安徽省蚌埠市部分中学2023-2024学年高二上学期期中检测数学试题（含解析）

蚌埠市部分中学2023-2024学年高二上学期期中检测
数 学
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
5.如果实数，满足，那么的范围是( )
A. B.
C. D.
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.直线与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交
8.在正方体中，点在上运动包括端点，则与所成角的取值范围是
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴截距为的直线方程为
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
11.已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为，则的值为
A. B. C. D.
12.已知双曲线经过点，且与椭圆有公共的焦点，点为椭圆的上顶点，点为上一动点，则 ( )
A. 双曲线的离心率为
B.
C. 当为与的交点时，
D. 的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
14.已知，，直线：，：，且，则的最小值为 ．
15.直线分别与 轴， 轴交于， 两点，点 在圆上，则面积的取值范围 ．
16.瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，欧拉线方程为，则顶点的坐标是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆的圆心为，且经过点．
求圆的标准方程；
已知直线与圆相交于两点，求．
18.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求顶点，的坐标
求的面积．
19.本小题分
已知直三棱柱，侧面是正方形，点在线段上，且，点为的中点，，．
求异面直线与所成的角；
求平面与平面夹角的余弦值．
20.本小题分
已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为，
求双曲线标准方程；
若双曲线上存在一点使得，求的面积．
21.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，．
若的中点为，求证：平面；
若与底面所成的角为，求与平面的所成角的余弦值．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线经过，且与抛物线交于，两点，．
求抛物线的方程；
过抛物线上一点作两条互相垂直的直线与抛物线相交于，两点异于点，证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
蚌埠市部分中学2023-2024学年高二上学期期中检测
数 学 教 师 用 卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线的方向向量是，则直线的倾斜角为
( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了直线的方向向量、直线的倾斜角等知识，属于基础题．
根据直线的方向向量写出倾斜角的正切值，进而求出倾斜角的值．
【解答】
解：直线的方向向量是，
直线的倾斜角的正切值为，又
则直线的倾斜角为．
故选C．
2.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，已知，，，，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查空间向量基本定理，考查空间向量加法法则等基础知识，考查空间想象能力，考查数形结合思想，是基础题．
利用空间向量基本定理进行求解即可．
【解答】解：在四棱锥中，底面是平行四边形，
，，，，
．
故选：．
3.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为
．( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查点关于线的对称点问题，属于基础题．
设点，点与点关于直线对称，可得 ，解出即可．
【解答】
解：设点，则中点的坐标为，
点与点关于直线对称，
解得，，
则点的坐标为．
故选D．
4.在一平面直角坐标系中，已知，，现沿轴将坐标平面折成的二面角，则折叠后，两点间的距离为
( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积运算，向量的模，考查运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
作垂直于轴，垂足为，垂直于轴，垂足为，利用向量的线性运算得，利用向量的数量积的运算求出结果．
【解答】
解：如图所示：
作垂直于轴，垂足为，垂直于轴，垂足为，
则，，，
的夹角为，
故，
所以
，
．
故．
故选：．
5.如果实数，满足，那么的范围是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
由于表示圆上的点与原点连线的斜率，过原点作圆的切线，数形结合得出结果．
【解答】
解：方程 ，表示以为圆心、半径等于的圆．
而表示圆上的点与原点连线的斜率，
过原点作圆相的切线、，
由图形可知直线、的倾斜角分别为、，
所以切线、的斜率分别为，，
故的最大值是，最小值是，
故选B．
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，属基础题．
由点到直线的距离公式，可得，的关系，再由离心率公式，计算即可得出结果，
【解答】
解：抛物线即的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以点到直线的距离为，则，
则双曲线的离心率为．
故选A．
7.直线与圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交
