湖北省孝感市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

孝感市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试时间：2023年11月20日下午15：00-17：00 试卷满分：150分
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
一 选择题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若复数满足，其中为虚数单位，是的共轭复数，则复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
3.甲 乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码的概率均为0.4，则密码被破译的概率为（ ）
A.0.36 B.0.48 C.0.64 D.0.54
4.经过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是（ ）
A. B.
C.或 D.或
5.关于空间中两条不同的直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
6.东寺塔和西寺塔为昆明市城中古景，分别位于昆明市南面的书林街和东寺街，一东一西隔街相望，距今已有1100多年历史，在二月的梅花和烟雨中，“双塔烟雨”成为明清时的“昆明八景”之一.东寺塔基座为正方形，塔身有13级，塔顶四角立有四只铜皮做成的鸟，俗称金鸡，所以也有“金鸡塔”之称.如图，从东到西的公路上有相距80（单位：）的B A两个观测点，在A点测得塔在北偏东60°的点D处，在B点测得塔在北偏西30°，塔顶C的仰角为45°，则塔的高度CD约为（ ）
A. B. C. D.
7.已知圆，直线为上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别，当最小时，直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.如图，棱长为2的正方体中，为线段上动点（包括端点）.则以下结论正确的（ ）
A.三棱锥中，点到面的距离为定值
B.过点平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
C.当点为中点时，三棱锥的外接球体积为
D.直线与面所成角的正弦值的范围为
二 不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9.已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A.如果，那么
B.如果与互斥，那么
C.如果与相互独立，那么
D.如果与相互独立，那么
10.已知圆，过点直线与圆交于两点.下列说法正确的是（ ）
A.的最小值为 B.
C.的最小值为-4 D.线段中点的轨迹为圆
11.在直三棱柱中，点是的中点，，点为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.直线与直线所成角的余弦值是
C.点到平面的距离是
D.线段长的最小值是
12.已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于两点，轴，垂足为与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A.的最小值为2 B.的面积的最大值为
C.直线的斜率为 D.为直角
三 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知有8个样本数据分别为，则估计该组数据的总体的第三四分位数为__________.
14.已知圆和圆，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为__________.
15.如图，在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，此时三棱锥外接球的体积为__________.
16.设椭圆的焦点为是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）
某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为）进行统计，按照的分组作出频率分布直方图，已知得分在的频数分别为8，2.
（1）求样本容量和频率分布直方图中的的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数 中位数 平均数.
18.（本小题12.0分）
法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.如图所示，在中，已知，设为的费马点，且满足.
（1）求的面积；
（2）求的长度.
19.（本小题12.0分）
在四棱锥中，底面是正方形，平面是的中点.
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且，在棱上求一点使得平面.
20.（本小题12.0分）
公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点在（1）的轨迹上运动，点为的中点，求点的轨迹方程；
（3）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围.
21.（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，平面平面，为中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？说明理由.
22.（本小题12.0分）
已知椭圆过点，点为下顶点，且的斜率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于两点，为坐标原点.证明：为定值，并求出该定值.
孝感市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案及评分标准
一 单选题：二 多选题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D D C D D A A D BD BCD ACD BCD
部分题目详解
7.解：由圆，可知，圆的半径为1，
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，
所以，而，
当直线时，最小，此时最小，
直线的方程为，即，
联立，解得.
所以以点和点为直径的圆的方程为，
又圆，
两圆的方程相减可得：，即直线的方程为.
故选.
8.解：对于中，由为等边三角形，面积为，设点到面的距离为，由，求得，所以不正确；
对于中，过点平行于平面的平面被正方体截得的多边形平面，
此时三角形为边长为的等边三角形，其面积为，所以不正确；
对于中，由正方体的结构特征和性质，可得点到平面的距离为，
当点在线段上运动时，为端点时，
设直线与平面所成角为，则，所以正确；
对于中，当点为中点时，易知即平面，三棱锥的外接球球心在垂直于平面，且过三角形的中心的直线上，由于，三角形的中心到的距离为，由可得外接球半径为，所以三棱锥的外接球的体积为，所以不正确.
故选：D.
12.解：设椭圆的右焦点，由椭圆对称性知线段互相平分于点，则四边形为平行四边形，则，有，当且仅当，即时取“不正确；
设，则，当且仅当，即时取“，即，因轴，垂足为，则正确；
因，有，由椭圆对称性可得，而，则直线的斜率正确；
设，由及得，，即，
直线的斜率有，而，
于是得，有，所以为直角，正确.
故选：.
三 填空题：
13.17.5 14.8 15. 16.
部分题目详解：
16.解：椭圆的焦点为，
在中，由正弦定理得：，解得，
设，在中，由余弦定理得：，
解得，所以，
又，所以，
整理得，即，解得或（舍去）
故答案为：.
四 解答题：
17.解：（1）由频率分布直方图得的频率为，
得分在的频数分别为8，2.
，
.
（2）估计本次竞赛学生成绩的众数为：，
的频率为：，
的频率为：，
中位数为：，
平均数为：.
18.解：（1）由已知，
所以，
在中，，
故，
所以的面积；
（2）在中，由正弦定理
而，
代入式得.
19.解：以为坐标原点，射线分别为轴 轴 轴的正方向建立空间直角坐标系.设.
（1）证明：解法一：连接交于，连接.由题意，得
在中，.
而平面平面
所以平面.
解法二：连接交于，连接.
依题意得.因为底面是正方形，
所以是此正方形的中心，故点的坐标为，所以.
则，故.而平面平面，
所以平面.
（2）解：因为，得
设平面的法向量为，
故，令，则，故，
设，
又因为平面，
所以，即，解得，
所以点为棱的中点时，平面.
20.解：（1）设，则，
化简得：，故点的轨迹方程为；
（2）设，因为点为的中点，
所以点的坐标为，
将代入中，得到，
所以点的轨迹方程为；
（3）因为点在（1）的轨迹上运动，
所以，变形为，
即点为圆心为，半径为2的圆上的点，
则表示的几何意义为圆上一点与连线的斜率，如图：
当过的直线与圆相切时，取得最值，
设，
则由点到直线距离公式可得：，
解得：或.
故的取值范围是.
21.解：（1）在中，
所以，即.
又因为，在平面中，，
所以平面.
（2）因为平面平面，
平面平面平面，
所以平面.所以.
（1）已证，且已知，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，
.
所以
因为为中点，
所以.
由知，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则.于是.
又因为由（1）已证平面
所以平面的法向量为.
所以，
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为
（3）设是线段上一点，则存在使得.
因为，
所以.
因为平面，所以平面当且仅当，
即.
即.解得.
因为，
所以线段上不存在使得平面.
22.解：（1）因为椭圆过点，且的斜率为，
所以.得，
以椭圆的方程为；
（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，
设，
由，得，
，得，
则
因为，直线的方程为，
令，解得，
则，同理可得，
所以
为定值，
所以为定值，该定值为.