算，已经初步了解对数运算是指数运算的逆运算，因此从指数函数的解析式变换出对数函数解析式已无任何困难，但是在讲授时需要通过具体例子让学生理解为什么要建立对数函数模型；
4 引导学生根据函数定义分析对数函数关系和变量关系的差异，即所表达的两变量x和y之间的关系相同，但是如果确定自变量和因变量以后，它们所表示的函数关系不同，从而从更深层次理解函数的概念；
5 对数函数及其图象有许多良好的性质，经常成为中学数学中构造综合问题的工具；
6 作为一种函数模型，学生对对数函数作用的理解可能不如一次、二次函数模型来得直观，因此理解引入对数函数关系可能有一定困难；不同底数的对数函数图象的分布之间的关系与同一个对数函数的内部变化趋势的区别对于初学者来说有一定困难。对数函数是学生学习函数以来遇到的第一个自然定义域受运算规则限制而解析式本身又不易看出的函数，因此对这一新的运算符号的理解和应用，影响着学生对对数函数自然定义域的理解程度，因此需要反复强调和练习，形成熟能生巧的技能；
三、教学方法与手段
采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究、合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 请同学们思考下列问题：引例1、在某个观察细胞分裂实验中，已知每次每个细胞分裂为2个，并且半个小时分裂一次，由于时间限制，在设计实验时需要根据所需要的细胞总数x确定细胞分裂的时间y，求y关于x的函数关系式；引例2、在拟合国民经济数据建立经济分析模型的过程中，由于原数据值x和x的波动幅度比较大，数据变化的方差很大（异方差），很不利于建立合理稳健的数学模型，从而需要压缩数据变化的方差，希望得到新数据y，如何建立y和x之间函数关系，才能有效解决这个实际问题？问题1、问题2、 学生结合指数函数的定义思考探索问题；学生通过观察数据图表，结合初中数学复习对方差的意义的理解，体会数据波动的数学意义，从而根据对数运算特征，探索出所需要的函数模型。 设计两种类型的引例，根据不同班级学生的接受能力，分层使用不同的引例。由实际问题引入，不仅能激发学生的学习兴趣，而且可以培养学生探索解决实际问题的能力。同时通过实际问题的探索解决阐明建立对数函数模型的必要性。
概念形成 由指数函数解析式变形得到对数式对于y在正实数集内的每一个确定的值，在实数集R内都有唯一确定的x值和它对应。根据函数定义，这个式子确定了正实数集上的一个函数关系，其中y是自变量，x是因变量。函数叫做对数函数。它的定义域是正实数集，值域是实数集R。习惯上，常用x表示自变量，y表示因变量，因此对数函数通常写成 引导学生分析比较和所包含的两变量x、y的关系与对数式所包含的函数关系 学生已经理解函数和指数函数，所以此处的重点在于直接从指数函数解析式得到对数函数关系
概念深化 1、画出函数；的图象。列出x、y的对应值(让学生思考x应该选哪些值才能方便计算、利于描点还能表明目标函数的变化趋势)分析学生的作图，老师在黑板上画图示范，强调描点后要用光滑曲线把这些点连接起来。2、通过(1)(2)两个函数的图象，类比指数函数图象的分布特征，归纳对数函数图象的分布特征和函数性质。当a>1时 当01时是增函数；当00时a、b的范围是 ； logab<0时a、b的范围是 ；3、引导学生观察函数和的图象之间的对称关系，并归纳出一般结论：什么类型的两对数函数都具有这种对称关系？并说明理由。4、（借助《几何画板》演示函数中，当时的若干个函数系列图象。）当a=1.5，a=2，a=3，…时，观察各图象的共同特征；当a=0.8，a=0.5，a=0.3，…时，观察各函数图象的共同特征。 学生列表计算、描点、作图。教师在黑板上画图示范教师利用计算机动画演示图象变换；学生观察、归纳、探讨分析，教师启发点拨指导，点评。 通过列表、计算使学生体会、感受对数函数图象的变化趋势，通过描点培养学生的动手实践能力。使学生体会从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程引导学生再次把函数值的分布特征与函数数象结合起来，加强学生基本功的训练不同情况进行对照，使学生再次经历从特殊到一般，由具体到抽象的思维过程，培养学生的归纳概括能力。
应用举例 求下列函数的定义域： 例2、(1)比较与的大小；(2)0.32，log20.5，log0.51.5(3)已知，求m的取值范围；(4)已知，试求m、n所满足的条件。该题的前三个问题需要学生把问题分别归结为对数函数的单调性，对于(3)要提醒学生别把真数大于零的条件忽略了，因此m应该满足一个不等式组。处理第四个问题一般有两种方法，一种是利用不同底数的对数函数图像的分布规律，利用图象系列比较m和n的大小；另一种是利用对数运算的性质，转化为同底数的对数之间的大小关系。（函数与方程）解方程：例4、(备用)求函数的定义域、值域和单调区间；为何值时，函数的定义域是全体实数？该函数的值域何时是全体实数？ 学生思考、解答、交流，老师巡视，个别指导。学生分析解答，公布答案。引导学生分析解答，老师评价指导。学生分析思路，课堂解答。例4供学有余力的同学课下分析，挑战。 例1巩固对数函数的定义域的限制，复习简单不等式的解法。例2培养学生树立数形结合意识和创新能力，提高思维的严谨性。引导学生复习巩固整体换元的数学方法例4供学有余力的学生分析思考，灵活掌握对数函数的定义域、值域、单调性之间的制约关系。
归纳小结 引导学生回顾本小节所学的知识及数学思想方法：掌握对数函数的定义、图象及性质，以及局部定义域、值域和单调性三者之间的制约关系；树立数形结合地处理问题的意识；根据对数函数图象的分布及变化趋势，反思理解课首所提出的压缩数据波动幅度的数学理论依据，初步了解对数变换的实际意义。 学生归纳交流 通过介绍“对数变换”的模型，使学生进一步体会和领悟对数函数图象的变化趋势，使学生对数学知识用于实际有一个直观了解。
布置作业 作业：P104 练习A---2、3；练习B---1、2P106习题A---4，6(7)(8)P107习题B---3(6)人教数学B版教材必修1第二章函数教学设计
一、教材分析
1、本单元的教学内容的范围
2.1 函数
2.1.1函数
2.1.2函数的表示方法
2.1.3函数的单调性
2.1.4函数的奇偶性
2.1.5用计算机作函数的图象(选学)
2.2 一次函数和二次函数
2.2.1一次函数的性质和图象
2.2.2二次函数的性质和图象
2.2.3待定系数法
2.3 函数的应用（Ⅰ）
2.4 函数与方程
2.4.1函数的零点
2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．本单元的教学内容在模块内容体系中的地位和作用
（1）函数在高中课程中的位置
（2）函数在高中课程中的作用
函数是高中数学的六条主线之一，函数在高中数学的知识体系中具有核心或网络交汇点的地位，因此整体把握高中教材就必须抓住函数主线.
函数是高中数学的六条主线之一，函数不仅与函数相关的知识具有紧密的纵向联系，更重要的是函数与许多其他模块的数学知识有着密切的横向联系，即函数在高中数学的知识体系中具有核心或网络交汇点的地位，因此整体把握高中教材就必须抓住函数主线.
▲函数主线
●20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学. 克莱因提出一个重要的思想-----以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂. 以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合.”
●高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，例如函数，指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，极限导数，微积分等………这些课程都是把函数作为研究的对象. 函数、映射不仅是数学研究的基本对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支.
●函数与其他模块之联系
◆函数与数列-特殊的函数(等差数列-直线型函数，等比数列-指数型函数)
◆解析几何-曲线与方程本质上与函数是一样的(除去一对多，不构成函数的情况)
◆微积分-建立在函数基础上的数学分支(本质上是函数与极限)
◆随机变量-概率是随机变量的函数，当随机变量在一定范围内取值时，对应概率分布就是函数值的集合
◆函数与算法-算法中的变量类型有计数变量，循环变量
3．本单元的教学内容总体教学目标
（1）函数
　　① 了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.
　　② 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.
　　③ 了解简单的分段函数，并能简单应用.
　　④ 理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
　　⑤ 掌握做函数图象的一般方法，会运用函数图象理解和研究函数的性质.
（2）一次函数和二次函数
①掌握一次函数和二次函数的性质，学会用配方法研究二次函数的性质。
②掌握用待定系数法求函数的解析式
（3）函数的应用（Ⅰ）
①通过实例，体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验一次函数与二次函数与现实世界的联系及其在刻画现实问题中的作用。
②感受运用函数概念建立模型的过程和方法，初步运用函数的思想方法理解和处理其它学科与现实生活中的简单问题。
（4）函数与方程
　　① 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数的零点与方程根的联系.
　　② 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.
4．本单元的教学内容重点和难点分析
（1）本单元教学内容的重点：函数概念的较好理解
函数这一概念的真正理解、掌握和运用是需要有一个过程的。如：为什么初中学了函数现在还要学习函数？为什么要明确函数的构成要素？为什么要用集合对应的语言来定义函数？为什么要引进函数记号？说到函数时，你想到了什么？看到函数记号你又想到些什么？……能回答好这些问题，必须有一个多次接触，反复体会，螺旋上升、逐步加深认识和理解的过程。
（2）本单元教学内容的难点：
①用集合与对应的观点理解函数概念；
②二分法是求函数零点近似解的一种方法，它渗透了极限和算法的思想。
5．其它相关问题
(1) 课标与大纲在内容、要求上的变化
内容 课程标准目标表述 原大纲目标表述
函数 通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念；在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（最小）值及其几何意义；结合具体的函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质。 理解函数概念，了解映射的概念了解函数的单调性和奇偶性的概念 ，掌握判断函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求简单函数的反函数。
对比课标与大纲要求，函数与映射的概念课标与大纲的突出区别是课标强调了通过大量的实例引入，所以我们感觉课标突出了应用意识，更注重学生探索体验、观察归纳的知识形成过程；课标强调“运用函数图象理解和研究函数的性质”与大纲强调“利用函数的性质简化函数图象的绘制过程”截然不同，课标更注重“形”的直观对抽象知识理解的帮助作用，更关注了初高中的衔接问题，突出了对函数本质的理解。
（2）对学生所学内容的初高中衔接上的思考
学生从小学到初中，经历了常量---字母表示数----变量----方程----不等式----函数这样一个逐级上升的认识过程，学习过几个典型的具体函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，高中函数的学习是学生学习的继续，教师的教学应充分考虑学生原有的基础对继续学习的作用，B版教材特别按排一次函数和二次函数一节，即是对原有知识的复习，更是新的概念依托原有知识的运用和提升，函数与方程对初中学生来讲，可能就是孤立的知识点，其深刻的内在联系学生未必理解，本章教材特别安排了函数与方程一节，也是以学生熟悉的二次函数为背景，这样背景知识的简单熟悉化，有助于学生对较高的思想观点的理解和掌握，有助于学生认识事物的本质，提高认识能力。B版教材这样的设计，应该说很突出初高中的衔接，在我们运用教材是应该很好的体会教材的设计意图，落实课程目标。
二、与本单元的教学内容相适应的教学方式和教学方法概述
（1）本单元的教学内容处理建议
1．建议先讲函数，再讲映射。这样处理能与初中已学习的函数内容有一个较为自然的衔接，也符合从特殊到一般的认识规律。
2．在教学中，要重视图形在数学学习中的作用，挖掘函数图形对函数概念和性质的理解，对数学理解、数学思考的功能。我们可以经常提出这样一些问题：从函数图象中你“看到了”什么？发现了什么？有什么联想？等等。当然，我们也要注意几何直观的局限性，以及用几何直观代替逻辑证明的错误做法。
3．在函数教学中，要力求使学生感受与初中所学函数内容之间自然的衔接和再次学习函数的必要性，通过典型例子、适当的教学方式、适当的教学组织形式，为进一步学习函数作一些准备。
4．注意不要作过分强调细支末节的讲解和训练，避免人为地编制一些繁难的偏题。如函数概念中求定义域、判断是否同一函数的训练；等等。
5．恰当运用信息技术
要正确理解“加强与信息技术整合的要求” ，当我们鼓励学生运用现代信息技术学习数学时，须让他们认识到现代信息技术的飞速发展，为我们的教与学注入了新的活力，但是，现代信息技术不能替代艰苦的学习和人脑精密的思考，信息技术只是作为达到目的的一种手段，一种快速计算的工具。
（2）本单元教学方式、方法建议：
方案一、启发式教学，师生共同分析、研究。这种方式背景设置、问题设计是关键，教师要认真研究教材、研究学生，所设计问题不是简单的是与非的判断，应该有学生思考讨论的空间，适用于基础薄弱校。
方案二、自主探究式教学，学生独立思考，交流达成共识。这样的方式发散性更强，学生的主体地位更突出，但老师也应该做好计划性和探究方向调控，适用于基础较好的学校。
三、本单元所需教学资源的概述
教材、教参、人教社网站、 几何画板、Excel、scilab等辅助教学软件、相关资料包（光盘、试题、等）
四、本单元学时建议
2.1 函数 8课时
2.2 一次函数和二次函数 3课时
2.3 函数的应用（Ⅰ） 2课时
2.4 函数与方程 2课时
本章小结 1课时
（共计16学时，仅供参考）
第二章2.1节教学设计
（一）学习目标：
知识目标：
1．运用集合对应的观点理解函数的概念，了解函数的三种表示法，会求函数的定义域．
2．对函数符号 有正确的理解，准确把握其含义，了解 ( 为常数)与 的区别与联系；
3．了解简单的分段函数的特点，并会简单应用.
4．了解函数的单调性和奇偶性的概念,掌握有关证明和判断的基本方法.
能力目标：
1． 培养学生的观察,归纳,抽象的能力,同时渗透数形结合,从特殊到一般的数学思想.
2． 培养学生的逻辑推理能力。
情感目标：
1．让学生体验函数的广泛应用，培养学生对数学的兴趣
2．增强学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
（二）重点难点
1．重点：从集合对应的角度理解函数的概念；函数性质的研究，函数的单调性,奇偶性概念的形成与认识。
2．难点：函数概念是一个难点。从初中用变化的观点理解函数概念到高中用集合和对应来理解函数，需要学生从认知结构上发生变化，如何实现这一转变是教学中的一个关键。自然也是学生学习的一个难点；函数单调性的概念及单调性的证明是又一个难点，函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过,但只是从图象上直观观察图象的上升与下降,而现在要求把它上升到理论的高度,用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译,从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的,因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的,许多学生甚至还搞不清什么是代数证明,也没有意识到它的重要性,所以单调性的证明自然就是教学中的难点.