【答案】C
【解析】【分析】
利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离与半径比较大小即可得出结论．
本题考查了点到直线距离公式、直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【解答】
解：圆的圆心，半径．
圆心到直线的距离，
，
当且仅当，时取等号，
，
直线与圆的位置关系为相交或相切．
故选：．
8.在正方体中，点在上运动包括端点，则与所成角的取值范围是
( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间向量的应用、向量夹角公式、异面直线所成的角、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
设与所成角为如图所示，不妨设，，则，利用，即可得出．
【解答】
解：设与所成角为．
如图所示，不妨设．
则，，，，
，，．
设，
则，．
，
当时，；
当时，，
此时，
当且仅当时等号成立．
．
故选B．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的有
( )
A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限
B. 直线过定点
C. 过点斜率为的点斜式方程为
D. 斜率为，在轴截距为的直线方程为
【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查了直线斜截式方程、点斜式方程，直线过定点问题，属于基础题．
由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式方程可判定D错误．
【解答】
解：对于中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距，故点在第二象限，所以A正确；
对于中，由直线方程，整理得，
所以无论取何值，点都满足方程，所以B正确；
对于中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确；
对于中，由斜截式方程得到斜率为，在轴上的截距为的直线方程为，所以D错误．
故选ABC．
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：法向量，基底的定义，四点共面的充要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用法向量，基底的定义，四点共面的充要条件的应用判断、、、的结论．
【解答】
解：对于：若直线的方向向量为，平面的法向量为，由于，则直线或，故A错误；
对于：若，则共面且不共线，而不共面，所以也是空间的基底，故B正确；
对于：若对空间中任意一点，有，满足，则，，，四点共面，故C正确；
对于：两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，故D正确．
故选BCD．
11.已知平面的法向量为，点为内一点，若点到平面的距离为，则的值为
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了向量法求点面的距离，属于基础题．
构造向量，由点到面的距离公式构造方程，求出即可．
【解答】
解：由题意可知，
，
由，可得，
解得或．
故选AD．
12.已知双曲线经过点，且与椭圆有公共的焦点，点为椭圆的上顶点，点为上一动点，则
( )
A. 双曲线的离心率为
B.
C. 当为与的交点时，
D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线与椭圆的标准方程，基本性质，属于中档题．
由题意可得双曲线的方程为，，，，由此结合各选项，逐项判断即可．
【解答】
解：椭圆： 的焦点，，，
设双曲线，，解得，，则双曲线的方程为，
，故A正确；
渐近线为，，所以，故B错误；
不妨设为第一象限点，在椭圆上，则，在双曲线上，则，
以上两式联立可得，，
，故C正确；
设点，则，
当时，取得最小值，最小值为，故D正确．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
【答案】且
【解析】【分析】
本题考查空间两向量的夹角为锐角的等价条件，考查空间向量数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题．
根据两向量夹角为锐角可得到两向量的数量积大于，且不能共线，利用坐标表示列不等式求解即可．
【解答】
解：空间向量和的夹角为锐角，
则且与不共线，
所以且．
故答案为且．
14.已知，，直线：，：，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的一般方程，两条直线垂直的应用，及由基本不等式求最值，属于中档题．
根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出，满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．
【解答】
解：因为，所以，即．
因为，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为．
15.直线分别与 轴， 轴交于， 两点，点 在圆上，则面积的取值范围 ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，属于一般题．
由题意求得所以 ， ，从而求得 ，再根据直线与圆的位置关系可求得点到直线 距离 ，再结合面积公式即可求解．
【解答】
解：因为直线 分别与 轴， 轴交于 ， 两点，
所以 ， ，因此 ，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
设圆心 到直线 的距离为 ，
则 ，
因此直线 与圆 相离，
又因为点在圆 上，
所以点到直线 距离 的最小值为 ，
最大值为 ，即 ，
又因为 面积为 ，
所以 面积的取值范围为 ．
故答案为：

16.瑞士数学家欧拉年在其所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，，欧拉线方程为，则顶点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】【分析】
