安徽省巢湖市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

巢湖市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知直线/的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.若双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 6 D. 7
3.以，两点为直径的两个端点的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
4.堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，下列说法错误的是( )
A. 的最大值为10 B. 为定值
C. C的焦距是短轴长的 D. 存在点A，使得
6.已知在中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则的周长的最小值为( )
A. B. C. D.
7.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E，F分别为PD，PB的中点，点G满足，，，若平面CEF，则( )
A. B. C. D.
8.已知底边BC长为2的等腰直角三角形是平面ABC内一点，且满足，则面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.直线l的方向向量为，平面，的法向量分别为，，则下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则直线l与平面所成角的大小为
D. 若，，则平面，的夹角大小为
10.若方程所表示的曲线为C，则( )
A. 曲线C可能是圆
B. 若，则C为椭圆
C. 若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D. 若C为双曲线，且焦点在y轴上，则
11.下列有关直线与圆的结论正确的是( )
A. 过点且在x，y轴上的截距相等的直线方程为
B. 若直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为
C. 若点是圆外一点，直线l的方程是，则直线l与圆相离
D. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数
12.已知O为坐标原点，，分别为双曲线的左、右焦点，C的一条渐近线l的方程为，且到l的距离为，P为C在第一象限上的一点，点Q的坐标为，PQ为的平分线，则( )
A. 双曲线C的方程为 B. 双曲线C的离心率为2
C. D. 点P到x轴的距离为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知圆，过点的直线被圆C截得弦长最短时，直线的方程为__________.
14.在长方体中：底面是边长为1的正方形，，E为的中点，F为上靠近点C的三等分点，则点E到平面BDF的距离为__________.
15.已知双曲线的离心率是，，分别为双曲线C的左、右焦点，过点且垂直于x轴的垂线在x轴上方交双曲线C于点M，则的值为__________.
16.过直线上任意点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，直线AB过定点__________;记线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的最小值为__________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知的三个顶点分别是，，
求边BC的高所在的直线方程;
求平分的面积且过点B的直线的方程.
18.已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点A到该条渐近线的距离为
求双曲线C的方程;
若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为，求直线I的斜率.
19.已知点，圆C的圆心在直线上，且圆C与y轴切于点
求圆C的方程;
若直线l过点P且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程.
20.一动圆与圆外切，同时与圆内切，动圆圆心的轨迹为曲线
求曲线E的方程;
点P为E上一动点，点O为坐标原点，曲线E的右焦点为F，求的最小值.
21.如图，在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面SAB，M，N，P，Q分别是SB，BC，SA，CN的中点.
求证：平面
若，求平面AMN与平面SAC夹角的余弦值.
22.已知椭圆的左、右焦点分别为，，该椭圆的离心率为，且椭圆
上动点M与点的最大距离为
求椭圆C的方程;
如图，若直线l与x轴、椭圆C顺次交于P，Q，点P在椭圆左顶点的左侧，且，求面积的最大值.
巢湖市部分中学2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线倾斜角与斜率关系，属基础题.
【解答】
解：因为直线l的方程为，即，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故选
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查椭圆和双曲线的焦点，属于基础题.
【解答】
解：因为椭圆的焦点为，，所以双曲线的焦点为，，故，解得故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查圆的标准方程，属于基础题.
【解答】
解：由题意得，圆心坐标为AB中点，即，半径为，
所以圆的方程为
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角求解，可利用空间向量法，属基础题.
【解答】
解：由题意得，平面ABC，，以C为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，
所以，
设异面直线与所成的角为，
则，故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义，弦长，焦点以及余弦定理求角，属于基础题.
【解答】
解：由题意得，，，，所以，，，而，
，故选项A，C正确;由椭圆的对称性知，，故选项B正确;当A在y轴上时，，则最大角为锐角，所以不存在点A，使得，故选项D错误.故选
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查点与直线间的对称问题，考查两点间距离公式，属于中档题.
【解答】
解：设点A关于直线的对称点为，点A关于x轴的对称点为，
连接交l于B，交x轴于C，则此时的周长取最小值，且最小值为，
与A关于直线I对称，，解得，，易求得，
，即周长的最小值为
故选
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查线面位置关系，可通过建系处理，属中档题.
【解答】
解：因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以，，
又底面ABCD是正方形，所以，
则PA，AB，AD两两垂直，以点A为坐标原点，
，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
设平面CEF的法向量为，则，
令，得设，，
因为平面CEF，所以，即，
解得，故，所以故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查隐形圆问题，点到直线的距离，三角形面积的最值，属于中档题.
【解答】
解：以BC的中点O为原点，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，，设，因为，
所以，得，
所以点D的轨迹为以为圆心，以为半径的圆.
当点D与直线AB距离最大时，面积最大，
直线AB的方程为，，
点D到直线AB的最大距离为，
所以面积的最大值为
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查求解平面与平面的夹角，考查面面垂直的判定等，属于中档题.
【解答】
解：若，则，故A正确;
若，则，故B正确;
因为直线与平面所成角的范围为，若，，
则与的夹角为，所以直线l与平面所成角的大小为，故C错误;
因为两平面夹角的范围为，若，，则平面，的夹角大小为，故D正确.
故选
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查圆的方程、椭圆方程、双曲线方程，属基础题.
【解答】
解：当，即时，方程为，表示圆心为原点，半径为
的圆，故选项A正确，选项B错误;
若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C正确;
若C为双曲线，且焦点在y轴上，方程即
，则，解得，故选项D错误.故选
11.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查直线方程的求解。直线过定点问题，直线与圆的位置关系的判断等知识，属于中档题.
【解答】
解：过点且在x，y轴截距相等的直线方程为或，故A错误;
已知直线过定点，且，，则，故B正确;
因为点是圆外一点，所以，所以圆心到直线的距离，所以直线l与圆相交，故C错误;
由圆的方程，得圆心为，半径为2，若圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离等于1，则，解得，故D正确.
故选
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程，考查双曲线的离心率，考查双曲线的性质等，属于综合题.
【解答】
解：由到渐近线的距离为，得，解得，
由渐近线方程为，得，结合可得，，
则双曲线C的方程为，故A正确;
离心率，故B正确;
因为PQ为的平分线，所以，故C错误;
由双曲线定义可得，又，
所以，，在中，，
所以
设点P到x轴的距离为d，则，
即，
解得，故D正确.
故选
13.【答案】填也给分
【解析】【分析】
本题考查直线与圆相交中弦长问题，属基础题.
【解答】
解：过点P且弦长最短的弦应是垂直于直线CP的弦.
又直线CP的斜率为1，所以所求直线的斜率为，
故所求直线的方程为，即
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.
【解答】
解：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，，，，
设平面BDF的法向量为，
则，令，则，
点E到平面BDF的距离
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查与离心率有关的问题，考查双曲线中的焦点三角形，属于综合题.
【解答】
解：由题意得，，点M的横坐标为c，将代入双曲线C的方程，
得，所以，又，所以，
所以
16.【答案】