（三）教学内容安排
本节分为八课时：
2.1.1共3个课时，第1课时，函数概念，通过丰富的实例体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则）．培养学生首相概括的能力；第2课时，函数概念的巩固，求简单函数的定义域、求函数值（值域）、函数解析式问题，理解运用抽象函数符号，落实换元法、配方法，培养学生抽象概括、逻辑推理和计算求解的能力；第3课时，映射与函数，了解映射、一一映射的概念，能从映射的角度理解函数，让学生感受从特殊到一般的认识问题的方法。
2.1.2共2个课时，第1课时，函数的三种表示方法，重点是函数图像的分析，难点是通过函数的解析式分析函数图像，培养学生函数作图的能力和运用数形结合的思想方法研究和解决问题的能力；第2课时，分段函数，分段函数学生接受起来比较困难，但分段函数又是普遍存在的、比较重要的一类函数，应结合生活中学生比较熟悉的例子如：邮资问题、出租车费、电话费用等等问题，让学生体会分段函数的现实意义，同时深化理解函数概念。
2.1.3共2个课时，函数的单调性，第一课时函数单调性的概念、判定和证明方法及注意事项，培养学生函数数形结合的思想方法研究和解决问题的能力；第二课时复习函数的概念再一次强调单调区间的写法，并在这节课进行巩固、提高、深化，把所学旧知识和新知识再一次整合，进一步加深对函数的理解。在这两节课中培养学生发现问题、提出问题的意识和解决问题的能力。
2.1.4共1个课时，理解奇偶函数的的概念，学会用定义判断函数的奇偶性，掌握奇偶函数的性质简化图像画法；培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
（四）教学资源建议
充分利用信息技术展现函数的多种表示方式，参看教参中《函数》案例，光盘中《变量与函数的概念》课堂实录，参看教参中《函数奇偶性》案例，课件集锦中相关课件，等等。
（五）教学方法与学习指导策略建议
第一节函数的教学，建议主要以教师讲解，学生讨论的教学方法进行。多给学生一些感性认识，通过争论，获得对知识更深层次的理解。
后三节的内容，在教学中可以采用教师讲解，学生练习为主的方式进行教学。
因为该部分知识更多的是应用性的，需要多实践。
以下为各课时详细教学设计：
2．1．1　函　数（1）
一、教学目标：
知识目标：理解函数的概念，会用集合的语言来刻画函数，了解函数的构成要素．
能力目标：通过大量的实例抽象概括出函数模型，体会函数模型中的对应关系的重要作用，进一步认识数学的高度抽象性、严密的逻辑性、应用的广泛性的特点，培养抽象概括、分析总结、数学交流表达能力，提高学生分析解决问题的能力．
情感目标：通过师生、生生活动增进师生情感，通过交流讨论抽象出函数的概念、体验数学研究问题的思想方法学生能够体会到成功的愉悦，进而提高学生学习数学的兴趣，增进学习数学的热情，树立学好数学的信心。
二、教学重点、难点：
重点：理解函数的概念，难点：对函数符号y=f(x)的理解.
三、教学方法手段：
教学方法：采用启发探究讨论式教学方法，设置各种学生积极参与的教学活动情景
教学手段：采用计算机辅助教学，增强直观性，实现变量的任意取值，可以加深学生对函数的理解，提高课堂效率
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 1．复习初中函数概念常量与变量函数概念请你举出函数一例 学生回忆思考、积极回答问题 调用学生原有的认知结构，为学习用集合语言刻画函数做准备
讨论课本例子 2．讨论课本例子 看书课本29-30页的4个例子，回答问题： (1)自变量的取值范围是？ (2)自变量、因变量之间有何关系？(3)因变量的取值范围是？ 学生先看书再分组讨论、交流，整理本组同学的意见，教师巡视，关注每组讨论情况，并及时指导师生达成共识：函数一定有一个对应关系，有两个变量，两个变量的值在某个范围内变化 从实际的函数问题出发，围绕问题交流讨论，经历数学发现和探究的过程，体验数学研究的方法，培养抽象概括能力
概念形成 3．函数的概念：设集合A是一个非空的实数集，对A中的任意一个数x，按照确定的对应法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{y|y=f(x)，x∈A }叫做函数的值域（range）． 总结函数关系本质，教师给出函数的定义， 从前面的讨论结果出发，总结出函数关系的本质。
概念深化 4．探讨问题下列对应法则是不是给定的集合上的一个函数？①R，f:自变量的倒数②R+，f:自变量的平方根③R，f:自变量的平方减2构成函数的2要素：定义域、对应关系因此要确定两个变量是不是存在函数关系只要检验①定义域和对应法则是否给出②根据给出对应法则，自变量x再起定义域内的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y有时函数的定义域没给出，约定为：不是函数失去意义，不是实际问题失去意义的自变量的取值范围 学生思考、讨论、交流，回答问题，小结出函数的要素 通过例子来简单应用概念，体验构成函数的2要素：定义域、对应关系
概念应用 5．例题判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数，说明理由？① f ( x ) = (x -1) 0；g ( x ) = 1② f ( x ) = x； g ( x ) = ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 学生先自己独立考虑，求解，在相互交流 通过判断同一个函数来巩固函数的概念，理解函数的2个要素
6．例题已知函数f(x)=3x＋5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1) 学生先自己独立考虑，求解，在相互交流 巩固理解函数对应法则在刻画函数模型的重要作用
7．例题求函数的定义域① ② ③ 学生先自己独立考虑，求解，在相互交流 教师要规范的求解，培养规范解体的习惯
介绍区间 9．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示．请把前面例题中的定义域用区间表示 教师介绍，并于学生交流、解答疑惑 感受数学语言的简练、准确
小结 8．小结函数的概念学习体会 学生自我回顾小结、反思、归纳、交流，教师完善 培养反思总结的学习习惯，学生小结交流，教师点评归纳，整体把握所学知识
作业 9．作业课本33页 练习A 1，2，3练习B：1，2，3提高作业：找出生活中的函数例子2个，指明对应法则，定义域 帮助学生巩固知识，分层留作业学生可以结合自己的情况完成，不同的学生得到不同的发展
五、板书设计
变量与函数的概念一、复习引入 二、函数概念 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 三、应用例题1。。。。。。。。。。。。。。例题2。。。。。。。。。。。。。。 例题3。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 区间介绍。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
2.1.1函数（2）
一、教学目标
1.知识目标：通过具体的实例分析和理解，会求一些简单函数的定义域、函数值及函数的解析式；.
2.能力目标：落实换元法和配方法，培养学生抽象概括的能力，逻辑推理能力和运算求解的能力；
3.情感目标：培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
二、教学重点、难点
重点难点：进一步体会函数的有关概念和函数的两要素（定义域和对应法则）；求解函数的定义域、函数值及函数的解析式。
三、教学方法
本节课是一节习题课，采用启发式讲解的教学方法。通过对例题的探究分析，能初步掌握求解函数的定义域、函数值及函数解析式的基本方法。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 函数的概念。定义域、值域的概念。 教师提出问题，学生回答。 为后面学习“求解函数的定义域、函数值及函数的解析式”做铺垫。
能力与方法的形成 1．定义域问题例1.求函数 的定义域。练习1：课本P33练习A第4题（1）、（2）。2．函数求值问题例2.已知函数 ，求，，。练习2：课本P33练习A第3题3．函数解析式问题例3（1）已知函数，求。（2）已知函数，求。练习3：课本P33练习A第4、5题 教师引导启发：“我们知道，所谓求函数定义域，就是求出使函数表达式有意义时的x的取值范围；针对这个函数该如何求其定义域呢？”学生思考、讨论后，教师提问，并由学生给出答案。教师追问：这个函数解析式有怎样的特点？ 怎样求解这类函数的定义域？学生充分思考、讨论后教师（或某个学生）归纳一般规律：这个函数具有两个特点，（1）解析式中有根式，（2）分母中有自变量。求解定义域时应考虑两个方面：根号内的式子非负且分式中的分母不等零。本例完全由学生自己完成答案，学生自己讲解并体会其方法。先有学生思考，争取由学生独立完成。老师再启发总结。师：若已知，如何求解，，？即然x = 0 ，1，2时，可直接带入求解，那么，求解时，只需把x-1代入即可。完成了第（1）小题以后，先让学生思考第（2）小题与第（1）小题的不同点以及处理这个问题的方法和思路，可以独立思考，也可与同学合作商量。估计同学们会有以下两种不同的解法：一是配方法，二是换元法。 本例实际上是一个由与复合在一起的函数。所以这一个题目，便可学习两个类型的函数定义域的求法。及时巩固本类问题通过例2，既可以让学生体会函数求值的方法，又可以为例3（1）打下铺垫。 及时巩固本类问题第（1）小题具有承上启下作用的，既是例2的延伸，又是解决第（2）小题的基础。配方法和换元法都是解决这类问题的基本方法，所以要作为本节课的重点和难点处理。及时巩固本类问题
巩固落实 1求下列函数的定义域（1）2．求函数的解析式若，求
归纳小结 本节课共学习了三个问题：1．定义域问题，2．函数求值问题，3．函数解析式问题。再简述其各自的解决问题的一般规律。
布置作业 1求下列函数的定义域（1）（2）2．求函数的解析式（1）若，求（2）若一次函数满足，求
板书设计 例1．例2． 例3．解：（1）（2）[法一]：[法二]： 复习1．函数的概念。2．定义域、值域的概念。说明：本栏可以板书课堂练习的答案，也可作为草稿纸。
2．1．1　函　数（3）---映射与函数
学习目标
1、了解映射、一一映射的概念，能从映射的角度理解函数关系；
2、在教材实例分析概括的前提下，由学生归纳出映射概念，在此过程中培养学生抽象概括能力；
3、通过对映射与函数关系的理解，渗透特殊到一般，再由一般到特殊的辨证法思想，通过映射与一一映射关系的对比，培养学生严密的思维习惯和严谨的学习态度。
重点、难点
重点：从映射的角度理解函数关系；
难点：一一映射的概念的理解。
教学内容安排
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题引入 实例引入与你同名同姓的人不只一个吧！比如，我国叫“王丹”的人据说就有三千多人。但与你身份证号码相同的却只有一个。把人与这个人的姓名对应，把人与这个人的身份证号码对应，前者可以是多对一，后者却是一对一，这两种对应就与“映射”有关。映射与函数有什么关系呢？ 学生在老师引导下进入主题。 从生活实际引入主题自然亲切易接受，交代本节课的研究内容。
概念形成 以三个例子归纳总结：例1 某个数学学习小组共有5个成员，一次数学测试，他们各自取得的成绩（分）如下表所示：姓名李小平高英木田萍萍范江鲁智成绩/分10098899598
5名同学构成一个集合，通过这次数学考试，每名同学对应一个数学成绩，这些成绩构成另一个集合。例2（我们看大屏幕，数轴上M点为自由点，讲解过程中教师可以拖动到任意位置，便于学生观察理解）数轴上的点集与实数集R，通过法则：数轴上任意一点M，对应唯一实数，等于点M到原点O的距离，则数轴上的点集与实数集R具有这样的关系：对于数轴上的任意一点M都有唯一的实数与它对应。 例3（继续看大屏幕，图中M点为自由点，讲解过程中教师可以拖动到平面内任意位置，便于学生观察理解）直角坐标平面内的点集与有序实数对（x， y）的全体构成的集合之间，通过法则：坐标平面内任意一点M在x轴上的正射影的坐标为点M的横坐标 x，在y轴上的正射影的坐标为点M的纵坐标 y，从而点M的坐标为有序数对（x， y），这两个集合具有这样的关系：对于直角坐标平面内的任意一点M都有唯一序实数对（x， y）与它对应。 问题1：以上三个例子中的两个集合之间关系有什么共同的地方？映射概念：设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y，与x对应，则称f是集合A到集合B 的映射，这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)。于是 y=f(x)X称作y的原象。映射f也记作：f：AB其中A叫做映射f的定义域，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域，记作f(A)特殊映射：一一映射引导学生自学这一概念问题2：一一映射与映射的关系怎样？问题3：我们前面学习的函数与我们今天学习的映射有什么关系？ 学生独立思考4~5分钟，然后分组讨论交流，各小组整理出想法，教师巡视，关注各小组讨论情况。归纳出三个例子的映射关系实质教师在巡视过程中应及时对同学的参与给予鼓励和评价学生讨论教师提问总结 1、师生互动抓住映射关系的本质重点突破教师在大屏幕演示时，应力求突出“任意”与“唯一”的关系
学习研讨 在下面图中，用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则，试判断由A到B是不是映射？是不是函数？ （1） （2） （3） （4） 学生根据本节所学知识进行判断教师要引导学生运用概念正确表述
巩固与落实 教材36页练习A第1，2，3，4题教材37页练习B第1，2，3，4题 学生在解决问题的过程中掌握知识 通过不同形式的练习加深理解映射概念，树立学习的自信心
归纳小结 理解映射、一一映射的概念理解函数与映射的关系 老师启发下学生归纳、总结，教师完善 通过学生总结发言形成一个比较全面的映射概念
布置作业 1、习题2—1A第2，3题2、试举出生活中几个映射和一一映射的例子。 必作选作 分层次作业为学生留有选择空间
板书设计
一、映射概念 2。1．1映射与函数二、习题研讨例 三、巩固练习 四、作业
2.1.2 函数的表示方法(1)
一、 教学目标：
1. 知识目标：
（1）会选择恰当的方法表示函数.
（2）了解函数不同表示法的优缺点.
（3）了解分段函数及其表示,并能简单应用.
（4）会求某些函数的解析式.
2.能力目标:
(1)自主学习，了解函数表示方法的多样性和转化方法
(2)探究与活动，何种函数用何种方法表示适宜.
(3)增强动态意识、通过观察、对比、分析，发展辩证思维能力.
3.情感目标:
(1)通过师生、生生互动的教学活动过程,让学生体会成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣.
(2)培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.
二、教学重点、难点:
重点:用三种方法表示函数.对函数图像的分析.
难点:通过函数的解析式分析函数的图像.
三、教学方法与教学手段:
教学方法:采用自主学习，启发探究相结合的教学方法。
教学手段：多媒体辅助教学。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
课题引入 实例引入： 请考察下面三个函数：投影片1：估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据.从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？1949～1999年我国人口数据表年 份人口数/百万194954219546031959672196470519698071974909197997519841035198911071994117719991246投影片2（或多媒体制作镜头2）：一物体从静止开始下落，下落的距离y（m）与下落时间x（s）之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？投影片3：上图为某市一天24小时内的气温变化图.请问：（1）上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？（2）在什么时刻，气温为0 ℃？ 师：在前面的课中，我们已经初步研究函数的概念和表示方法.今天我们再专门研究函数的表示方法.（板书：函数的表示方法）请学生考察这三个函数，引导学生说出三个函数不同的表达形式：用表格、用等式、用图象来表示两个变量之间函数关系。 从多媒体展示的实际问题中引出概念。 通过实例体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型。
概念形成 让学生看课本38—39页，回答什么是列表法，图像法，解析法（公式法） 学生回答，教师打出投影，给出确切的概念。
概念深化与例题研讨 例1.函数是用什么方法表示的 是否可以用另外两种方法表示 怎样表示 例2.下列图形是否是某一个函数的图像,说明理由. 学生自主完成,然后交流讨论,教师订正. 学生回答下列问题:1.三种方法各自的优点是什么 2.所有的函数是否都能用解析法表示 3.“判断一个图形是不是函数图象的依据是什么 ”，应在组织学生讨论后获得结论“平行于y轴的直线（或y轴）与图形至多一个交点”. 本例介绍了一个可以用三种表示方法来表示的函数.说明三种方法具有内在联系，并能相互转化。通过这个例子可以达到以下目的：（1）让学生体会到三种表示方法各自的优点.教学时不妨先举一些例子启发学生，然后再由学生试着举一些例子.（2）使学生看到函数的图象可以是一些离散的点，这与学生以前接触到的一次函数、二次函数的图象是连续的曲线有很大的差别，教学时强调y=5x（x∈R）是连续的直线，但y=5x（x∈{1，2，3，4，5}）却是5个离散的点，由此又让学生看到，函数概念中，对应关系、定义域、值域是一个整体.函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.
巩固练 习 教材39页思考与讨论
归纳小结 1.函数的三种表示法：列表法、图象法、公式法．
2.分段函数问题要分别转化成在定义域内的每一个区间上解决．　3．注意函数三种表示法的区别和联系.
布置作业 41页练习A组1，5，6（直接作答）
板书设计
1.2.2 函数的表示法（1）函数的表示法（1）解析法（2）图象法（3）列表法例1例2例3课堂小结
2.1.2 函数的表示方法(2)
一、 教学目标：
1. 知识目标：
（1）进一步巩固函数图像法解析法.
（2）了解分段函数及其表示,并能简单应用.
（3）会求某些函数的解析式.
2.能力目标:
通过观察增强动态意识、探究与活动,发展辩证思维能力.
3.情感目标:
(1)通过师生、生生互动的教学活动过程,让学生体会成功的喜悦,提高学生学习数学的兴趣.
(2)培养学生重要数学思想方法——数形结合与分类讨论思想方法，激发学生学习的热情.
二、教学重点、难点:
重点:对函数图像的分析.
难点:通过函数的解析式分析函数的图像.
三、教学方法与教学手段:
教学方法:采用自主学习，启发探究相结合的教学方法。
教学手段：多媒体辅助教学。
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习函数的三种表示方法.例1.教材42页例4(投影) 师生共同完成(板书) 本例的主要目的有两个：一是让学生进一步体会数形结合在理解函数中的重要作用，二是引出分段函数的概念.
概念形成 给出分段函数定义.举例说明以下两点:分段函数不是“几个函数”,分段函数的“段”不一定是等长的. 学生看书上的定义,教师用投影给出. 深化对定义的理解.
概念深化与例题研讨 例2.教材43页例5.(投影打出题目,根据学生实际情况改变叙述方式 )例3.作出函数的图像. 1.教师指导学生阅读理解题目.引导学生将生活语言转换为数学语言.2.引导学生建立数学模型,得到函数的解析式.3.学生作图.教师完善.指出:实际生活中，出租车的计费、电信资费、个人所得税额等均是分段函数.1.教师明确作图步骤.2.学生列表,描点,连线,作出函数图像.3.要求学生作图时注意:一是x在定义域内的取值分布要恰当；连线时要用光滑曲线连接。 本例的主要目的有以下几点：（1）让学生尝试用数学表达式去表达实际问题；（2）学习分段函数及其表示；（3）注意在数学模型中全面反映问题的实际意义；进一步理解分段函数的概念,明确建立分段函数解析式的一般步骤.为研究函数图像作准备.培养学生函数作图的能力和运用数学结合的思想方法研究问题和解决问题的能力..通过图像了解函数的性质.让学生体会图像的作用.
巩固练 习 教材41页A组练习2（2）（4） 学生独立完成，通过图像认识函数。 落实作函数图像的恶基本方法和步骤，利用图像理解函数的性质。
归纳小结 1..分段函数问题要分别转化成在定义域内的每一个区间上解决．2.本节课进一步巩固了函数的表示方法,突出图像法的优点:能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势,使得我们可以通过图像来研究函数的性质.　
布置作业 教材41页练习A组:2(1)(3) 43页练习A组2（2）3.
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2.1.2 函数的表示法（2）1.分段函数:例1例22.作函数图像: 步骤:注意:例3
2.3.1 函数的单调性
教学目标：
1. 知识目标：
（1）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间
（2）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义判定和证明简单函数的单调性
2. 能力目标:通过函数单调性的学习培养学生培养学生的观察,归纳,抽象的能力数形结合的能力.
通过函数单调性的证明,提高学生在代数方面的推理论证能力
3. 情感目标: 通过对函数单调性的理论研究,增强学生对数学美的体验,培养乐于求索的精神,形成科学,严谨的研究态度.
教学重点：函数的单调性的概念和判定某些函数单调性的方法；
教学难点：利用函数单调性的定义判定和证明具体函数的单调性
授课类型：新授课
课时安排：2课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教材方法：
本节课教学方法采用观察、归纳、启发探究相结合；运用现代化多媒体教学手段进行教学活动.首先按由特殊到一般的认知规律,由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察分析归纳形成概念，采用讲练结合的方式使学生边讲边练及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对概念的理解.
教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入新课 让学生画出函数的图像y=2x, 老师巡视指导学生画图，提出问题：x由小变大时y如何变化 从对应值表观察x,y的变化的关系. 从形和数两方面认识x,y的变化的依存关系.为形成单调性的概念建立感性认识.
概念形成 由多媒体展示两个函数图象. 老师启发引导学生由图象的形转化成数的刻画和表达x,y的变化关系.我们可以看到:当自变量在实数集内由小变大时,函数y=2x的值也随着逐渐变大,而在区间上它的函数值逐渐减小,在区间上又逐渐增大.为了刻画函数的这种增,减性质我们引入增函数和减函数的概念.学生看书p44,给出定义. 由实例得到函数单调性形和数的特征认识抽象形成单调性的概念.
概念深化 强调函数的单调性研究的主要是函数局部的性质，这一性质反映了函数在某一区间上的自变量x与因变量y之间所依存的大小变化关系.在图象上反映为图象的变化趋势.定义中的A,B两点横坐标是区间上任意选取的. 老师设计以下问题组织学生思考1.单调区间和定义域的关系是什么 2.定义中的与单调区间的关系.你是如何理解“任意”两字的？3.如何判定函数的单调性 使学生明确单调性是函数的局部性质.
举例 例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。解：函数的单调区间有，其中在区间，上是减函数，在区间上是增函数.例2、证明函数在R上是增函数.证明：设是R上的任意两个实数，且，则，所以，在R上是增函数。例3、证明函数在上是减函数。(学生练习)证明：设是上的任意两个实数，且，则由，得，且于是所以，在上是减函数练习巩固(1)达标题: 1) 的单调区_________ 2) 的单调区_________ 3) 的单调区_________(2)提高题; 4) 函数,下列论述错误的是-----------( ) A.单调性只与有关. B.不论,还是,函数的单调性不变 . C.在上单调增的前提是. D.当时,函数在上增加. 5) 函数在上增加,则实数的取值范围是__________________ 6) 讨论函数的单调性.5．归纳你所学习过的函数的单调性. 学生观察图象独立完成解答.老师给出解答过程.以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？老师板书通过例2,例3归纳总结函数单调性的步骤.（1） 取值（2） 计算、（3） 对比符号（4） 结论 1 单调区间的书写2. 各单调区间之间的关系3.函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.用单调性的定义证明函数单调性的书写格式.
归纳小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.2.如果函数的单调增(减)区间由两个(或两个以上)组成的不能用并集符号连接,此时用“和”字或用“,”号连接.3.根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设,是给定区间内的任意两个值，且<；⑵作差－，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断－的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据－的符号确定其增减性. 学生试着总结归纳老师给以补充 锻炼学生的归纳总结能力.
布置作业 :P46A练习 P78 A /12 P79/20
板书设计;
一.复习引入二.函数的单调性画图例题1.例题2例题3三.巩固练习四.小结五.作业.
2.1.4函数奇偶性
一、教学目标
1.知识目标：理解奇偶函数的的概念，学会用定义判断函数的奇偶性，掌握奇偶函数的性质简化图像画法；.
2.能力目标：培养培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力、化归转化能力；
3.情感目标：培养坚忍不拔的意志，培养发现问题和提出问题的意识、善于独立思考的习惯，体会事物之间普遍联系的辩证观点。
二、教学重点、难点
重点：奇偶函数的概念。
难点：奇偶函数的判断及图像的性质。
三、教学方法
本节课采用启发式教学方法，由特殊到一般，由具体到抽象，由数到形再由形到数，并运用类比迁移的方法，从而使学生理解奇偶函数的的概念，学会用定义判断函数的奇偶性。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 复习轴对称图形与中心对称图形的定义。P(x,y)关于y轴对称的点坐标为_______；P(x,y) 关于原点对称的点坐标为_______. 教师提出问题，学生回答。 为下面学习奇偶函数的图像特征做铺垫。
概念形成 利用列表，描点，连线的方法分别画出，的图像。2. 利用几何画板动态演示上述函数图像上的点的对称性的特征。总结出，3.偶函数的定义：设函数的定义域为D，如果对于D内任意 教师提出问题：分别观察上述两函数的列表与图像，比较它们有何共同特征？学生讨论后回答：由列表发现自变量互为相反数时，函数值相等；由图像可以发现上述两函数图像关于原点对称。2.教师利用几何画板动态演示上述特征，学生观察出两函数的共同特征：，。3.教师归纳：像，的函数我们称之为偶函数。学生讨论后师生 1.学生动手列表，描点，连线，并通过问题的提出引导学生从数与形的不同角度认识两函数的共同特征。进一步加深认识，验证更具有一般性，从而对列表的特殊性进行了进一步的推广。通过实例，由特殊到一般的研究方法形成概念，学生会感到很自然。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
一个x，都有，则函数就叫做偶函数；且偶函数图像关于y轴对称。请学生举出几个偶函数的例子。类似于上述研究方法：利用列表，描点，连线的方法分别画出，的图像。通过相同的研究方法由学生自主总结出奇函数的概念及图像性质。（略） 共同完善偶函数的定义。5．学生先自主研究再进行交流，教师进行指导，师生共同总结出奇函数的概念。 5.因为学生有了研究偶函数的过程体验，所以学生完全有能力完成奇函数概念形成的研究。有利于培养学生类比迁移能力。
应用举例与练习 例1 P48例1例2 P48例2课堂练习P49练习A1~2 选取例1（1）由学生分析思路，教师板演规范过程。（2）~（4）由学生独立完成，教师适时指导，发现问题，进行总结强调分析。2. 例2 由学生分析设计化图方案，并比较各方案的优劣。从而找出较为简洁的作图方案。3.巩固例1、例2 巩固函数奇偶性的定义。2. 巩固奇偶函数图像性质的应用。
概念提升 函数奇偶性是反应函数的整体性质。（体会“任意”的含义）奇偶函数的定义域的特征:关于原点对称。奇函数的图像关于原点成中心对称图形，反之亦然。偶函数的图像关于轴成轴对称图形对称，反之亦然。 教师提出问题;1. 函数奇偶性定义中 “任意”指的是什么？2.-x与x在数轴上有何几何特征？对于奇偶函数的定义域有何要求？3.指出P（x, ）与和在平面直角坐标系中的对称关系。 1.认识函数奇偶性是反应函数的整体性质。2.判断函数奇偶性首先判断函数定义域是否关于原点对称。3.由具体到抽象，特殊到一般，使学生能对奇偶函数性质有理性的认识。
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
归纳小结 从知识和研究问题的方法总结本节课内容。 学生总结反思。 关注学生的情感。
课后思考与作业 思考：1. 是奇函数还是偶函数？为什么？2.函数只有奇函数、偶函数两种类型吗？请举例说明。作业：P49练习A13~5；B2选做题：P53习题4，5 学生课下思考，下节交流。 巩固本节内容
课后记
以上内容由小组九名成员合作完成，小组成员名单如下：
北京二十中学 李久省
北京二十中学 王晓青
北京二十中学 何棋
北京二十中学 伊红旗
北京二十中学 黄延林
北京矿业学院附属中学 赫秀辉
北京矿业学院附属中学 关浩军
北京矿业学院附属中学 李淑艳
北京矿业学院附属中学 刘兴云
x
y
0
-5
5
x
y
-5
5第十一学时 函数的应用（Ⅱ）（方案一）
（一）教学目标
1、知识目标：能从简单的实际问题中抽象出对应函数关系式，利用指数函数、对数函数模型解决实际问题。
2、能力目标：在解决生活实际问题的过程中初步体会函数建立模型的方法和过程。
3、情感目标：通过利用函数模型解决广泛实际问题，如：人口增长问题、经济学中、物理学中的问题的研究，让学生了解指数函数、对数函数模型与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用，培养学生的应用意识。
（二）教学重点难点
教学重点：通过利用指数函数及对数函数解决实际问题，加强对两个函数性质的进一步理解。
教学难点：建立函数模型的方法及过程。
（三）教学方法
本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 指数函数概念及性质、对数函数概念及性质。 教师提问，学生回答。 温故知新，激发兴趣
应用举例 在假定条件下对我国人口增长问题的探讨，是对指数函数理想模型的应用例1、据国家统计局发布的“2005年全国1％人口抽样调查主要数据公报”，2005年年末，我国总人口约为14亿（未包括中国香港、中国澳门、中国台湾省人口数）。与2000年11月1日零时第五次全国人口普查的总人口相比，人口年平均增长0.63％。假设人口的年增长控制在这一水平，问哪一年我国人口总数超过16亿？ 教师提出问题，让学生读题，找关键字句，联想学过的数学模型，求出关系式。学生根据要求完成例1 课本提供的例题从时间上有些不太合适宜，为了更贴近现实，建议对题目作时间和数据的修改（如左例1）。这一修改不影响所考察的内容，但更能激发学生对此问题的关注程度，从而更好的理解函数模型的作用。
解题过程：理清关系，抽象出指数函数模型。建立方程，求解方程。指导学生应用计算器计算。求近似值，作答。 学生总结，教师完善。 培养学生分析归纳、概括总结能力，从而进一步体验解应用体的规律和方法。
应用举例 计算逾期支取定期储蓄（到期后自动转期）利息的实际问题，是指数函数模型的实际应用。例2、有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5年后的本利和是多少？（精确到0.01元） 教师举例解释复利就、本金、每期利率、本利和、存期等概念，让学生读题列出第一问函数关系式；教师设问函数定义域；第二问直接让学生解答，提醒学生应用计算器并注意结果取精确值。 较例1而言，例2体现了由具体到一般的思想，加深了对指数函数模型的认识。注意引导学生讨论函数的定义域，深化对函数的进一步认识。
解题方法：1、读题，抓关键词；2、抽象成数学模型；3、求出数学模型的解；4、作答。 学生总结，教师完善 培养学生分析归纳、概括能力。
指数函数模型在物理学中的应用课堂练习：一种放射性元素，最初的质量为500克，按每年10%衰减：求t年后，这种放射性元素质量w的表达式；由求出的函数表达式，求出这种放射性元素的半衰期。（精确到0.1） 教师解释放射性元素的衰变以及半衰期等概念，让学生自己读题解答。 让学生进一步巩固消化数学建模的思想及指数函数的性质。
4、四个量之间关系的建立，知三求一例3、一种放射性元素最初的质量为500克，7年后质量为原来的一半，问每年的衰减率为多少？ 让学生上台解答，教师完善 提高学生灵活解答问题的能力
巩固练习 课堂练习：教材第115页习题3-4（A）第1，5题。 学生练习，师生点评 巩固本节所学知识
归纳小结 课堂小结解决函数应用问题的步骤：读题---列式----解答2、回顾指数函数的性质及应用 学生总结，教师完善 使学生养成归纳总结的好习惯，使学生初步掌握数学建模的基本过程。
布置作业 层次一：教材115页习题3-4（B）第1，2，4。层次二：教材115页习题3-4(A)第3题，(B)第3题 层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。 使学生进一步巩固和应用所学知识。
第十一学时 函数的应用（Ⅱ）（方案二）
（一）教学目标
1、知识目标：(1)能从简单的实际问题中抽象出对应函数关系式，利用指数函数、对数函数模型解决实际问题。(2)学会函数拟合的基本过程及掌握待定系数法的解题方法。
2、能力目标：在解决生活实际问题的过程中初步掌握函数建立模型的方法和过程及运用现代技术解决实际问题的能力。
3、情感目标：通过利用函数模型解决广泛的实际问题，让学生了解指数函数、对数函数模型与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用，培养学生的应用意识。激发学生的学习兴趣及发展学生的创新精神和实践能力。
（二）教学重点难点
教学重点：掌握函数拟合的基本过程。
教学难点：建立函数模型的方法及过程。
（三）教学方法
本节内容主要是例题教学，因此采用学生探究解题方法，总结解题规律，教师启发诱导的方法进行教学。及利用多媒体辅助教学手段，引导学生学生思考、探索，在解决问题中建构新知。
（四）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 指数函数概念及性质、对数函数概念及性质。 教师提问，学生回答。 温故知新，激发兴趣
应用举例 计算逾期支取定期储蓄（到期后自动转期）利息的实际问题，是指数函数模型的实际应用。例1、有一种储蓄按复利计算利息，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y随存期x变化的函数式。如果存入本金1000元，每期利率为2.25%,试计算5年后的本利和是多少？（精确到0.01元） 教师举例解释复利、本金、每期利率、本利和、存期等概念，让学生读题列出第一问函数关系式；教师设问函数定义域；第二问直接让学生解答，提醒学生应用计算器并注意结果取精确值。 加深对指数函数模型的认识。注意引导学生讨论函数的定义域，深化对函数的进一步认识。
解题方法：1、读题，抓关键词；2、抽象成数学模型；3、求出数学模型的解；4、作答。 学生总结，教师完善 培养学生分析归纳、概括能力。
2、体会模拟函数思想例2、某厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.33万件,为了估测以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的产量与月份x的关系，模拟函数可以为二次函数或函数y=a.b+c(a,b,c为常数)。已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。 引导学生列出方程组，求解确定函数解析式。 以工厂产量问题为背景，涉及产品预测以哪种函数模型为佳，考察了运用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，以及待定系数法求解析式和分析比较与估算能力、
解题方法：1、运用待定系数法求出两种函数的表达式2、利用具体数据检验模型的合理性。 让学生上台解答，教师完善
3。函数拟合实例例3、以下是某地区不同身高的未成年男性的体重平均值表：身高/cm60708090100110一6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8031.1138.8547.2555.05根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数中选择一种函数，使他比较接近的反映出该地区未成年男性体重y关于身高x的函数关系？是求出这个函数的解析式若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区某中学一男生身高为1.75cm，体重为78kg,他的体重是否正常？解题方法：借助图形计算器绘制图像根据图像判断应当选择哪种模型；根据已知数据求出待定系数，求出所选函数解析式。4．验证函数模型是否符合实际。 学生交流，合作完成散点图，教师引导。 进一步体会函数拟合的过程，提高学生解决实际问题的能力。
巩固练习 课堂自学：教材第113页探索与研究 学生练习，师生点评 巩固本节所学知识
归纳小结 课堂小结解决函数应用问题的步骤：读题---列式----解答2、函数拟合是函数建模的一种。根据收集到的数据，画出散点图，然后通过观察图像判断问题所适用的函数模型，利用计算机或计算器的数据拟合功能得出函数的解析式，再用得到的函数模型解决相应的问题，这是函数拟合的基本过程。 体会函数拟合的过程。 学生总结，教师完善 使学生养成归纳总结的好习惯，使学生初步掌握数学建模的基本过程。
布置作业 层次一：教材115页习题3-4（B）第1，2，4。层次二：教材115页习题3-4(A)第3题，(B)第3题 层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。 使学生进一步巩固和应用所学知识。
第十二学时 实习作业
一、学习目标
1．通过查找资料，自主学习，使学生在寻求函数发展的历史轨迹中，领会数学的人文价值、科学价值，提高自身的文化素养；
2．通过在现实生产、生活中以及所学其他学科需寻找函数实例，使学生体会函数就在身边，感受数学的重要性和应用的广泛性，激发学习兴趣，增强学好数学的信心，培养理论联系实际的能力；
3．通过寻找问题、采集数据、函数拟合、解决问题的过程，使学生了解和体会科学研究的一般过程，学习掌握收集、调查、归纳信息的方法.学生初步体会数学建模的思想和方法，激发对数学创新原动力的认识，提高应用意识和应用能力.
