第二十七章 相似综合测评卷(二)（含答案）

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第二十七章 相似(二)综合测评卷
一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)
1.下列命题中，正确的是 ( )
A.所有的矩形都相似
B.所有的直角三角形都相似
C.有一个角是100°的所有等腰三角形都相似
D.有一个角是50°的所有等腰三角形都相似
2.如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上一点,若 DE∥BC,下面有四个结论： 其中正确的有 ( )
A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个
3.如图所示,在△ABC 中,DE∥BC,若 则 的值为 ( )
4.如图，已知矩形ABCD中，点E 是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边 CD于点P，则图中共有相似三角形 ( )
A.6对 B.5对 C.4对 D.3 对
5.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△CAB∽△CDE 的是( )
A.∠A =∠CDE B.∠B=∠E
6.如图,在矩形ABCD中,AB=6,点E,F分别在AD,BC边上,且EF⊥BC,若矩形ABFE∽矩形DEFC,且面积比为1:9,则AD长为 ( )
A.20 B.18 C.12 D.9
7.如图，把一个矩形分割成四个全等的小矩形，要使小矩形与原矩形相似，则原矩形的长与宽之比为 ( )
A.2:1 B.4:1 C. :1 D.1:2
8.如图,在平行四边形ABCD 中,E 为 AD 的三等分点,AE = 连接BE,交AC于点F,AC=12,则AF 为 ( )
A.4 B.4.8 C.5.2 D.6
9.如图，以O为位似中心且与△ABC位似的图形编号是( )
A.① B.② C.③ D.④
10.如图,已知点E( -4,2),F(-2,-2),以O为位似中心,按比例尺1:2,把△EFO缩小,则点E 的对应点E′的坐标为 ( )
A.(2,-1)或( -2,1) B.(8,-4)或( -8,-4)
C.(2,-1) D.(8,-4)
二、填空题(本题共计5 小题，每题3 分，共计15分)
11.如图,若四边形 ABCD∽四边形 EFGH,则. 的度数为 *
12.如图所示，在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在竖直的屏幕上形成倒立的实像.若像的长度( 点 O 到 AB 的距离是12 cm,到 CD的距离是3cm,则蜡烛的高度AB为 cm.
13.生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中b=2米，则a约为 米(保留2位小数).
14.如图,在 Rt△ABC内画有边长为9,6,x 的三个正方形,则x的值为 .
15.如图, 中,AB =8 厘米,AC = 16厘米,点 P 从点 A出发，以每秒2厘米的速度向点B运动，点Q同时从点C出发，以每秒3厘米的速度向点A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动.那么，当以点A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间为 .
三、解答题(本题共计8 小题，共计75 分)
16.(8分)已知线段a,b,c,d是成比例线段,其中 ，求线段d的长.
17.(8 分)如图,点 D,E 分别是等边 边 AB,BC上的点(D,E不与 顶点重合)，且
求证：
18.(8 分)平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为
(1)画出将 向上平移6个单位后得到的
(2)以点 M(1，2)为位似中心，在现有网格中画出与 位似的图形
，且使得 与 的相似比为2∶1.
9.(9分)如图,点D是AC上一点,
(1)求证:
(2)若 ,求 BC 的长.
20.(9分)如图,在矩形 ABCD 中,E 为 CD 边上的点,将 沿 BE 折叠,点 C 恰好落在 AD边上的点 F 处.
(1)求证:
(2)若 求DE 的长.
E
21.(10 分)在 中, ，AC 的垂直平分线分别与 AB,AC 交于 D,E 两点.
(1)请用尺规作图作出AC的垂直平分线 DE(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)连接 CD,求证:
22.(11 分)如图,正方形ABCD 的边长为1,动点E在AD边上从点A沿AD向点D运动，以BE为边，在BE上方作正方形BEFG,连接CG.
(1)求证:
(2)若设 ，当x取何值时，y最大 并求出y的最大值；
(3)连接 BH，试探究：当点 E 运动到边 AD 的什么位置时，△BEH∽△BAE 并说明理由.
23.(12 分)如图,已知 是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从B，A两点出发，分别沿BA，AC匀速运动，其中点P 运动的速度是1 cm/s,点 Q 运动的速度是2cm /s,当点Q 到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题：
(1)如图①,当t为何值时,
(2)如图②,当t为何值时, 为直角三角形
(3)如图③,作( 交BC 于点 D,连接PD,当t 为何值时 与 相似
1-10CCDAD AABBA
11.70° 12.8 13.1.24 14.4.
15. 秒或4秒 【解析】设当t(0≤t≤4)秒时,以A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似,则AP=2t,CQ=3t,AQ=16-3t,
①当△APQ∽△ABC时,
可得 即
解得
②当△APQ∽△ACB时,
可得 即
解得t=4,
综上，当 秒或t=4 秒时,以点A,P,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似.
故答案为 秒或4秒.
16.解:∵线段a,b,c,d是成比例线段,
即 解得
∴线段d的长为
17.证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,∴∠BDE+∠BED=120°,
∵ ∠DEF=60°,∴ ∠BED+∠FEC=120°,
∴∠BDE =∠FEC,∴ △DBE∽△ECF.
18.解:(1)如图所示,即为所求;
(2)如图所示，即为所求.
19.(1)证明:∵DE∥AB,
∴∠EDA=∠CAB,
∵ ∠B=∠DAE,
∴△ABC∽△DAE;
(2)解: ∵ △ABC ∽△DAE,
即
BC=16.
20.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴∠A=∠D=∠C=90°,
∴ ∠BFE=∠C=90°,
∴ ∠AFB+∠DFE=180°-90°=90°,∠AFB+∠ABF=90°,
∴ ∠ABF=∠DFE,
∴△ABF∽△DFE;
(2)解:∵
∴AD=BC=BF=5,∴DF=AD-AF=1,
∵ △ABF∽△DFE,,∴ABF=AT,即
21.解:(1)如图所示,DE 即为所求;
(2)证明:∵ DE 是线段 AC 的垂直平分线,
∴AD=CD,
∵∠A=50°,∠B=30°,
∴ ