江苏省南通市海安市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）

海安市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
一、单选题
1．已知数列满足，，则(　　)．
A． B． C． D．
2．已知，则曲线和有(　　)
A．相同的短轴 B．相同的焦点
C．相同的离心率 D．相同的长轴
3．已知等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若为抛物线上一点，且到焦点的距离为9，则到轴的距离为（ ）
A．7 B．10 C．8 D．9
5．点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．
6．等差数列{an}中，a5<0,a6>0且a6>|a5|，Sn是数列的前n项的和，则下列正确的是(　　)
A．S1,S2,S3均小于0, S4,S5,S6 …均大于0
B．S1,S2,…S5均小于0 , S6,S7 …均大于0
C．S1,S2,…S9均小于0 , S10,S11 …均大于0
D．S1,S2,…S11均小于0 ,S12,S13 …均大于0
7．已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左 右焦点 若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”．“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1．对任意正整数．记按照述规则实施第n次运算的结果为，若，且均不为1，则（ ）
A．5或16 B．5或32 C．3或8 D．7或32
二、多选题
9．△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A．边BC与直线平行
B．边BC上的高所在的直线的方程为
C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D．过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
10．已知曲线，以下说法正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是两条直线
C．若，则是双曲线，其渐近线方程为
D．若，则是圆，其半径为
11．已知是椭圆的右焦点，是上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长是4
B．的最大值是2
C．的面积的最大值为，其中为坐标原点
D．直线与椭圆相切时，
12．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，，总存在，，使得成立
三、填空题
13．若直线x+2y+1＝0与直线ax+y﹣1＝0互相平行，则实数a的值为 ．
14．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n＋t，则t＝ .
15．若圆1：与圆2：相外切，则实数的值为 ．
16．无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”.若为“和谐递进数列”，且，，则 ； .
四、解答题
17．（1）求焦点在轴上，离心率为，半短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程.
18．已知圆经过三点．
(1)求圆的一般方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，，求直线的方程．
19．已知等差数列的前n项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
20．已知动点满足：.
（1）指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
（2）若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
21．已知数列的前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)求．
22．已知抛物线：，点在抛物线上.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若直线：交抛物线于M N两点，交直线：于点P，记直线AM，AP，AN的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列.
参考答案：
1．B
【详解】∵数列满足，，故，
∴数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴．
2．B
【详解】，，
曲线和都是焦点在轴上的椭圆，
由椭圆，得，
所以长轴长为，短轴长为，焦点坐标为，离心率为，
由椭圆，得，
所以长轴长为，短轴长为，
焦点坐标为，离心率为.
所以两个椭圆有相同的焦点．
故选：B
3．A
【详解】由于是等比数列，所以也成等比数列，
其中，所以，
所以.
故选：A
4．C
【详解】根据抛物线的定义可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以到轴的距离为．
故选：C
5．B
【详解】双曲线中，，且焦点在x轴上，
所以渐近线方程为，即，
由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，
不妨求点到的距离，得.
故选：B
6．C
【详解】∵a5<0, a6>0且a6>| a5|
∴d= a6 a5>0
∴数列的前5项都为负数
∵a5+ a6>0,2 a5<0,2 a6>0
由等差数列的性质及求和公式可得,S9=9(a1+ a9)2=9 a5<0
=5(a1+ a10)=5(a5+ a6)>0
由公差d>0可知, 均小于0,， …都大于0
故选C
7．A
【详解】由题意可知：，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
8．B
【详解】由题知，
因为，则有：
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，且；
若为奇数，则，得，不合题意，所以为偶数，则；
若为奇数，则，可得；若为偶数，则．
综上所述：或32．
故选：B．
9．BD
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
10．BC
【详解】对于A，若，则化为，
则，则是椭圆，其焦点在x轴上，A错误；
对于B，若，即为，即，
即是两条直线，B正确；
对于C，若，不妨设，则化为，
则表示焦点在x轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
同理当，则化为，
则表示焦点在y轴上的双曲线，，
故其渐近线方程为；
综合知是双曲线，其渐近线方程为，C正确；
对于D，若，则即为，
则是圆，其半径为或，D错误，
故选：BC
11．ACD
【详解】A：由，得，所以椭圆的长轴为，故A正确；
B：由，得，则，，由，得，
所以，
又二次函数的对称轴为，
所以该函数在上单调递减，则当时，函数取到最大值9，
即的最大值为3，故B错误；
C：由题意得，，
所以，即的面积的最大值为，故C正确；
D：，消去y，得，
因为直线与椭圆相切，只有一个交点，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【详解】依题意，数列中，，，，
于是得，满足上式，
数列中，，，，
于是得，满足上式，
因此，
对于A，，则，A不正确；
对于B，因为，则，又，则，B正确；
对于C，，
则，C正确；
对于D，，，取，则，
所以，，总存在，，使得成立，D正确.
故选：BCD
13．
【详解】由题知：，.
因为两条直线互相平行，所以.
即：，.
故答案为：
14．－
【详解】显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
又Sn＝3n＋t，
∴t＝－.
故答案为：－
15．
【详解】因为圆 与圆相外切，所以 ，解得 ，故答案为.
16．
【详解】数列满足：只要，必有，
由，，，
则，所以，，
，，，
则；
又，可得，
即，，，，，
所以数列是以3为周期的周期数列，
又，
所以；
故答案为：；.
17．（1）；（2）.
【详解】（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题，
又，，解得，
所以，所求椭圆的标准方程为.
（2）法1：（1）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
由①②解得，，，
此时，所求双曲线方程为.
（2）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②
不存在同时满足①②的，.
综上所述，所求双曲线的标准方程为.
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为，
又双曲线经过点，则有，
∴所求双曲线的标准方程为.
18．(1)
(2)或
【详解】（1）设圆的一般方程为，
把三点坐标代入可得，
解得，
所以圆的一般方程为．
（2）由（1）得圆的标准方程为，即圆心为，半径为．
当直线与轴垂直，即时，此时，符合题意；
当直线与轴不垂直时，设该直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
19．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为,公差为，
..
,数列的通项公式为.
（2）当时，，数列的前n项和；
当时，，
数列的前n项和，
.
综上所述：
20．【详解】（1）椭圆，的方程是：，
（2）设点则
作差得，除以得，代入中点坐标，则，直线的方程是.
21．【详解】（1）由，
得，
则当时，，
所以，
当时，上式成立，
所以；
（2）由（1）知，
，
，
，
．
22．(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)证明见解析
【详解】（1）将代入，得，
所以焦点坐标为，准线方程为.
（2）由得：.
设，，
由得：，则，
所以
.
又，
所以，
所以，即，，成等差数列.