4、学生在用函数的思想和方法理解和处理现实生活中的简单问题时，进一步树立事物间相互联系的辩证观.
二、重点难点
实习重点：参加课外活动，调查分析，从实际问题中发现函数的过程.体会数学的科学价值、应用价值、人文价值.
实习难点：查找、收集资料的方法，理解数学建模的思想和方法，选择运用恰当的信息技术帮助自己解决有关问题.
三、教学内容安排
（一）实习任务
第一类任务：调查函数概念的形成与发展的历程，为函数编一部小史.寻求函数发展的历史轨迹，领会数学的人文价值、科学价值.
参考建议：小组中分工到个人，分别收集17世纪对函数研究的相关史料，如笛卡尔、牛顿、莱布尼兹伯努力、欧拉、罗巴切夫斯基、狄利克雷，李善兰等数学家对变量关系研究的材料（包括当时的社会背景，他们的研究成果及其对数学发展的贡献，他们的科学精神、科学方法等），最后对查找的材料进行筛选并梳理成小论文.
第二类任务：寻找现实生产、生活中的函数实例，体会函数就在身边.
1．从所学的物理、化学等学科知识中寻找函数，并用函数的观点理解和解释相关学科现象；
2、调查北京地区个人所得税的征收政策，用函数的三种不同表示方式呈现，根据所得信息，帮助自己的父母计算应纳税金额，尝试着询问某人的纳税金额，并估算他的实际收入水平；
3．调查北京地区出租车计价方法（可以忽略停车等候），用函数的三种不同表示方式呈现，根据所得信息，计算从你家到首都机场的打车费用，是否存在着最佳打车方案？询问某人的打车花费，并估算他的行驶里程；
4．走进商场或银行，寻找可能的函数关系，提出自己感兴趣的问题，并尝试解决.
第三类任务：寻找问题、采集数据、函数拟合、解决问题，体会数学建模的思想和方法.
1．研究“报纸能叠多少次？”，每次将报纸对折，测量厚度和面积，分别寻找厚度与折叠次数、面积与折叠次数的函数关系，你能发现什么？估计报纸能折多少次？
2．选择一个弹簧，寻找弹簧长度与所挂重物质量的关系；
3．收集若干年的全国人口数据，寻找人口数与时间的函数关系，画出人口增长曲线，并估计2008年我国人口数，给出你的建议（让学生理解国情）；
4．研究某一品牌卫生纸长度
选择某一品牌的卫生纸，按一定纸卷厚度间隔记录相应的卫生纸长度，建立这一品牌卫生纸长度与厚度的函数关系，尝试着估计这一品牌卫生纸每卷的长度；
5．调查北京近20年8月平均温度变化的数据，研究温度与时间之间的函数关系，并对2008年奥运期间的气温做出自己的预测.写出你的发现，说明可能原因以及你的解决办法（全球气候变暖）；
6．寻找你感兴趣的其他问题，建立函数关系，并尝试解决问题.
（二）实习过程建议
1．自愿结合，3至5人组成一个实习小组；
2．根据喜好从实习任务中任意一类中选择一个实习任务；
3．明确每个人的分工关系，制定实习计划；
4．收集数据，拟合函数，解决问题；
5．书写小论文或实习报告.
对于第二和第三类实习任务，实习报告呈现形式建议如下：
实习报告
班级 完成时间
小组成员 主要工作与贡献
选择的问题阐述
实习的过程步骤
收集的数据
对数据的分析和结果
对结果的说明与反思
参考文献
实习感受及自我评价
教师评价意见
5．以组为单位，选派代表，报告研究成果，交流体会；
6．小组相互评价，并选出优秀报告在班级内的指定区域进行一周交流展示.
四、教学资源建议
1．参考各种数学史文献，或网上资料；
2．参考数学建模、课题学习相关资料；
3．选用网络、电脑软件和其他技术支持.
五、教学方法与学习指导策略建议
本教学内容应选择学生利用所学知识可以理解的实习内容，特别注重学生的参与过程，关注学生在完成过程中的情感变化，对于实习结束后的反思和总结要给予足够的重视.
1．鼓励学生通过与他人的分工合作完成相应的任务；
2．留给学生充足的实习时间，如一周或更多；
3．注意指导学生查找和收集数据的方法，以及数据处理的方法；
4．指导学生恰当选用数学软件和其他信息技术，辅助完成实习任务；
5．对实习过程中学生可能遇到的困难和问题应有一定认识，并及时给予帮助.
六、评价建议
只要学生通过调查分析得出的数据和结论，教师都要予以肯定，因为生活中的函数问题往往比较复杂，受多种变量的影响，教育学生尊重事实和实验结果，培养学生实事求是的态度。注重评价的多种方式（自评、学生互评、教师评价、家长评价）.课题 §3.2.1 对数及其运算（一）
（一）学习目标
知识与技能：理解对数的概念，能根据对数概念进行指数与对数之间的互化；理解对数恒等式及对数性质；熟练运用计算器求一个正实数的常用对数。
过程与方法：通过对数概念的学习，培养学生从特殊到一般的概括思维能力，渗透化归的思想。
情感、态度与价值观：通过对数概念的学习，培养学生对立统一，相互联系，相互转化的思想。
（二）重点难点
重点：对数的定义
难点：对数的概念、对数的符号表示
（三）教学内容安排
1．复习引入
细胞分裂次后，细胞个数为；给定分裂次数，可求出细胞分裂后的个数，
分裂次数 1 2 3 4 5 6
细胞个数 2 4
实际问题中，常需要由细胞分裂后的个数，计算分裂的次数，
分裂次数 … …
细胞个数 … 8 32 64 128 256 …
又如指数式中，已知底数9和幂的值，求指数，怎样求呢？
2．新授内容
在指数函数中，对实数集R内的每一个值,在正实数集内都有唯一的值和它对应；反之，对正实数集内的每一个确定的值,在R内都有唯一的值和它对应；我们把幂指数叫做以为底 的对数。
定义：一般地，对于指数式 ，我们把数 b叫做以为底 N的对数，记作 ，读作“数 b等于以为底 N的对数”，a叫做对数的底数，N叫做真数。
学生举例
例如： ;
;
探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）
⑵，
∵对任意 且 , 都有 ∴
同样易知：
⑶对数恒等式
如果把 中的 b写成 , 则有
⑷底数的取值范围；真数的取值范围范围。
⑸常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。为了简便,N的常用对数简记作lgN。
例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.
3、讲授范例
例1将下列指数式写成对数式：
（1）=625 （2）= （3）=27 (4) =5.73
例2 将下列对数式写成指数式：
（1）； （2）128=-7；
（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303
例3计算：（1）； （2）128=； （3）lg0.01；
（4） 100 （５）1 （６）
例4利用科学计算器求对数（精确到0.0001）
1112； 0.668； 396； 0.0345
4、课堂练习：巩固练习（课本第95、96页练习A）
5、小结
6、课后作业：课本第95、96页练习B
（四）教学资源建议
对数既是一个重要的概念，又是一种重要的运算，而且它是与指数概念紧密相连的．它们是对同一关系从不同角度的刻画，表示为：当时，．所以指数式中的底数，指数，幂与对数式中的底数，对数，真数的关系可以表示如下：
本节的教学重点是对数的定义；对数作为一种运算，由引出，在这个式子中，已知一个数和它的指数，求幂的运算就是指数运算；而已知一个数和它的幂，求指数的运算就是对数运算(而已知指数和幂求这个数的运算就是开方运算)；所以从方程角度来看待的话，这个式子有三个量，知二求一．恰好可以构成以上三种运算，所以引入对数运算是很自然的，也是很重要的，也就完成了对的全面认识
（五）教学方法与学习指导策略建议
对于对数概念的学习，一定要紧紧抓住与指数之间的关系，首先从指数式中理解底数和真数的要求；其次对于对数的性质及零和负数没有对数的理解，也可以通过指数式来证明、验证；在理解对数概念后能完成指数式和对数式的互化。
对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式与指数形式的互化又是解决问题的重要手段
课题 §3.2.1 对数及其运算（二）
（一）学习目标
知识与技能：理解推导对数运算法则的依据和过程，掌握对数运算法则；能较熟练地运用对数运算法则解决问题
过程与方法：通过对数运算法则的探究及推导过程，培养学生的合情推理能力、演绎归纳的数学思想方法；
情感、态度与价值观：通过合情推理和演绎归纳的思想运用，培养学生相互联系相互转化以及从特殊到一般的辩证唯物主义观点，以及大胆探索、实事求是的科学精神。
（二）重点难点
重点：对数运算法则及推导、应用
难点：对数运算法则的探究与证明.
（三）教学内容安排
1．复习引入
如果看到这个式子会有何联想
由学生回答(1) (2) (3) (4)．
从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则．
对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则．
由学生回答后教师可用投影仪打出让学生看：，，．
2．新授内容
直接提出课题：若是否成立
由学生讨论并举出实例说明其不成立，教师肯定结论的正确，再提出
让学生探究有什么规律 由学生回答应有成立．
现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢 你学过哪些与之相关的证明依据呢
学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书．
证明：设则，由指数运算法则
得
，
即． (板书)
法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识：
(1) 公式成立的条件是什么 (由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)．
(2)能用文字语言叙述这条法则：两个正因数的积的对数等于同一底数的各因数对数的和．
(3)若真数是三个正数，结果会怎样 很容易可得． (条件同前)
(4)利用法则完成下面的运算：(1) (2) (3)
由学生总结法则从左到右使用运算的级别降低了，从右到左运算是升级运算，要求运算从双向把握．
提出新问题：
．
可由学生说出．得到大家认可后，再让学生完成证明．
证明：设则，由指数运算法则得
．
教师在肯定其证明过程的同时，提出是否还有其它的证明方法 能否用上刚才的结论
有的学生可能会提出把看成再用法则，但无法解决计算问题，再引导学生如何回避的问题．经思考可以得到如下证法
．或证明如下
，再移项可得证．以上两种证明方法都体现了化归的思想，而且后面的证法中使用的拆分技巧“化减为加”也是会经常用到的．最后板书法则2，并让学生用文字语言叙述法则2．(两个正因数的商的对数等于同一底数的各因数对数的差．)
请学生完成下面的计算： (1) (2)．
提出新问题：
学生在说出结论的同时就可给出证明如下：
设则，．如学生思考是否还有其它证明方法，可在课下研究．
将三条法则写在一起，并与指数的法则进行对比．然后要求学生从以下几个方面认识法则
积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
(1) 了解法则的由来．(怎么证)
(2) 掌握法则的内容．(用符号语言和文字语言叙述)
(3) 法则使用的条件．(使每一个对数都有意义)
(4) 法则的功能．(要求能正反使用)
说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式。
①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……
②有时逆向运用公式：如
③真数的取值范围必须是：
是不成立的； 是不成立的
④对公式容易错误记忆，要特别注意：
，
3、讲授范例
例1用，，表示下列各式：
解略
例2计算：
（1） （2） （×） （3） （4）
解略
4、课堂练习：课本第99、100页练习A
5、小结
6、课后作业课本第99、100页练习B
（四）教学资源建议
对数作为一种运算，重要的是把握运算法则，以便正确完成各种运算，由于对数与指数在概念上相通，使得对数法则的推导应借助指数运算法则来完成，推导过程又加深了指对关系的认识，自然应成为本节的重点，特别予以关注．
（五）教学方法与学习指导策略建议
对于运算法则的探究，可以通过对具体例子的提出，让形式的认识由感性上升到理性，由特殊到一般归纳出法则，再利用指数式与对数式的关系完成证明，而其他法则的证明应引导学生利用已证结论完成，强化“用数学”的意识．
对运算法则的认识，首先可以类比指数运算法则对照记忆，其次强化法则使用的条件或者说成立的条件是保证左，右两边同时都有意义，因此要注意每一个对数式中字母的取值范围．最后还要让学生认清对数运算法则可使高一级的运算转化为低一级的运算，这样不仅加快了计算速度，也简化了计算方法，显示了对数计算的优越性．第十学时 幂函数
教材分析：
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。本课的教学重点是掌握指数是有理数的常见幂函数的定义﹑图象和性质，难点是幂函数的图象位置和形状变化。
幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。
为了更好的突出重点，组织学生用图形计算器画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数，只需重点掌握
这五个函数的图象和性质。
学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。
学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习，去总结发现幂函数的定义域﹑单调性﹑奇偶性，并进一步利用性质比较幂的大小。
一、教学目标
1．知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念；结合幂函数的图象，了解它们的变化情况。
2．过程与方法：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生抽象概括和识图能力，数形结合思想运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。.
