北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期中学习质量监测与反馈数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期中学习质量监测与反馈数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 750.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-21 17:43:16 | ||
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文档简介
北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期中学习质量监测与反馈
数学学科试卷
使用时间：11月17日考试时间：120分钟满分：150分
命题人：韩磊审题人：高二数学备课组
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．是椭圆上一点，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A． B． C．3 D．4
6．如图，在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
8．已知是椭圆的左、右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
10．已知椭圆，双曲线．设籿圆的两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆一个交点为，若且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．过点且与直线平行的直线方程为______________．
12．椭圆的一个焦点是，那么等于______________．
13．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为______________．
14．在长方体中，，则______________．
15．已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为______________．
16．如图，正方体的棱长为分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是______________；最大值是______________．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本小题13分）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求到面的距离．
18．（本小题13分）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）求的面积．
19．（本小题15分）在如图所示的多面体中，且且且平面，分别为棱的中点．
（Ⅰ）求点到直线的距离；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
20．（本小题15分）已知椭圆过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．
21．（本小题14分）已知集合具有性质P：对任意的与两数中至少有一个属于．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）当时，若，求集合．
北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期中学习质量监测与反馈
数学参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．
BBABA CDBDA
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11． 12．3 13．3 14．3 15． 16．
三、解答题共5小题，共70分．
17．解：（1）以为原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．
所以，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以
所以平面．（只写结果给1分）
（2）因为为的中点，由（1）知平面的法向量为，又，
所以到面的距离为．
18．解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在轴上，设焦距为，
由，所以，所以焦点坐标为．
离心率为：．
（2）由直线与椭圆相交于两点，设
则消去得，
所以
又到的距离为
所以的面积为：．
19．解：由平面，如图以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得：，，，，，，，，．
（Ⅰ）依题意，可得，，
所以，点到直线的距离为．
（Ⅱ）依题意．
设为平面的一个法向量，
则即
不妨令，可得．又，
设为平面的一个法向量，
则即，不妨令，
可得．
因此有．
则平面与平面的夹角的余弦值为．
（Ⅲ）在棱上不存在点，使得平面平面．理由如下：
假设棱上存在一点，使得平面平面．
设点，则．
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，
因为，所以直线与平面相交．
则平面与平面有公共点，这与假设两平面平行矛盾．
所以在棱上不存在点，使得平面平面．
20．解：（Ⅰ）由题意得
解得．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．
直线的方程为，
由得．
所以．
综上的值为1．
21．（1）解：因为都属于数集，
所以数集具有性质；
因为和均不属于数集，所以数集不具有性质；
（2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于，
所以不属于，所以属于集合，即，所以，
令，因为与两数中至少有一个属于，
所以不属于，所以属于集合，
令，则是集合中的某一项，
若，符合题意，
若，则，所以，矛盾，
同理等于其他项均矛盾，所以，
同理，令，可得．
倒序相加得．（要写出证明过程）
（3）当时，令，当时，，
因为集合具有性质，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，即，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以．（只写结果给2分）
数学学科试卷
使用时间：11月17日考试时间：120分钟满分：150分
命题人：韩磊审题人：高二数学备课组
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．是椭圆上一点，是该椭圆的两个焦点，且，则（ ）
A．1 B．3 C．5 D．9
4．双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线被圆截得的弦长为2，则（ ）
A． B． C．3 D．4
6．如图，在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
8．已知是椭圆的左、右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（ ）
A．13米 B．14米 C．15米 D．16米
10．已知椭圆，双曲线．设籿圆的两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆一个交点为，若且，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．过点且与直线平行的直线方程为______________．
12．椭圆的一个焦点是，那么等于______________．
13．已知点在抛物线上，则点到抛物线的焦点的距离为______________．
14．在长方体中，，则______________．
15．已知点是椭圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为______________．
16．如图，正方体的棱长为分别为的中点，是底面上一点．若平面，则长度的最小值是______________；最大值是______________．
三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．（本小题13分）在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求到面的距离．
18．（本小题13分）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
（Ⅰ）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（Ⅱ）求的面积．
19．（本小题15分）在如图所示的多面体中，且且且平面，分别为棱的中点．
（Ⅰ）求点到直线的距离；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置，若不存在，说明理由．
20．（本小题15分）已知椭圆过点，且离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．
21．（本小题14分）已知集合具有性质P：对任意的与两数中至少有一个属于．
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）当时，若，求集合．
北京市朝阳区2023-2024学年高二上学期期中学习质量监测与反馈
数学参考答案
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．
BBABA CDBDA
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11． 12．3 13．3 14．3 15． 16．
三、解答题共5小题，共70分．
17．解：（1）以为原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．
所以，则，
设平面的法向量为，则，令，则，
所以
所以平面．（只写结果给1分）
（2）因为为的中点，由（1）知平面的法向量为，又，
所以到面的距离为．
18．解：（1）椭圆知，该椭圆的焦点在轴上，设焦距为，
由，所以，所以焦点坐标为．
离心率为：．
（2）由直线与椭圆相交于两点，设
则消去得，
所以
又到的距离为
所以的面积为：．
19．解：由平面，如图以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，可得：，，，，，，，，．
（Ⅰ）依题意，可得，，
所以，点到直线的距离为．
（Ⅱ）依题意．
设为平面的一个法向量，
则即
不妨令，可得．又，
设为平面的一个法向量，
则即，不妨令，
可得．
因此有．
则平面与平面的夹角的余弦值为．
（Ⅲ）在棱上不存在点，使得平面平面．理由如下：
假设棱上存在一点，使得平面平面．
设点，则．
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量，
因为，所以直线与平面相交．
则平面与平面有公共点，这与假设两平面平行矛盾．
所以在棱上不存在点，使得平面平面．
20．解：（Ⅰ）由题意得
解得．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）由，显然斜率存在，，
当时，．
当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．
由得．
显然．
设，则．
则中点．
直线的方程为，
由得．
所以．
综上的值为1．
21．（1）解：因为都属于数集，
所以数集具有性质；
因为和均不属于数集，所以数集不具有性质；
（2）证明：令，因为与两数中至少有一个属于，
所以不属于，所以属于集合，即，所以，
令，因为与两数中至少有一个属于，
所以不属于，所以属于集合，
令，则是集合中的某一项，
若，符合题意，
若，则，所以，矛盾，
同理等于其他项均矛盾，所以，
同理，令，可得．
倒序相加得．（要写出证明过程）
（3）当时，令，当时，，
因为集合具有性质，所以，
所以，所以，
所以，
所以，所以，即，
又因为，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以．（只写结果给2分）
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