开封市五县联考高二期中考试
数学
一、单选题
1．【答案】C【详解】由题意可得：，解得.故选C.
2．【答案】D【详解】设该动点为，则有，即，故选D.
3．【答案】B【详解】设为平面直角坐标系中异于点A任意一点，
则点P在直线l上的充要条件是与垂直．
又因为，所以，
整理可得一般式方程为．故选B.
4．【答案】A【详解】圆：的圆心为，半径为2，
设关于直线对称的对称点为，
则，解得.
关于直线对称的对称点为，
圆：关于直线对称的圆的方程为.故选A.
5．【答案】A【详解】由题意得双曲线的渐近线为，
而两条渐近线的夹角为，故的倾斜角为或，故或，
或2，故选A.
【答案】D【详解】因为，，且，
所以，解得，
所以，
又因为，且∥，
所以，
所以，
所以，
所以.故选D.
7．【答案】B【详解】由题设，则平分，故，
而，，则，所以.
故选B.
8．【答案】B【详解】设，由题意，，又，于是，
又在双曲线上，故，于是，
将条直线两两分组，，
这组直线中的两条直线斜率之积均是，于是这条直线的斜率乘积为.故选B.
二、多选题
9．【答案】ACD【详解】对于因为，故三个向量共面；
对于 假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，
即，，不共面；
对于,，故三个向量共面；
对于，故三个向量共面.故选ACD.
10.【答案】CD【详解】如图，设已知圆的圆心为A，半径为R，圆内的定点为B，动圆的半径为r．若点A与点B不重合，由于两圆相内切，则，由于，
∴，即．
∴动点C到两个定点A，B的距离和为常数R．
∵B为圆内的定点，∴．
∴动点C的轨迹为椭圆．若A，B重合为一点，则此时动点C的轨迹为以R为直径的圆．
故选CD.
11.【答案】ACD【详解】抛物线过点，所以，，故A正确；所以抛物线，上任意一点到和准线的距离相等，故C正确；设，，设，则，
所以的方程为，即，
联立，得，
当时，，得，
代换，得到，
所以，故D正确；
直线CD：，即，不过定点，故B错误.
故选ACD.
12．【答案】AC【详解】取中点,连接,可得平面,则,故A正确；在四面体中，过点作平面于点,则为底面正三角形的重心，因为所有棱长均为,,即点到平面的距离为,故B错误；设为正四面体的中心则为内切球的半径，为外接球的半径，因为，所以，即,所以四面体的外接球体积,故C正确；建系如图：,设，则，
因为，所以
，
即，平方化简可得：，可知点的轨迹不为椭圆,故D错误. 故选AC．
三、填空题
13．【答案】【详解】取，，
则，，
所以点到直线的距离为．故答案为.
14．【答案】（的方程均可）
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线的方程为.
故答案为：（的方程均可）.
15． 【答案】3【详解】由题可知，，所以，故答案为3
16．【答案】【详解】
如图，做出抛物线的内切圆，设其内切圆的方程为，
联立，化简可得，
由曲率圆的定义可知，其与抛物线只有一个交点，
即原方程有且只有一个解，
则a=，即曲率半径为，故答案为.
解答题
17．【详解】（1）设，则由重心的坐标为，有，2分,解得，即.。。。4分
（2）设的外心，则由外心性质可得在的中垂线上，即，
由，，，。。。5分
则，即，解得，即.。。。7分
又，故欧拉线的斜率为，。。。8分
故的欧拉线的方程为，即.。10分
18．【详解】（1）因为，
所以可设双曲线方程为．。。2分
因为双曲线过点，所以，即．。。。4分
所以双曲线方程为，即。。5分
（2）因为点在双曲线上，
所以，，。。。9分
的底边长，
的高，。。。11分
所以．。。。12分
19．【详解】（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，。。1分
而，。。2分
因为动圆过定点且与轴相切，则，。。。4分
即，化简得，
所以曲线的方程为.。。。5分
（2）若直线与轴重合，则直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意.。。。6分
设直线的方程为，设点，，，
联立，可得，，。。8分
由韦达定理可得，，。。9分
，同理可得，
所以，
，。。。11分
故不可能为钝角.。。。12分
20．【详解】（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为，故一条渐近线斜率，2分
由渐进线的对称性知，双曲线的两条渐近线方程为y=±x.。。5分（2）由图知，双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线的方程为，
因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm，所以，。。。7分
又由(1)知，，所以，。。。。10分
所以该粒子路径模型为.。。。12分
21．【详解】（1）取的中点，连接，，
∵在中，∴.。。。1分
∴由平面平面，且交线为，平面，得平面.。。2分
∵，分别为，的中点，∴，且.。。。3分
又，，∴，且.。。4分
∴四边形为平行四边形.∴，。。。5分
∴平面.。。6分
（2）∵平面，平面，所以，
又因为，所以三者两两互相垂直，
∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
则，，.。。。7分
∵平面，∴直线与平面所成的角为.
∴.∴.
可取平面的法向量，。。。8
设平面的法向量，，，则，取，则，.∴，。。。10分
∴，∴二面角的余弦值为.。。。12分
22．【详解】（1）由题意有C(-a,0)，D(a,0),
设，，化简得,结合，
可得，。。。2分
由椭圆焦距为2，有，得，，。。。4分
椭圆E的标准方程为；。。5分
（2）根据椭圆的对称性，欲证，H关于轴对称，
只需证，即证，///6分
设，，直线方程为，
由消去得，。。。7分
所以，.。8分
则,。。。。9分
因为,。。。11分
所以，即A，H关于轴对称.。。12分
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数学
谢中部至需思1示显（考试时间：120分钟，满分：150分）花
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注意事项：
答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在试题卷和答题卡上；并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置。汽
2选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题
卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3,非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡
上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
-、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
自要求的)O=.”
1.抛物线x2=己的准线方程是y=2,则实数a的值
城币4鸡这
A.8
留欧六的Bg·业人评一
C.8
D.-8
2.到x轴距离与到y轴距离之比等于号的点的轨迹方程为
()
Ay=2x(x≠0)
B.y=士2x(x≠0)
C.x=2y(x≠0)
D.x=土2y(x≠0)
:心本
3已知直线经过点A3,1月且3,4)是直线1的一个法向量，则直线L的方程为
:3两（好）
A4x-3y-6=0
B.3x-4y-5=0
D.3x-4y-10
”是两于只月图
C.4x+3y-18=0
4.圆C:(x一3)2+(y十1)2=4关于直线x十y=0对称的圆C2的方程为
:油厨()
己A(21)2十(y3g4A)点1：年交B.(x十1)2十(3产3)2=4：0.i嘉
C.(x+3)2+(y十1)2=4
D.(x-3)2+(=1)2=4
以成交行良3调
5.已知双曲线号一芳=1（公>0,6>0）的两条渐近线的夹角为受，则此双曲线的离心率e为
()
A2或29
2
C.5
D.√3或2
6.设x,y∈R,a=(1,1,1),b=(1,y,z),c=(x,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|2a十b|=
()
A.2√2
B.√0
C.3
D.32
7.班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆
形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处，根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的
方程为+苦-1，其左、右焦点分别是，F,直线1与精圆C切于点P,且引PF,=4反，过点
高二期中·数学第1页共4页一
可日
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