【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，圆的轨迹方程，属较难题.
【解答】
解：设，因为P是直线上一点，所以，
以OP为直径的圆的方程为，即，
所以，即直线AB的方程为，又，
直线AB的方程为，故直线AB过定点
设，直线AB过定点为M，则，由，得，
整理得点Q的轨迹方程为，
则点Q到直线l的距离的最小值为
17.【答案】解：由题意得，，
则边BC的高所在的直线方程为，
即，亦即
设线段AC的中点为，
则，
所以直线BD的方程为，即

【解析】本题考查直线方程的综合求法，属于基础题.
18.【答案】解：因为双曲线C的一条渐近线与直线垂直，且双曲线C的渐近线为，
所以该条渐近线为，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线C的方程为
设，，则，
所以，
化简得
因为线段AB的中点为，所以，，
设直线的斜率为，所以，解得，即直线l的斜率为

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题.
19.【答案】解：设圆心坐标为，
圆C的圆心在直线上，且圆C与y轴切于点，
解得，，半径，
圆C的方程为
由题意得，圆心到直线l的距离为
若直线l的斜率存在，设直线I的方程为，
则，
解得或
当直线l的斜率不存在，l的方程为，
此时圆心到直线l的距离为2，不满足题意，舍去.
综上，直线l的方程为或

【解析】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长问题、求圆的方程，属中档题.
20.【答案】解：设动圆圆心为，半径为R，
将圆的方程分别配方得：圆，圆，
当动圆M与圆外切时，，
当动圆M与圆内切时，，
所以，
所以点M的轨迹是焦点为，，且长轴长等于12的椭圆.
所以动圆圆心M轨迹方程为
由得，，设，
所以，
因为点P在椭圆上，所以，，
所以，
所以当时，，
故的最小值为

【解析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．
求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．
设，列出的表达式，配方后利用二次函数的性质求最值即可．
21.【答案】解：连接BP交AM于点I，连接
因为M，P分别为SB，SA的中点，
所以I为的重心，所以
因为N为BC的中点，Q为CN的中点，所以，
所以，所以
又因为平面AMN，平面AMN，所以平面
如图所示，以A为坐标原点，分别以，为x轴、y轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，，
设平面AMN的法向量为，则，
即，取
设平面SAC的法向量为，则
即，取
设平面AMN与平面SAC夹角为，则，
所以平面AMN与平面SAC夹角的余弦值为

【解析】本题主要考查线面平行的判定，考查平面与平面所成角的向量求法，属于综合题.
22.【答案】解：椭圆的离心率为，，即
椭圆上动点M与点的最大距离为3，，
，，，椭圆C的方程为
设，，由知，，
，，
，化简整理，得
设直线PQ的方程为，
联立，得，
，
，，，，
，
，，，
直线PQ的方程为
点到直线PQ的距离，
，，，即
令，则，，
，
当且仅当时，等号成立，此时，直线l存在.
综上，面积的最大值为

【解析】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属较难题.