(共18张PPT)
13.3.2 公式法
第1课时 运用平方差公式因式分解
学习目标
1.进一步理解因式分解的意义.
2.理解平方差公式的意义,弄清公式的形式和特征,会运用平方差公式分解因式.
3.通过对比整式乘法和分解因式的关系,进一步发展逆向思维能力.
新课导入
壹
是两个数的平方的差
多项式a2-b2有什么特点？
回想平方差公式的特点，你能将它分解因式吗？
由于整式的乘法与因式分解是方向相反的变形,把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到了a2-b2= (a+b)(a-b).
新课导入
讲授新知
贰
a2-b2=(a+b)(a-b).
用平方差公式分解因式
能用平方差公式分解因式的多项式的特点：
多项式是一个二项式,两项都能写成平方的形式，且符号相反..
“两个数”指的是a，b，而不是a2，b2，其中a，b可以是单项式，也可以是多项式.
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.
知识点 用平方差公式分解因式
讲授新知
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
b2
a2
-
)
)(
(
b
a
b
a
b2
a2
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差 .
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.乘积.
讲授新知
判断下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
①x2+y2; ②x2-y2; ③-x2+y2; ④-x2-y2.
解：①不能，不符合平方差公式；
②能，符合平方差公式；
③能，符合平方差公式；
④不能，不符合平方差公式.
讲授新知
运用平方差公式的注意事项：
(1)只有符合平方差公式特点的二项式，才可以运用平方差公式分解因式；
(2)运用平方差公式分解因式的前提条件是多项式可以写成两个数（两个式子）的平方差的形式.
讲授新知
例1 分解因式：
(1)4x2 － 9; (2) (x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2.
分析：在(1)中， 4x2 = (2 x) 2 , 9 = 3 2, 4 x2 － 9 =(2 x) 2 －3 2 ，即可用平方差公式分解因式；
(1) 4x2 － 9 =(2 x ）2 － 3 2= (2x ＋ 3)(2x － 3)；
在(2)中，把x ＋ p和x ＋ q各看成一个整体，设x ＋ p = m， x ＋ q = n ，则原式化为m 2 － n 2.
（2）(x ＋ p)2 －(x ＋ q) 2 = [( x ＋ p) + (x ＋ q)][(x ＋ p ) － (x ＋ q) ] = (2x ＋ p ＋ q)(p － q).
范例应用
解：(1) x4-y4
=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)；
(2) a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1) .
例2 分解因式
(1) x4-y4； (2) a3b-ab.
注意：分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
范例应用
当堂训练
叁
当堂训练
1.下列公式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ）
A.-x2+y2 B.-1-m2 C.a2-9b2 D.4m2-1
2.下列运用平方差公式分解因式，正确的是（ ）
A、x2+y2=（x+y）（x-y）
B、x2-y2=（x+y）（x-y）
C、-x2+y2=（-x+y）（-x-y）
D、-x2-y2=-（x+y）（x-y）
3.下列各式中，分解因式正确的是( )
B
B
D
4.分解因式：
(1)9a2－4b2；(2)x2y－4y；(3)(a＋1)2－1；
分析：对于(1)可先化成平方差形式，再直接利用平方差公式分解因式；对于(2)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；
对于(3)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；
(1)原式＝(3a)2－(2b)2＝(3a＋2b)(3a－2b)；
(2)原式＝y(x2－4)＝y(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)
当堂训练
课堂小结
肆
因式分解
平方差公式法
用平方差公式分解因式的步骤和注意事项
a2-b2=(a+b)(a-b)
课堂小结
课后作业
课后练习 P117第 1,2题。
谢
谢(共21张PPT)
13.3.2 公式法
第2课时 运用完全平方公式
因式分解
学习目标
1.在掌握了因式分解意义的基础上,会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解.
2.在运用公式法进行因式分解的同时,培养观察、比较和判断能力以及运算能力,用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力.
新课导入
壹
多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2有什么特点？
首、末两项和是两个数的平方和的形式，
而中间的一项是这两个数的积的2倍.
回想完全平方公式的特点，你能将它们分解因式吗？
新课导入
讲授新知
贰
这个大正方形的面积可以有两种表达方式
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
a
b
a
b
a
ab
ab
b
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
将上面的完全平方公式倒过来看，能得到：
讲授新知
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
观察这两个式子：
每个多项式有几项？
中间项和第一项，第三项有什么关系？
每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
讲授新知
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.
a2
2
a
b
b2
±
.
+
.
=
（ a ± b)
知识点1 完全平方式:
讲授新知
例1 下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
范例应用
把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2 的等号两边互换位置，就可以得到2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.
语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
知识点2 用完全平方公式分解因式
讲授新知
(1)完全平方公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式；
(2)利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式；
(3)因式分解中的完全平方公式与整式乘法中的完全平方公式的区别是等号两边的内容相反.
讲授新知
分析：(1)中，16x2+24x+9=( )2+2×( )×( )+( )2，是一个完全平方式.(2)中，应先提取公因数
4x
例2 分解因式：
(1) 16x2+24x+9； (2) -x2+4xy-4y2.
3
-1
4x
3
解：（1）
（2）
范例应用
1.当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
2.当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
3.当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
知识点3 因式分解的综合运用
讲授新知
例3 分解因式：
(1) (x-y)2+2(x-y)+1 (2) 4x3-8x2+4x
解：(1) (x-y)2+2(x-y)+1 =(x-y)2+2(x-y)+12
=(x-y+1)2
(2) 4x3-8x2+4x
=4x(x2-2x+1)
=4x(x-1)2
范例应用
当堂训练
叁
当堂训练
1.下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2＋x＋1 B．x2＋2x－1
C．x2－1 D．x2－6x＋9
2.把2xy－x2－y2分解因式，结果正确的是( )
A．(x－y)2 B．(－x－y)2
C．－(x－y)2 D．－(x＋y)2
3.多项式4a +ma+9是完全平方式，那么m的值是（ ）
A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.下列因式分解正确的是( )
A．3ax2－6ax＝3(ax2－2ax) B．x2＋y2＝(－x＋y)(－x－y)
C．a2＋2ab－4b2＝(a＋2b)2 D．－ax2＋2ax－a＝－a(x－1)
D
C
D
D
5.分解因式：
(1) 4x2-25y2 ； (2) (a+2)2-1 ；
(3) 16(a-b)2-25(a+b)2 ； (4) x5-16x .
解：(1) 原式=(2x)2-(5y)2
=(2x+5y)(2x-5y) ;
(2) 原式=(a+2+1)(a+2-1)
=(a+3)(a+1) ;
(3) 原式=[4(a-b)]2-[5(a+b)]2
=[4(a-b)+5(a+b)][4(a-b)-5(a+b)]
=(9a+b)(-a-9b)
=-(9a+b)(a+9b) ;
(4)原式=x(x4-16)
=x[(x2)2-42]
=x(x2+4)(x2-4)
=x(x2+4)(x+2)(x-2) .
当堂训练
课堂小结
肆
运用完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
完全平方式
a2±2ab+b2
课堂小结
课后作业
课后练习 P119第 1-2题。
谢
谢