3．情感态度与价值观：通过引导学生参与作图、分析图象的过程，培养学生的探索精神，并在研究函数变化过程中渗透辩证唯物主义的观点。
二、教学重点、难点
1．重点：幂函数的概念、图象和性质.
2．难点：幂函数图象的位置和形状变化，并将图象的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质。
三、教学方法与手段
采用观察、分析、归纳、抽象、概括自主探索，合作交流的方法，通过图形计算器、多媒体课件、实物投影仪等辅助教学，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
概念形成 问题1：如果小明买了每千克1元的水果w千克，那么他需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（总结：根据函数的定义可知，这里p是w的函数）问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数。问题3：如果正方体的边长为a，那么正方体的体积,这里V是a的函数。问题4：如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长,这里a是S的函数问题5：如果某人秒内骑车行进了千米，那么他骑车的速度，这里v是t的函数。以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(生：右边指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给他们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）（生：变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（引入新课，书写课题）（一）幂函数的概念问题1：如果设自变量为,函数值为，你能根据以上的生活实例得到怎样的一些具体的函数式？（生：）问题2：这里所得到的函数是幂函数的几个典型代表，你能根据此给出幂函数的一般式吗？（生：）问题3：这就是幂函数的一般式，你能根据指数函数、对数函数的定义，给出幂函数的定义吗？幂函数的定义：一般地，我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中是自变量，是常数。例1：下列函数中，是幂函数的是A.y=－x B.y=3x2 C.y= D.y=2x E.y=x2+1问题：.幂函数与指数函数形式上相似，你能指出它们的本质区别吗？（结论：从它们的解析式来看有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数.）我们已经对幂函数的概念有了比较深刻的认识，根据我们前面学习指数函数、对数函数的学习经历，你认为我们下面应该研究什么呢？（研究图象和性质） 学生思考、回答，教师总结学生思考回答，教师板演。组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论 通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。培养学生观察、归纳能力。通过例题和问题明确本质，加深对概念的认识
深化概念 （二）几个常见幂函数的图象和性质在初中我们已经学习了幂函数的图象和性质，请同学们在同一坐标系中画出它们的图象。（学生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生作出函数图象）.【探究一】利用图形计算器在同一坐标系中画出的图象。问题1：观察这些函数的图象，将你发现的结论写在下表内.y =xy=x2y=x3y=x－1y=xy=x-2定义域值 域奇偶性单调性定 点图象位 置【探究二】根据上表的内容并结合图象，试总结函数：的共同性质：函数的图象都过点函数在上单调递增；归纳：幂函数图象的基本特征是，当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。引申：请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况，探讨时幂函数图象的基本特征。归纳： 时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。 （要求利用有效关键点画简图）对于知识有遗忘的学生，教师可引导学生列表计算，描点、作图。教师指导学生用图形计算器作图，师生共同完成下列表格的填写让学生交流，教师结合学生的回答组织学生总结出性质：可以让学生利用图形计算器画更多个指数大于零的幂函数，加深对性质的记忆可以让学生利用图形计算器画更多个指数小于零的幂函数图象去研究） 高中阶段学生学习的函数都可以由基本函数复合生成，学生必须熟练掌握基本函数的图象。通过作图培养学生的动手实践能力培养学生的看图、分析图象的能力，培养学生的归纳、概括、总结的能力，让学生自主探索，自主学习。培养学生的归纳、概括、自主探索能力，
应用举例 例1．比较下列各组中两个数的大小：（在横线上填上“<”或“>”） （1）3.14________π； *（2）（－0.38）3________（－0.39）3；（3）________；*（4）________；分析：利用考察其相对应的幂函数和指数函数来比较大小（第一象限利用性质，其余－象限利用函数奇偶性与单调性的关系）解略例2．讨论下列幂函数的定义域、奇偶性，作出他们的简图，根据图象说明函数的单调性。（1） （2）解略解略【探究三】教师指导学生利用图形计算器辅助完成课本P109 探究与讨论：（1）在幂函数y=xα中，如果α是正偶数（α=2n，n为非零自然数），如α=2，4，6，…，这一类函数具有哪些重要性质？（2）在幂函数y=xα中，如果是正奇数（α=2n－1，n为非零自然数），如α=1，3，5，…，这一类函数具有哪些重要性质？（3）幂函数y=xα，x∈［0，+∞），α＞1与0＜α＜1的图象有何不同？【探究四】教师指导学生利用图形计算器辅助完成课本P110习题3-3B 4题。 学生先思考，教师分析指导学生建立幂指函数模型，利用已学习的函数性质比较大小，最后教师可以指导学生用图形计算器检验结论。教师引导学生用代数方法分析定义域、奇偶性，然后利用对称性画出简图，根据图象解决单调性问题。（分小组完成） 本例题的作用在于强化学生对幂指函数概念的理解，培养学生构造函数的意识和利用性质解决问题的能力，同时加深对幂函数性质的理解。不断强化重复重要知识，培养学生养成良好的学习函数的习惯。培养学生自主探索，合作学习习惯。培养学生敢想、敢说的精神。训练学生的发散思维
归纳小结 1.幂函数的概念以及它和指数函数表达式的区别.2.常见幂函数的图象和性质.3.幂值的大小比较方法.
布置作业 ㈠课本第110页习题3-3 A第2、3、4题. 习题3-3 B第1题㈡思考题：根据下列条件对于幂函数的有关性质的叙述，分别指出幂函数的图象具有下列特点之一时的的值，其中（1）图象过原点，且随的增大而上升；（2）图象不过原点，不与坐标轴相交，且随的增大而下降；（3）图象关于轴对称，且与坐标轴相交；（4）图象关于轴对称，但不与坐标轴相交；（5）图象关于原点对称，且过原点；（6）图象关于原点对称，但不过原点；3.2.3指数函数与对数函数的关系
一、教学目标：
1． 知识与技能
（1）巩固复习指数函数、对数函数的概念和图象性质
（2）通过对比两个函数的解析式与图象间的关系，初步对反函数概念进行解释和直观理解
（3）理解反函数的概念和互为反函数的函数图象间的关系
（4）应用反函数的概念求已知函数的反函数
（5）通过反函数知识的学习加深对指数函数、对数函数的相互关系的理解
2．过程与方法
（1）通过对指数函数、对数函数图象的观察与对比，发现两个函数间的特殊的对称规律
（2）从图象特征入手，进而对其解析式进行理性的分析，从而归纳出反函数的定义
（3）以指、对函数为载体加深对反函数定义及图象性质的理解
（4）应用所学的知识求解一些简单函数的反函数
3．情感、态度与价值观
（1）通过指、对函数图象的对比，引导学生体会数学研究中的发现问题、提出问题
（2）从函数的图象特征入手，进一步研究互为反函数的函数的解析式的特点，引导学生体会由表象到实质，由感性到理性的研究过程
（3）通过应用反函数知识，使学生体会由特殊到一般，再由一般到特殊的研究方法
（4）引导学生发现指、对函数的对立统一关系，并欣赏数形和谐的对称美
二、教学重点与难点：
教学重点：反函数的概念及互为反函数图象间的关系
教学难点：反函数的概念
三、教学方法：
以问题形式引导学生自主探究；
以小组讨论的形式引导学生互助学习，并展示其研究活动及研究成果
四、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 回顾指数函数和对数函数的概念在同一坐标系中做出简单指数函数、对数函数的图像（要求列表、描点、左图）（和一组； 一组） 教师提出问题，由学生独立完成 为学生进一步的观察、归纳做准备.
提出问题 底数互为倒数的指数函数图象有什么关系？底数互为倒数的对数函数图象有什么关系？同底的指数函数和对数函数图象之间有什么关系？关于对称的点的坐标有什么特点？试分析函数的图象间的关系及原因. 学生以小组讨论的形式展开活动，并展示其讨论成果 问题引导探究，引导学生发现问题、提出问题并尝试解决问题
分析探究 1．还原和一组的作图过程，分析该组函数对称关系的成因.由对数函数的定义可知，对数函数是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画的图象时，也是把指数函数的对应值表里的和的数值对换，而得到对数函数的对应值表，如下：表一 ．…-3-2-10123……1248…表二 ．…-3-2-10123……1248…2.类比上述方法分析两函数之间的关系，及其图象间的对称关系. 以教师引导为主，由学生分析及阐述，并归纳出对一般情况的分析方法及相关结论 对特殊函数的分析由表及里探寻问题的内在成因，展示问题探究的一般规律培养学生应用类比的方法处理问题的能力，以及由特殊到一般的归纳总结的能力
知识加深 函数之间有上述关系吗？ 你还能举出相应的例子吗？根据这些例子你能得到怎样更进一步的结论？ 以学生分析发言为主，教师作适度引导与点评 由实例引导学生发散思维，从而加深学生对反函数知识的理解
概念形成 1．反函数的概念：一般地，函数中x是自变量，y是x的函数，设它的定义域为A，值域为C，由可得，如果对于y在C中的任何一个值，通过，x在A中都有唯一的值和它对应，那么就表示x是自变量y的函数。这样的函数叫函数的反函数，记作：。习惯上，用x表示自变量，y表示函数，因此的反函数通常改写成：2．利用指、对函数的实例解读反函数的概念 PPT展示概念，以教师讲述为主以学生讨论发言为主 由特殊到一般，培养提升学生的概括能力由一般到特殊，加深对定义的理解
概念深化 ①明确反函数存在的条件：当一个函数是一一映射时函数有反函数，否则如等均无反函数② 与互为反函数。③的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域 2．奇函数若有反函数，则反函数仍是奇函数，偶函数若存在反函数，则其定义域为{0}；若函数是增（减）函数，则其反函数是增（减）函数。3．求反函数的步骤：由解出，注意由原函数定义域确定单值对应；交换，得；根据的值域，写出的定义域。 以教师讲授为主，加强师生互动 培养学生总结、抽象概括的能力
应用举例 例1：求下列函数的反函数：（1）； （2）例2：求下列函数的反函数：① ② ③ ④ 学生独立完成并展示，学生讲评 应用知识，加深理解
归纳小结 性质性质关系图像关于对称定义域指数定义域、值域互换对数值域指数对数特殊点指数横、纵坐标互换对数单调性指数单调性不变对数增减速度增减速度一快一慢 培养学生总结、归纳的习惯，同时加深对反函数知识及指、对函数知识的理解
布置作业 求下列函数的反函数：123435792．（1）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意实数a、b，都有f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的函数实例，你能说出这些函数具有哪些共同性质吗？3．教材第106页练习A、练习B 巩固知识、加深理解
课后反思 为什么同底的指数函数和对数函数的单调性一致？为什么同底的指数函数和对数函数的增减速度不同？函数与方程教学设计
农大附中 张晓东
一、教材分析
1．本单元的教学内容范围
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
2．本单元的教学内容在模块中的地位和作用
函数的应用是学习函数的主要目的之一。本模块安排了2.3, 2.4, 3.4三节函数应用的学习，2.3, 3.4节主要是关注函数在生活实践及其它领域中的应用，而本节内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给学生呈现了研究一个问题完整的思路和方法。本节内容不但揭示函数、方程、不等式等内容的横向联系，又体现螺旋上升的学习函数的纵向联系。在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用。函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用。
3．本单元教学内容的总体教学目标
（1）进一步了解函数的广泛应用
（2）结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数零点与方程根的联系
（3）根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求函数零点的近似解，了解这种方法是求函数零点近似解的常用方法
4．本单元的教学内容重点和难点分析
重点：理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或计算机用二分法求函数零点的近似解。
难点：函数零点的性质，二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。
5．其它相关问题
本单元的两节内容属于新增内容，涉及函数在数学内部的应用。大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用。课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，掌握分析、研究问题的方法大有好处。函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质，二次函数的相关知识，为本节的学习提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和巩固前面的知识，温故知新，体现了本套教材低起点，循序渐进，螺旋式上升的特色。再者，教材内容的呈现力图使学生在对二次函数的零点与方程的根的关系研究过程中体会由特殊到一般的思维方法；在经历用二分法求函数零点近似解的探索过程中,初步体会数形结合、逼近、算法等重要的数学思想方法；在经历无限逼近的过程中,感受整体与局部、定性与定量、精确与近似的对立统一辩证观，体会事物间相互转化的辩证思想；在数学阅读中了解数学发展史，了解数学文化；在批注中拓展知识。这也是课标强调对数学本质认识和注重提高学生的数学思维能力的体现。
二、本单元教学方式和教学方法的概述
本单元可以根据学生的情况分别采取以下教学方式：（1）根据“倡导积极主动、勇于探索的学习方式；注重信息技术与数学课程整合”理念和学生基础较好的实际情况，选用利用计算器或计算机自主探究、学习的方式进行教学。在教学中教师的作用是促使学生获得知识，形成能力，提炼思想方法。（2）根据学生基础较薄弱的实际和“注重提高学生的数学思维能力”的课程理念，选用师生互动下的讲授式教学模式。教师的讲要适度，不要代替学生的学，教师的作用放在启发和必要时提供帮助上。
三、本单元所需教学资源的概述
教师教学用书配套光盘1课件集锦中课件1210，教参中的“资源拓展”所提供的相关资料. 教材中的“练习”、“习题”。
四、本单元学时建议
2.4 函数与方程
2.4.1 函数的零点 1课时
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法 1课时
教案设计：
方案一
　　　　　　　　　　函数的零点
农大附中　毛春桃
一、教学目标
1、 知识与技能：
（1）理解函数零点的概念与性质，会求函数的零点。
（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的根之间的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
2、 过程与方法：
（1）在对二次函数的零点与方程根的关系研究过程中，体会由特殊到一般的思维方法。
（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透“数形结合”的思想方法。
3、 情感、态度与价值观：在函数与方程的联系中，让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想；在教学中让学生体验探究的过程、发现的乐趣。
二、教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。
三、教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 （1）二次方程是否有实根的判定方法。（2）二次函数的顶点坐标、对称轴方程等相关内容。 学生思考后回答 复习旧知，利于学生理解本节课的知识。
函数零点的概念 实例引入例1：已知函数，（1）当取何值时，（2）作出函数的简图。或是函数的零点。 问题一：观察函数的零点在其图像上的位置。学生动手解题，并观察思考，教师总结例1。 让学生感知知识发展的过程，了解函数零点与方程根的关系，渗透数形结合的思想。
函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点 问题二：结合引例给函数的零点下定义。学生思考后回答 培养学生类比的思想，让学生体会由特殊到一般的思维方法
二次函数零点判定 例2：已知函数，分别求函数的零点。 学生计算、画图后回答。 体验二次函数零点的各种情形，对一般二次函数零点的总结做出铺垫。
二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点 问题三：对于二次函数是否一定有零点？如何判定？学生讨论，小组代表发言。师生共同总结，并完成表格。 培养学生的归纳能力，让学生体验成功的快乐。利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
概念深化 深化概念引导学生回答下列问题：（1）如何求函数的零点？函数的零点与图像的关系。结合例1、例2指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。引伸：（2）如果函数在其定义域内为单调函数，则函数在其定义域内最多有几个零点？（3）如果偶函数的定义域为，且，那么函数在其定义域内的零点的个数有什么规律？对上奇函数呢？ 学生思考、回答，老师点评、总结（1）求函数的零点即为求出相应方程的解或函数图象与轴交点的横坐标。（2）单调函数在其定义域内最多有一个零点 进一步深化学生对函数零点概念的理解；理清函数与方程间的联系；让学生思考问题2、3不仅可以复习旧知识，而且让学生体验了函数图象与方程的关系，感受到“数形结合”在解题中的魅力。
函数零点的性质及应用 练习：求函数的零点，并指出时，的取值范围。 学生思考、回答。 为引出函数零点的性质作出铺垫
函数零点的性质及应用 5.二次函数零点的性质①二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。引伸：对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。引伸：二次函数的零点的应用可推广到一般函数。 结合例1，教师引导学生总结 引导学生初步了解函数零点的性质及应用，有利于培养学生观察、分析、归纳的能力，深化对函数零点的认识。
6.函数零点的应用例3.求函数的零点，并画出它的图像（1）学生求出函数的零点。（2）3个零点把轴分成4个区间。（3）由函数零点的性质，在每一个区间上所有函数值保持同号，启发学生分别在每一个区间内，取的一些值，根据点的变化趋势画出函数的图象。 学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。 渗透数形结合的思想，说明函数零点的应用。降低课本例题难度，主要考虑学生分组分解法分解因式的困难，对课本例题可布置学生按所讲例题的思路课后思考
7.课堂练习教材第72页练习A1（1）（4）（5），练习B1（２） 学生练习。 进一步巩固本节所学内容
归纳小结 8.课堂小结（1）一个定义（函数的零点）（2）二个性质（函数零点的性质）（3）三个思想（函数，特殊到一般，数形结合） 学生总结，教师补充完善。 让学生回顾本节所学知识与方法，使知识结构更系统、更完善。
课外拓展 函数在下列哪些整数间有零点①－2与－1之间②－1与0之间③0与1之间④1与2之间⑤2与3之间 学生课外思考 让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为学习新知识作准备。
布置作业 教材第72页练习A1（6）练习B1（1）（3），2 学生练习。 巩固所学内容。为下节课学习做准备。
补充练习：
1.若函数y= ax2-x-1只有一个零点，求实数a的零点。
2.若函数f(x)= x2-ax-b的两个零点是2和3，求函数g(x)=bx2-ax-1的零点。
3.若函数f(x)=x2+2x+a没有零点，求实数a的取值范围.