本题考查了直线方程的综合求法及应用
【解答】
解：设，易知线段的垂直平分线方程为，欧拉线与直线的交点坐标为，设的外心为，则，，，
由，，得的重心为，将其坐标代入欧拉线方程，得，由可得，或，，即顶点的坐标是或．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知圆的圆心为，且经过点．
求圆的标准方程；
已知直线与圆相交于两点，求．
【答案】解：因为圆的圆心为，且经过点，
所以圆的半径，
所以圆的标准方程为．
由知，圆的圆心为，半径，
所以圆心到直线的距离，
所以．
【解析】本题考查求圆的标准方程及弦长，属于基础题．
根据已知条件求出圆的半径，再结合圆心坐标求出标准方程即可
求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求出．
18.本小题分
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
求顶点，的坐标
求的面积．
【答案】解：设，
因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，
所以解得即的坐标为．
设，
因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，
所以解得即的坐标为．
因为，，所以．
因为边所在直线的方程为，即，
所以点到边的距离为，即边上的高为，
故的面积为．
【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，是中档题．
根据边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为，联立求点，的坐标；
求出顶点到直线的距离，线段的长，即可得出的面积．
19.本小题分
已知直三棱柱，侧面是正方形，点在线段上，且，点为的中点，，．
求异面直线与所成的角；
求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】解：因为侧面是正方形，，，所以，
因为三棱柱直三棱柱，所以面，而，平面，因此，，
所以，，两两垂直．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如下图：
因此，，，，而点为的中点，所以，
因为在线段上，所以设，
因此，
因为，所以，解得，因此，即，
因为，所以，
因此异面直线与所成的角为；
设平面的法向量为，而，
因此由得，取得，，
所以是平面的一个法向量，
设平面的法向量为，则可取，
设平面与平面夹角为，则，
因此，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
【解析】本题考查了棱柱的结构特征 ，线面垂直的性质 ，直线与直线所成角的向量求法和平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
利用直棱柱的结构特征 ，结合线面垂直的性质和题目条件得，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论
分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．
20.本小题分
已知双曲线的焦点坐标为，实轴长为，
求双曲线标准方程；
若双曲线上存在一点使得，求的面积．
【答案】解：由条件，，，
双曲线方程为，
由双曲线定义，
，
，
的面积．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程，三角形的面积，属于基础题．
由题意可得，，可得，即可求双曲线标准方程，
根据双曲线的定义和勾股定理和三角形的面积公式即可求出．
21.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，．
若的中点为，求证：平面；
若与底面所成的角为，求与平面的所成角的余弦值．
【答案】解：如图，取 的中点 ，连接 ，
分别为 的中点，
，且 ．
且 ，
且 ，
四边形 是平行四边形，
．
平面 ， 平面 ，
平面 ．
若 是 中点，取 中点为 ，连接 ．
分别是 的中点，
．
，
．
由底面 为直角梯形且 ， ， ．
，
．
由侧面 底面 ，平面 平面 ， 面 ，
平面 ，
在平面 的投影在直线 上．
又 与底面 所成的角为 ，
与底面 所成角的平面角 ，
为等边三角形， ．
以 为原点，分别以 所在的直线为 轴，如图建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ．
设平面的法向量 ，
则 ，即 ，
取 ，得 ，
．
设 与平面 的所成角为 ，
则 ．
，

，
与平面 的夹角的余弦值为 ．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查直线与平面所成角的向量求法，属于一般题．
取 的中点 ，连接 先证明四边形 是平行四边形，即可得出 ，然后即可证明线面平行；
先证明 平面 ，即可得出 然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面 的法向量，根据向量求得 与平面 的所成角的正弦值，进而求得余弦值．
22.本小题分
已知抛物线：的焦点为，斜率为的直线经过，且与抛物线交于，两点，．
求抛物线的方程；
过抛物线上一点作两条互相垂直的直线与抛物线相交于，两点异于点，证明：直线恒过定点，并求出该定点坐标．
【答案】解：抛物线的焦点，
设直线，联立方程组
消去得
设，，则有．
由抛物线的定义有：，解得：．
所以抛物线的方程为．
点在抛物线上，所以，即．
设直线方程：，、
消去得：．
，即．
，．
由，得，
即：．
整理得，
即，所以．
当，即时，直线方程：．
此时直线过定点与点重合，故舍去．
当，即时，直线方程：．
此时直线恒过定点．
【解析】本题考查了抛物线中的直线过定点问题，抛物线的焦点弦问题，属中档题．
设出直线，与抛物线方程联立，利用抛物线定义表示出弦长，即可求解，得到抛物线方程；
求得坐标，设出方程，与抛物线方程联立，利用可得参数关系，即可得直线恒过的定点．