4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，求函数g(x)=bx2-ax的零点
5.若方程的两根分别在区间（0,1），（1,2）内，求的取值范围。
6.函数必有一个零点的区间是（ ）．
A．(-5, -4) B．(-4,3) 　　C．(-1, 0) D．(0,2)
方案二
函数的零点
温泉二中 杨冬香
1、 教学目标
（1）知识与技能：
了解函数零点与方程根的关系；能判断二次函数零点的存在性，掌握函数零点的
概念；会求简单函数的零点。
（2）、过程与方法：
由二次函数为载体探究方程的根与函数的零点的关系，以探究的方法发现在某区
间上图象连续的函数存在零点的判定方法；通过探讨函数零点性质的形成过程，
培养学生观察、归纳、探究的能力。
（3）、情感、态度、价值观：
体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归纳思想。在函数与方程的联
系中发展学生对定性与定量的认识，渗透事物整体与局部的关系，让学生初步体
会对立与统一的辩证思想。
教学重点、难点
重点：函数零点的概念及存在性的判定；函数零点的求法；
难点 ：发现与理解方程的根与函数零点的关系；探究发现函数存在零点的方法。
利用函数的零点作图；数学思想的渗透。
教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法较多。利用多媒体辅助教学。
教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 解方程情况实数根无实根对应函数图象与轴交点（1，0）无交点 学生思考后动笔填表 复习一元二次函数的有关知识，再次渗透数形结合的思想发动点
概念形成 提出问题：对于函数，，当取何值时，作出函数的简图。 结合引例给函数的零点下定义，观察图象与x轴交点的横坐标与方程根的大小关系。并引出函数零点概念。画图、思考、并归纳出结论：函数图象与x轴交点的个数等于对应方程根的个数；函数图象与轴的焦点的横坐标的大小与对应方程的根的大小相等。 它既是几个特殊的函数与方程，又具有很强的概括性，包括方程有两不相等的根、两相等的根、无根的情况，研究它们有利于培养学生思维的完整性，也为学生归纳方程与函数的关系铺好了台阶。
一、函数的零点的有关概念：1定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点。归纳：函数的零点并不是“点”，它不是以坐标的形式出现。2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．归纳：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 教师提出问题，学生思考回答，师生完善。思考：1、零点是不是点？2、零点是不是f(0)？ 此部分的设置一方面让学生理解函数零点的含义，另一方面通过对比让学生再次加深对二者关系的认识，使函数图象与x轴交点的横坐标到函数零点的概念转变，变得更自然、更易懂。通过对比教学揭示知识点之间的密切关系。理解点
概念深化 3、函数零点的求法：引导学生回答下列问题：（1）如何求函数的零点？（2）函数的零点与图像的关系。（3）函数的零点与方程的关系结合引例指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。Ⅰ：可以解方程而得到（代数法）；Ⅱ：可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．（几何法） 学生思考、回答、师生点评、总结。 遵循由浅入深、循序渐进的原则掌握点
练习巩固 例1：求函数的零点，并指出时，的取值范围。解略： 先学生练习，然后教师带领大家一起寻找方法，落实方法。 注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系：内化点
应用举例 4、归纳二次函数零点的判定二次函数的零点个数，二次方程的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点5、函数零点的性质（以二次函数为例）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。引伸：对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。 提问1：对于二次函数是否一定有零点？如何判定？提问2： 函数的零点有哪些特性？学生讨论，小组代表发言。师生共同总结，并完成表格。归纳出二次函数零点的性质。 从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．掌握点
应用举例 二、函数的零点的应用提出问题：本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，如果不是我们熟知的函数怎样求它的零点呢？ 例 求函数的零点，并画出它的图像解略：归纳：（1）利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。（2）根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。 可以借助计算器完成部分数据的计算学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。 巩固函数零点的求法，渗透二次以外的函数的零点情况。总结讨论二次函数的零点的存在情况本节的前半节一直以二次函数作为模本研究，此题是从特殊到一般的升华，也全面总结了二次函数零点情况，给学生一个清晰的解题思路。进而培养学生总结归纳能力。内化点
巩固练习 课堂练习教材第72页练习A 1（2）（4）B 1（1）（3） 学生练习。教师单独指导 进一步加深对函数零点的理解及掌握求法
拓展延伸 观察与思考：观察下面函数的图象填空：在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）．在区间上______(有/无)零点；_____0（＜或＞）． 归纳：你可以得出什么样的结论？ 由于时间的关系可以留作课下学生讨论交流完成课后练习。结论的得出为下节课的二分法作下铺垫 数学教学的新理念，就是想法设法在教学中培养学生的创新能力和探究意识，本组探究题目就是为了培养学生的探究能力，问题设计层层递进、层层加深。有助于学生理解概念，这样设计不仅符合学生的认知特点，也无形中给学生渗透从特殊到一般的方法与过程。
归纳小结 课堂小结知识方面学习了函数的零点的定义及其求法，利用函数的零点作函数的简图。总结归纳了函数零点的性质数学思想方法渗透了从特殊到一般、数形结合的思想。 学生总结，师生补充完善。
布置作业 教材第75页练习A1（1）2（2）3（2）5（1） 学生练习。
补充练习：
1、观察二次函数的图象：
在区间上有零点吗？______；_______，_______,
_____0（＜或＞）．
思考：若<0，那么函数在上一定有零点吗
在区间上有零点______；____0（＜或＞）．
思考：若，那么函数在[]上一定有零点吗
思考：若函数满足，在区间上一定有零点吗？
若函数满足，在区间上一定有零点吗？
2、求下列函数的零点：
（1）； （2）
3、求函数，并画出它的大致图象．
4、．利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）；
（2）．
方案三
函数的零点
—— 北京市第六十七中学 贾康康
一、教学目标
4、 知识与技能：
（1）理解函数零点的意义，会求函数的零点。
（2）能判断二次函数零点的存在性，了解函数的零点与方程的关系，初步形成用函数的观点处理问题的意识。
5、 过程与方法：
（1）以具体的二次函数为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出函数零点的概念，体会由特殊到一般的思维方法。
（2）通过由零点的性质作函数图像的过程及函数零点的性质的总结，渗透数形结合的思想方法。
6、 情感、态度与价值观：让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
2、 教学重点、难点
教学重点：函数零点的概念、求法及性质；
教学难点：函数零点的应用。
3、 教学方法
本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 一元二次方程是否有实根的判定方法二次函数的顶点坐标、对称轴方程等相关内容。 学生思考后回答 以旧引新，利于学生构建知识网络。为函数的零点判定及其应用作出铺垫。
函数零点的概念 实例引入例1：已知函数，当取何值时，作出函数的简图。或是函数的零点。 问题一：观察函数的零点在其图像上的位置。学生动手解题，并观察思考，教师总结引例。 让学生感知知识发展的过程，了解函数零点与方程根的关系，渗透数形结合的思想。
函数的零点一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点 问题二：结合引例给函数的零点下定义。教师提出问题，学生思考回答，师生完善。 培养学生归纳能力，让学生体会由特殊到一般的思维方法。
二次函数零点判定 引导学生填写下列表格： 一元二次方程二次函数函数图像方程的根图像与x轴交点(-1，0)（3，0） =1（1，0）无实根没有交点 问题三：引导学生填写表格，并思考对于二次函数如何求函数的零点？是否所有的二次函数都有零点 学生讨论，小组代表发言。 体验二次函数零点的各种情形，对一般二次函数零点的总结做出铺垫。
二次函数零点的判定二次函数的零点个数，方程的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点两个不相等的实根两个零点两个相等的实根一个二重零点无实根无零点 师生共同总结，并完成表格。 进一步深化学生对函数零点概念的理解。利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
函数零点性质及应用 练习：求函数的零点，并指出时，的取值范围。 学生思考、回答。 为引出零点的性质作出铺垫
二次函数零点的性质二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二次零点），函数值变号。相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。对任意函数，只要它的图像是连续不间断的，上述性质同样成立。二次函数的零点的应用利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图。② 根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。 结合引例，教师引导学生总结。 引导学生初步了解函数性质零点的性质及应用，有利于培养学生观察、分析、归纳的能力，深化对函数零点的认识。
例 求函数的零点，并画出它的图像总结步骤：（1）求函数的零点；（2）零点把x轴分成多个区间；（3）取点、列表；（4）描点、作图。 学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。 渗透数形结合的思想，说明函数零点的应用。
巩固练习 课堂练习教材第72页练习A1（1）（4）（5），练习B1（２） 学生练习。 进一步巩固本节所学内容
思考题：若，函数在区间上零点的存在情况。 课后练习。 让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为进一步学习新知识作准备。
归纳小结 课堂小结知识方面学习了函数的零点的定义、性质及其求法，利用函数的零点作函数的简图。数学思想方法主要有由特殊到一般的思想和数形结合的思想。 学生总结，师生补充完善。 让学生回顾本节所学知识与方法，使知识结构更系统、更完善。
布置作业 教材第72页练习A1（6）练习B1（1）（3） 学生练习。 让学生巩固所学内容。为下节课的学习做好准备。
教案：2.4.1函数的零点
北京农大附中 洪彬
一、教学目标：
1、知识与技能：了解函数的零点与方程根的关系。理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点。培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
2、过程与方法：通过描绘函数图像，分析零点的存在性. 体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。
3、情感态度与价值观：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学方法：
本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
四、教学流程：
五、教学过程：
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 （1）一元二次方程是否有实根的判定方法： （2）二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标，对称轴方程等相关内容。 学生思考后回答 以旧引新，利于学生建构知识网络。
实例引入引例：已知函数y=x2-x-6（1）当x取何值时，y=0？（2）作出函数的简图x=-2 或x=3是函数y=x2-x-6的零点。 问题：观察函数的零点在其图象上的位置。 学生动手解题，并观察思考，教师总结引例,引导学生解方程，画函数图象，分析方程的根与图象和轴交点坐标的关系。 让学生动手动脑来感知知识发生发展的过程，了解函数的零点和方程根的联系，提高作图与识图以及自主解决问题的能力，使学生养成独立思考的好习惯。通过数与形的结合说明函数图像与性质的关系。
概念引入 2、深化概念引导学生回答下列问题：①如何求函数的零点？②函数的零点与图象的关系。③结合引例指出函数、方程、不等式三者间存在的联系。 学生思考、回答，师生点评、总结。结合图像认真理解函数零点的意义，并对零点出现的条件进行思考，根据函数零点的意义探索其求法． 以问题研讨形式替代教师的说明，有利于学生对知识的掌握，并进一步深化对函数零点概念的理解。通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深认识
巩固练习 3、练习：求函数y=x2-2x+3的零点，并指出y>0,y<0时，x的取值范围。 学生练习 让学生进行模仿练习，能及时巩固所学知识与方法，也突出了对二次函数零点的应用。
概念形成 4、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点．函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．二次函数零点的判定二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表。判别式方程的根函数的零点△>0两个不相等的实根两个零点△=0两个相等的实根一个二重零点△<0无实根无零点 问题：对于二次函数y=ax2+bx+c是否一定有零点？如何判定？学生讨论，小组代表发言，师生共同总结，并完成表格。 通过函数零点概念的形成过程，让学生对零点的概念由初步的认识到掌握，并且对一般概念的形成过程有一个更深刻的认识。倡导学生合作学习，让学生体验成功的快乐，激发学生的学习兴趣，利用表格的形式，有利于学生对比记忆。
概念形成 5、二次函数零点的性质①二次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号。②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号。对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立。6、二次函数的零点的应用①利用二次函数的零点研究函数的性质，作出函数的简图；②根据函数的零点判断相邻两个零点间函数值的符号，观察函数的一些性质。 结合引例，教师引导学生总结。引导学生运用函数零点的意义探索二次函数零点的情况．根据函数零点的意义，探索研究二次函数的图像的性质，完全独立完成对二次函数零点情况的分析 ，总结概括形成结论，并进行交流。 结合引例，引导学生初步了解函数零点的性质及应用，既有利于突出重点，又有利于培养学生观察、分析、归纳的数学能力，同时也深化了对函数零点的认识。
应用举例 例 :求函数y=x3 2x2-x+2的零点，并画出它的图象。通过以上两例题你能总结出求函数零点的求法吗？引导学生归纳： （代数法）求方程的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 学生求出零点，教师引导，师生共同完成作图，并归纳作图的方法。例1，例2是两个类型，通过对比使学生能总结出一般的函数零点求法。培养学生的归纳概括能力及对数学问题的反思意识。 学生利用零点作图有一定的困难，故师生共同分析怎样列表、取值、画函数的简图，突出重点，解决难点。引导学生探索判断函数零点的方法，指出可以借助计算机或计算器来画函数的图象，结合图象确定零点所在的区间，然后利用函数单调性判断零点的个数．结合图象对函数有一个零点形成直观的认识．
巩固练习 7、课堂练习教材第72页练习A第1（2）（4）题，第2（1）题。 学生练习 进一步巩固本节所学内容
巩固练习 8、观察下面函数的图象 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）． 在区间上______(有/无)零点；·_____0（＜或＞）．由以上两步探索，小组讨论，你们可以得出什么样的结论？ 课后练习 让学生体验正确运用所学知识自主探求问题的方法，激发学生获取新知识的兴趣，为进一步学习新知识做准备。
归纳小结 课堂小结（1）知识方面学习了函数的零点的定义及其求法，利用函数的零点作函数的简图。（2）数学思想方法主要有转化的思想、数形结合的思想。 学生总结，师生补充完善。 让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，有利于发现教与学中存在的问题，并及时反馈纠正，使知识结构更系统、更完善。
布置作业 教材第72页练习B第1（3），2（2）题 学生练习 让学生巩固所学内容，为下节课的学习做好准备。
六．补充练习：
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
设计意图：结合图象考察零点所在的大致区间与个数，结合函数的单调性说明零点的个数；让学生认识到函数的图象及基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作用．培养动手，和分析图表的能力．列表，借助计算机或计算器来画函数的图象帮助分析．相对应例题给出一元四次函数及指数型的函数零点的探究，拓展学生的思维，以达到触类旁通。巩固学生这节课所学的知识，通过学生的作业反馈，来找出学生掌握不足的地方，再给予纠正，真正实现“学数学用数学”。
七．学生学习评价表：
“主动探究学习”模式把知识作为一种过程而非结果，肯定学生的学习是一种建构独特意义的过程，强调学生的主动参与，旨在提高学生的创新精神和创新能力。因此，评价决不是单一的、封闭的，而应该是一个开放的、多元的动态过程，它除了注重对学生的学习作评判之外，更主要的是不断地为学生的学习活动提供可资借鉴的资料，促进学生深入地更有效地进行主动探究学习。
1．坚持评价目标的全面性；
2．坚持评价内容的多维性；
3．坚持评价方式的多样性；
4．坚持评价主体的多元性；
5．坚持评价的发展性；
6．坚持评价的及时性．
评价主体 评价内容 评价等级（5、4、3） 总结评定
任课教师 1．善于观察，认真思考
2．善于表达，大胆实践
3．分析得当，解答具有合理性、条理性
4．作业完成良好
5．积极主动地面对困难
学生自身 1．主动探究，猜测验证
2．善于观察，大胆实验，勤于操作实践3．积极讨论，发表观点
（后附：本节课的教学设计）
函数的零点
北京农大附中 洪彬
1、 学习目标：
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系。
2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。培养学生对事物的观察、归纳能力和探究能力。
3、情感目标：培养学生的数形结合思想,渗透由抽象到具体思想,使学生理解动与静的辨证关系,在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值．让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想。
二、教学重点、难点：
重点是函数零点的概念及求法；难点是利用函数的零点作图。
三、教学内容安排：
2.4.1 函数的零点
1、本小节重点是理解函数零点的概念，判定二次函数零点的个数，会求函数的零点，能够借助计算器或数学软件用二分法求相应方程的近似解．难点是函数零点的应用。
2、函数的零点．教材以二次函数y＝x2-x-6为例，求出零点，并通过作图加以说明，从而给出了函数零点的概念，体现了由特殊到一般的思维方法．教学中，应引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念．值得注意的是：不是所有函数都有零点，如y＝1，y＝x2+1就不存在零点．
3、函数零点个数的判定．将二次函数y=ax2+bx+c的零点个数的判定，转化为二次方程ax2+bx+c＝0实根个数的判定，这是初中已学过的内容，可以由学生自己归纳总结.
4、零点的两条性质．教学时，应结合函数图象加以说明．这两条性质对其他连续函数也适用．
5、求三次函数的零点，并作出图象．求零点的关键是学生能正确地进行因式分解，而作出它的图象，可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再进行适当的取点．通过例题进一步总结求函数零点的方法，以及零点在作图中的应用．
教学流程：
四、教学资源建议：
1．利用TI计算器绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结．
可以利用TI图形计算器分析二次函数（供有条件的学校使用）
的函数值符号随在一定范围内变化而变化的特点．
利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
2．补充练习：
1．利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知f(x)=2x4－7x3－17x2+58x－24．，请探究方程的根．如果方程有根，指出每个根所在的区间（区间长度不超过1）．
3．已知f(x)=2（m+1）x2+4mx+2m－1：
（1）为何值时，函数的图象与轴有两个零点；
（2）如果函数至少有一个零点在原点右侧，求的值．
3．通过函数求值、函数的作图建立信息技术与数学的整合，培养学生使用计算机技术学习数学的习惯与技能。
培养师生使用计算机技术学习数学和讲授数学，现今变得非常紧迫和必要．在教学中，应当由教师制作课件进行演示，向师生使用数学软件学习数学和研究数学转变．教材向师生提供了三套软件：Scilab、工作表和几何画板。
五．教学方法与学习指导策略建议
1．教学方法：本节课是对初中内容的加深，学生以相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究，合作交流的教学方法为宜。
2．学习指导策略建议
（1）认知起点
建构主义的基本主张认为学习是一个积极主动的建构过程，学习者不是被动地接受外在信息，而是根据先前认知结构主动地有选择性地知觉外在信息，建构当前事物的意义，所以课程实施决不是教师给学生灌输知识、技能，也不是学生只被动地陷于接受、记忆、模仿和练习等低等而乏味的活动。高中数学课程应该是学生在自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式下，师生之间、学生之间进行愉快而有效的多边互动。所有这些活动都需要学生在知识起点方面有所准备。通过初中数学的学习，学生已经对一次函数、二次函数的性质与图像有了深刻了解，以此为基础课本在第二章《基本初等函数》介绍了指数函数、对数函数、幂函数的基本性质，并且要求学生能够运用计算机绘制它们的图像，此时学生已经对初等函数的本质属性、初等函数的图像与性质的联系有了较高层次的认识，所以在本节课提出函数零点的概念，不会显得突然，反而对学生的认知过程有很好的帮助。
（2）． 学习兴趣
有了良好的知识基础，学生的知识起点自然就会比较平顺的与本节课的内容进行衔接，这样学生的学习兴趣会得到的保障。另外，在现代化教学设备方面，我们配备了最型新TI计算器，而这种计算器的功能强大，可以帮助学生简单、准确地描绘函数图像，所以学生的兴趣又得到了的提高。其实这些都是次要的，重要的是学生对知识的渴望，这种对未知世界的好奇感可以指引他们的学习向着正确的方向发展。
（3）．学习障碍
本节课的学习障碍为零点概念的认识。零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与轴的位置关系得到的一个象形的概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以在概念的接受上有一点的障碍。
（4）．学习难度
新教材关注学生的学习兴趣和认知特点，一方面注意控制教材内容总量精选学生终身学习必备的基础知识和基本技能，一方面适当降低某些知识的难度要求，改变原理性知识偏重思辨和过深、过难的现象，本节课就充分体现了这一点 。难度适中，知识要点突出，层次分明，符合学生的思维特点。
求函数零点近似解的一种计算方法──二分法
杨 琳
4、 教学目标
7、 知识目标：通过具体实例了解二分法是求方程近似解的常用方法，理解用二分法求函数零点的原理，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用．
8、 能力目标：能借助计算器用二分法求方程的近似解，并了解这一数学思想，为学习算法做准备．
9、 情感目标：感受“无限逼近”过程，引导学生体会“用有理数逼近无理数”的思想方法。
5、 教学重点、难点
重点是学会用二分法求函数的零点；难点理解用二分法求函数零点的原理。
6、 教学方法
本节课采用以学生活动为主体，自主探究，合作交流的教学方法。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
复习引入 求下列函数的零点：y= - 3x+2（只需求一个实数零点） 学生思考后回答，前三道题没有困难，第四题学生求不出来，教师可引导学生我们虽不能求出零点的精确值，但我们可以求出零点的近似解。 学生已经会求一次函数、二次函数以及简单的三次函数的零点，但是有一些三次函数或更高次的函数我们不会或不能求出它们的零点的精确值，这时我们就要寻求一种求零点近似值的方法。
方法形成 前三道题大家已经可以解出零点，但第四题用分解因式的方法我们不能求出相应的零点，不能求出零点的精确值，那么我们能不能用别的方法求出函数零点的近似值呢？大家看过李咏主持的《幸运52》节目吗？ 下面请同学猜一部MP3的价格？分小组讨论，怎样才能又快又准的猜出MP3的价格。步骤：先说出一个你认为合理的最高价格a0及最高价格b0，使得手机价格说出的平均价格x0，①若x0为MP3价格则结束；②若x0高于MP3价格，算出a0与x0的平均价格为x1,令③若x0高于MP3价格，算出b0与x0的平均价格为x1,令(3) 说出的平均价格x1，①若x1为MP3价格则结束；②若x1高于MP3价格，算出a1与x1的平均价格为x2,令③若x1高于MP3价格，算出b1与x1的平均价格为x2,令┄┄继续上述步骤，直到猜出手机价格为止。上述动态过程，每次都将所给最高价格和最低价格一分为二，进行比较后得到新的最高价格、最低价格，再一分为二，如此下去，逐步逼近MP3的价格。这种思想就是二分法。 学生猜MP3的价格，然后让学生说出他们在猜MP3价格时的思路。引导学生，得出结论。 通过猜MP3的价格，让学生体会逐渐逼近的过程，并归纳出二分法。若学生没有直接取中点，可多叫几个学生，比较方法的优劣，逐渐向二分法靠拢。
方法深化 我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处。大家看我们能不能用这种方法去求的正实数零点的近似解呢？（精确到0.1） 学生分小组讨论函数的正实数零点的近似解。 前面已深入讨论了二分法的实施步骤，学生可以模仿上面的步骤得到正实数零点的近似解。
总结方法 二分法及步骤：继续实施上述步骤，直到区间,函数的零点总位于区间上，当按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。 分组讨论二分法的具体步骤，教师点评完善。 让学生自己归纳总结二分法步骤，可能有一定困难，在学生总结的基础上，进一步规范化。
练习巩固 教材P75练习B 1、2 学生练习。 进一步巩固所学知识
思考题：1 你能否把二分法步骤用表格的形式表示出来？2 除了二分法，能否还有其他的方法求函数的零点。 学生练习。 给数学感兴趣的同学拓宽视野。
小结 课堂小结二分法是一种求函数零点近似解的通法。利用二分法来解函数零点近似解的操作步骤。体现了极限及无限逼近的数学思想方法注：二分法求零点，本教材所指为变号零点，变号零点的概念大家回去看书（P72）。 师生共同总结 总结回顾
作业 1 P75 A 7 B 1、22 阅读P72-74 课后练习 巩固课堂所学知识
求函数零点近似解的计算方法——二分法
温泉二中 刘红莲
7、 教学目标
10、 知识目标：了解函数变号零点与不变号零点的区别，会判断函数变号零点的存在性，掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法
11、 能力目标：体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求解过程，提高数学知识的综合应用能力。
12、 情感目标：让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法，是一种通法可以通过程序化进行，进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。
8、 教学重点、难点
重点：学会用二分法求函数零点；
难点：二分法求函数零点近似解的原理及隐含其中的数学思想方法的理解。
9、 教学方法
本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法，并会将二分法的过程与步骤作程式化总结，以便于应用计算机求解。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 央视节目《幸运52》中有一个猜商品价格的游戏，选手若猜中，则商品归自己所有，在规定的一分钟内谁都想尽量多猜中几件商品的价格。 师：假如你是这个游戏的参加者，你有什么方法能尽可能快的猜出所展示的商品的价格吗？学生：思考、回答 一方面可以激发学生的学习兴趣；另一方面可以从游戏中让学生明白二分法的原理
方法形成 接下来看这样的问题：有一段10千米的长的线路发生故障如何查出故障所在的位置。请同学们想一想：我们通过怎样的方法才能在最短的时间内线路的故障所在呢？ 学生互动，讨论交流；师生共同总结解决问题的简洁途径。 通过就具体问题的讨论得出二分法是解决问题的一种有效计算方法，
问题：二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决我们数学中的什么问题？——求函数的零点的近似解问题 问题：二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决我们数学中的什么问题？教师提出问题，学生思考 引出课题：求函数零点近似解的计算方法——二分法
方法深化 例1用二分法求函数的一个正零点（精确到）解：⑴由，可知函数的一个正零点在区间中；⑵取的区间中点；⑶计算；⑷由于，则有零点的新区间为⑸取的区间中点；⑹计算；⑺由于，则有零点的新区间为；⑻取的区间中点；⑼计算；⑽由于，则有零点的新区间为；⑾取的区间中点；⑿计算；⒀由于，则有零点的新区间为；⒁取的区间中点⒂计算；⒃由于，则有零点的新区间为；⒄取的区间中点；⒅计算；⒆由于，⒇由于，则有零点的新区间为；又因为零点要求精确到，而区间两端点近似值相同都是2.24所以函数的一个正零点为：2.24例2用二分法求函数的一个正零点（精确到） 教师：要注意判断函数是否可用二分法求零点。类比上述方法师生共同完成此题的求解过程注：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能的小，以便减少运算量。 用二分法求函数零点的一般步骤讲解，通过师生共同对例1中二次函数零点的近似解求解过程及教参中的课件展示，使学生对这个求解的过程有一个直观的认识，进一步熟悉求解原理及步骤，再次体现二分法的思想接下来由学生求解例2中三次函数零点的近似解，从而达到掌握用二分法求函数零点的方法。
自主探索 用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：①如果，则就是的零点，计算终止；②如果，则零点位于区间中，令；③如果，则零点位于区间中，令……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这是函数的近似零点满足给定的精确度。 师：引导学生归纳、总结用二分法求函数零点的一般步骤并仔细体会此步骤的实现过程，感悟其中的思想方法．生：仔细体会二分法原理，并根据用二分法求函数零点的步骤解决一些实际问题 1.结合以上两个题目的求解过程由学总结出求解步骤2.同时让学生理解二分法求函数零点的近似解的基本思想是：逐渐缩小有零点区间长度，知道满足精确度的要求。即：向学生渗透隐含其中的逼近、近似的思想。
练习反馈 练习：用二分法求函数的一个负零点（精确到） 学生练习 知识的熟练与巩固
拓展应用 例如：函数能否用二分法求近似零点。 教师：所有函数是否都可用二分法求零点。学生：尝试利用二分法求解 明确二分法应用的条件：对函数的图像是连续不间断的一类变号零点有效。
通过上面题目的求解，我们可以看到用“二分法”求解函数在某个区间上的零点的近似之一般都很复杂，表现在进行大量的重复计算，运算量大，这种按部就班的求解问题的过程实质上是一种算法，这类题一般都要借助于计算机来完成。但它是一种通法 渗透一些算法的思想
课堂练习 教材第74-75页练习A1 B1 学生练习。 知识的熟练与掌握
归纳小结 课堂小结（1）知识方面了解了函数变号零点与不变号零点的区别，判断函数变号零点的存在性，求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法。（2）数学思想方法主要有特殊到一般的思维方法、逼近的思想、数形结合的思想、算法的思想。 学生总结，师生补充完善。 帮助学生梳理一下本节课的知识点
布置作业 求函数的零点，并画出它的图像 学生练习。 知识的熟练与掌握
求函数零点近似解的计算方法——二分法
温泉二中 华玲
10、 教学目标
13、 知识目标：了解函数变号零点与不变号零点的区别，会判断函数变号零点的存在性，掌握求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法
14、 能力目标：体验求函数零点的近似解的常用方法——二分法的求函数零点近似解的过程，初步体会属性结合逼近、近似、算法等重要数学思想方法，提高学习数学知识的综合应用能力。
15、 情感目标：经历无限逼近的过程，感受整体与局部、精确与近似的对立统一辩证观，让学生初步体会二分法是解决一类问题的一种算法，是一种通法可以通过程序化进行，进一步的是自己去寻找计算函数零点的另一种算法。
11、 教学重点、难点
重点是学会用二分法求函数近似零点；难点是理解用二分法求函数的零点的原理。
12、 教学方法
本节课可以通过实例领会函数变号零点的求法——二分法，并会将二分法的过程与步骤作程式化总结，以便于应用计算机求解。
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
引入 在日常生活中，经常遇到电线、网线、或电话线等线路出现故障：例如有一段10千米的长的电话线路发生故障如何查出故障所在的位置。 线段演示，学生思考、各抒己见 引出课题
方法形成 有一段10千米的长的线路发生故障如何查出故障所在的位置。寻找解决问题的途径 学生互动，讨论交流；师生共同总结解决问题的简洁途径。介绍二分法 通过就具体问题的讨论得出二分法是解决问题的一种有效计算方法，
问题：我们由上节课知道并非所有函数都能像一次、二次函数可用公式法求出零点， 二分法除了可以解决以上的实际问题，是否还可以解决求函数的零点的近似解问题？ 问题：教师提出问题，学生思考 问题的具体化
方法深化 例1用二分法求函数的一个正零点（精确到）解法说明:1应用函数零点的性质选取包含零点的初始区间[2,3]（满足f(2)×f(3)<02求区间[2,3]的中点及f()3利用性质判断f(2)·f()<0，确定区间[2，]以此类推……4[2，][]，][，][，]……可知2.24是该函数的一个零点近似值。例2用二分法求函数的一个正零点（精确到） 教师：。类比上述方法师生共同完成此题的求解过程注：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽可能的小，以便减少运算量。通过上面题目的求解，我们可以看到用“二分法”求解函数在某个区间上的零点的近似值一般都很复杂，表现在进行大量的重复计算，运算量大，这种按部就班的求解问题的过程实质上是一种算法，这类题一般都要借助于计算机来完成。但它是一种通法 再次体现二分法的思想渗透一些算法的思想
自主探索 用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间，使与异号，即，零点位于区间中。第二步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间中，令；（3）如果，则零点位于区间中，令第三步：取区间的中点，则此中点对应的坐标为 。计算和，并判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止；（2）如果，则零点位于区间中，令；（3）如果，则零点位于区间中，令……继续实施上述步骤，直到区间，函数的零点总位于区间上，当和按照给定的精确度索取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点，计算终止。这是函数的近似零点满足给定的精确度。 学生归纳、总结。用二分法求函数零点的一般步骤注意中点计算方法 让学生将知识点归纳总结出来，熟悉二分法的解题步骤
练习反馈 练习：用二分法求函数f(x)=2x-5的零点用二分法求函数的一个正零点（精确到0.1） 学生练习 让学生进一步体会二分法原理
拓展应用 1例如：函数能否用二分法求近似零点。2能否用三分法研究问题？ 教师：所有函数是否都可用二分法求零点。学生尝试利用二分法求解注意判断函数是否可用二分法求零点 明确二分法应用的条件：对函数的图像是连续不间断的一类变号零点有效。
课堂练习 教材第74-75页练习A1 B1 学生练习。
归纳小结 课堂小结（1）知识方面了解了函数变号零点与不变号零点的区别，判断函数变号零点的存在性，求函数变号零点的近似解的常用方法——二分法。（2）数学思想方法主要有特殊到一般的思维方法、逼近的思想、数形结合的思想、算法的思想。 学生总结，师生补充完善。
布置作业 求函数的零点，并画出它的图像 学生练习。
2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法---二分法
六十七中学 张映晖
1、 教学目标
1、知识目标：理解用二分法求函数零点的原理,学会用二分法求函数的零点.
2、能力目标：让学生能够初步了解逼近思想，极限思想，培养学生探究问题的能力、严谨的科学态度和创新能力。
3、情感目标：通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体到一般的认知过程。
二、教学重点、难点
重点是能够借用计算器，用二分法求相应方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识。
难点是理解用二分法求函数零点的原理
三、教学方法
启发式教学:游戏导入推出课题实践探究总结提炼学生感悟
四、教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
情境设置 看过李咏主持的《幸运52》节目吗？下面我们进行商品竟猜。大家猜一款手机的价格。 学生开始竟猜 通过情境的设置激发学生学习的热情，让学生体会到数学来源于生活。并让学生初步理解二分法的原理.
方法形成 分析学生竟猜成功的方法。引出课题我们体会到了二分法在实际生活中的用处，其实它在数学中也有很大的用处. 解方程 (1)2x+6=0 (2) (3)(1)、（2）题同学们很快正确地解出，那么第（3）题呢？我们感觉很困难。那么我们能否利用二分法来求它的近似解呢？求方程的一个近似解？（精确到0.1）生： 如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。我们可以通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。取区间(0,1)的中点0.5,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0,0.5)内。再取区间(0,0.5)的中点0.25,用计算器算得,因为,所以零点在区间(0.25,0.5)内。由于(0,1) (0,0.5) (0.25,0.5),所以零点所在的范围越来越小。重复上述步骤，得到 |0.375-0.3125|=0.06250.1,所以方程的近似解为4．（多媒体展示出用二分法求函数零点的一般步骤）┄继续实施上述步骤，直到区间,函数的零点总位于区间上，当按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y=f(x)的近似零点，计算终止。这时函数y=f(x)的近似零点满足给定的精确度。 由学生分析，教师纠正补充。教师展示多媒体课件——区间逼近法分小组讨论求近似解。由小组长阐述解决问题的方法。并由同学来判断其正误。由正确的学生来总结用二分法求方程近似解的方法。由教师评价补充完善。 竟猜成功的方法很多,教师要对各种方法进行类比,最后统一到二分法上.培养学生分析问题、归纳总结的能力。学生很容易地解出方程(1)、（2），对于（3）的解答就非常困难，以前的方法很难解出这道题，有些学生就会联想到二分法，通过步步逼近的方法，逐步找到近似解。培养学生探索、解决问题的能力。发挥学生学习的主动性。从求方程的近似解到总结出用二分法求函数零点的步骤，再利用这个方法解决问题，从而让学生体会从特殊到一般，再到特殊的研究问题的方法。
巩固练习 练习：教材P75练习B---1，2。 学生练习。 巩固已学知识
归纳小结 课堂小结知识方面（1）二分法是一种求一元方程近似解的通法。（2）利用二分法来解一元方程近似解的操作步骤。数学思想方法区间逼近和极限的方法研究方法特殊----一般-----特殊 学生总结，师生补充完善。 培养学归纳总结的习惯
布置作业 教材P75习题2----4---A---7;习题2---4---B---1,2.把二分法求函数零点的步骤利用图表表示出来；阅读教材P72第二段和P74最后一段。对于学有余力的同学，你是否还能找到另一种计算函数零点的算法吗？（可查阅材料或借助计算机）。 学生练习。 习题A的作业是巩固所学知识；习题B的作业利用二分法原理解决问题。作业3是让学生了解数学史和算法的了解，为算法的学习打下伏笔。作业4是针对学有余力的同学，培养他们自主学习的能力。
说明：本教案是在把“变号零点”放在2.4.1节讲授的前提下设计的。
编写人员名单：张晓东 毛春桃 洪彬 赵炎 张映辉 杨琳 贾康康 华玲 杨冬香 刘红莲
感知数学，以零点存在性为练习重点进行练习．
体验数学，对二次函数的零点及零点存在性的初步认识．
结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．
课外升华
例题研究
题
研
究
探索研究
意义建构
组织探究
问题情境
利用计算机绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结．
应用数学，零点的存在性判断及零点的确定．
建立数学，进一步探索函数零点存在性的判定．
感知数学，以零点存在性为练习重点进行练习．
体验数学，对二次函数的零点及零点存在性的初步认识．
结合描绘的二次函数图像，提出问题，引入课题．
建立数学，进一步探索函数零点存在性的判定．
应用数学，零点的存在性判断及零点的确定．
利用计算机绘制某类特殊函数图像，找出零点，并尝试进行系统的总结．
问题情境
组织探究
意义建构
探索研究
例题研究
题
研
究
课外升华
第 40 页 共 40 页“二次函数的图象与性质”教学设计
（一）学习目标：
1、知识目标：（1）使学生掌握研究二次函数的一般方法 配方法；
（2）进一步掌握二次函数的图象的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值得求法。
2、能力目标：（1）培养学生的观察分析能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题；
（2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。
3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲；
（2）通过合作学习，培养学生团结协作的思想品质。
（二）重点难点
重点：使学生掌握研究二次函数的图象和性质的方法------ 配方法;
难点: 通过”配方式”分析二次函数的图象和性质的特征。
（三）教学内容安排
复习引入：提问：二次函数你能回忆起有关它的哪些知识？
（教师通过多媒体展示问题，学生积极回忆初中有关内容）
概念形成：1、要求一组在同一坐标系内要求作出的图象；
另一组作出，（ 的图象。
教师再借助多媒体手段，展示函数图象随值变化的过程，然后学生填充绘制的性质表格。
2、研究二次函数的图象和性质：
（1）偶函数，图象关于y轴对称
（2）顶点坐标（0，0）；
（3）当时，开口向上，在上是减函数，在上是增函数，
当x=0时有最小值0；
（4）当时，开口向下，在上是增函数，在上是减函数，
当x=0时有最大值0；
（5）越大开口越小
3、研究一般的二次函数的性质和图象：
教师问：若将函数的图象进行平移，则函数的哪些性质将不发生变化？哪些性质将发生变化？
引例1：研讨二次函数的性质与图象。
引例2：研讨二次函数的性质与图象。
问题1：指出两个函数的开口方向，并说明哪个函数的开口较大？
问题2：分别将二次函数与配方，然后分别求出两个函数的最值以及与x轴的交点。
问题3：列表画图，分别在直角坐标系内作出两个函数的图象：
（1）推测出两个函数的对称轴。
（2）分别指出两个函数的单调区间。
问题4：将二次函数 (a≠0)配方，并回答下列问题：
（1）函数图象的顶点坐标是 ，对称轴是 。
（2）针对a>0和a<0的图象分别指出各自的性质。
学生在完成以上问题的过程中教师要适时启发，并在最后列表加以总结。
对于任何的二次函数都可通过配方化为：
,其中，
二次函数的性质
（1）函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h,k），对称轴是直线x=h。
（2）当a>0时，抛物线开口向上，函数在x=h处取最小值 k=；
在区间上是减函数，在区间上是增函数；
（3）当a<0时，抛物线开口向下，函数在x=h处取最大值 k=；
在区间上是增函数，在区间上是减函数；
（4）越大开口越小
教师指出配方法是研究二次函数的通法，对于二次函数性质的有关结论不必死记硬背，关键在于学会如何配方及运用它来研究二次函数的性质。 “配方法”是研究二次函数的主要方法，熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键，对一个具体的二次函数，通过配方就能知道这个二次函数的主要性质
4、组织学生分组，进行讨论交流二次函数中的a、b、c对函数性质和图象的影响。
二次项系数a决定了函数图象的开口方向、开口的大小和单调性，当a>0时，开口向上，a越大，开口越大，函数在对称轴两侧先减后增;当a<0时，开口向下，a的绝对值越大开口越大函数在对称轴两侧先增后减。
当b=0时，函数为偶函数，当且时，函数既不是奇函数也不是偶函数。
C是否为零决定着函数的图象是否过原点。
另外，a和b决定着函数的对称轴。a,b,和c三者共同决定着函数的顶点位置。
应用举例:
1、例题：求函数的最小值和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是减函数？在哪个区间上是增函数？（例题由学生板演完成，对出现的问题及时给予纠正。）
2、巩固练习：
练习A（第65页）1、2，练习B（第65页）1、2、3
学生练习，完成后找学生口答题目答案，教师及时进行评价
归纳小结：方法：研究二次函数的主要方法 ----------- 配方法
知识：二次函数的图象与性质的有关结论。由学生口答二次函数通过配方以后就可以得到它的有关性质。
布置作业：层次一：习题2—2A（第67页）5， 6，7，8，9
层次二：习题2—2B（第68页）1，2，3，4，5
层次一的题目要求所有学生完成，层次二的题目要求中等以上水平的学生完成。
（四）教学资源建议
建议在教学过程中可以让学生利用多媒体辅助教学手段，从感性认识入手升华到理性认识，结合学生的认知规律，引导学生思考、归纳、总结，在解决问题中建构新知。
（五）教学方法与学习指导策略建议
1.教学目标的落实：
新的高中数学课程标准强调了课堂教学要以学生的发展为本，如何在课堂教学中根据学生的心理特点、不同水平的学生提供其感兴趣的教学材料，创设有趣且适合学生学习的教学情景，激励学生主动学习和探索，在交流和亲自参与中获得知识，是我们教师一项十分重要的任务．从实例引入能充分调动学生的兴趣，引起学生的求知欲．整个教学过程应遵循从特殊到一般的思想，学生更容易接受知识；另外应以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，这样有利于学生对知识的掌握，并强化对配方法的熟练运用；这样可以使学生在讨论、合作中解决问题，充分体验成功的愉悦．在教学过程中教师可以鼓励学生采用独立思考与小组活动相结合的办法解决问题，倡导合作学习；并且让学生进行模仿练习，能及时的巩固所学知识与方法．
2.深入浅出、温故知新，培养学生的能力：
因为学生对二次函数已比较熟悉，由基本二次函数认识二次函数的有关性质，首先通过学生所作的一组函数图象和多媒体演示，引导学生发现二次函数的一些常用性质，培养学生的观察分析和总结的能力。
（1）通过设计四组问题，引导学生运用数形结合的方法来解决问题，再解决问题的同时，使学生发现研究二次函数性质的主要方法——配方法。
（2）通过学生对问题的解决，充分发挥学生的主题作用，教师的主导作用，让学生动手、动脑、动口，合作交流，充分体会知识的形成过程。
另外通过学生所做的一组函数的图象及多媒体展示，引导学生发现二次函数图象开口大小和方向随二次系数的变化规律。培养学生的观察和分析能力。
数学教学不仅要重视数学知识的传授和技能的形成，更重要的是在教学过程中应以“问题”为主线，不断地创设问题情境，培养学生的探究意识．这样有利于培养学生学习数学的情感，增强学生学习数学的自信心，提高解决问题的能力．而且本节课中学生体验了一个由二分法的研究学习上升到对数学通性通法的学习与研究的过程．在教学过程中注重学习方法，注重思维方法，注重探索方法，让学生主动获取知识，同时也让学生知道这些知识是如何被发现的，结论是如何获得的，让学生在学习过程中去体验数学和经历数学，体现了“方法比知识更重要”这一新的教学价值观，在此过程中教师可以引导学生充分认识到算法思想的重要性，并提高学生数学的应用意识和探究能力．
第七组：吕晓琳 张燕菱 邹斌 王国栋 佟昀 司九伟 胡军 唐平 刘宗平 王春芳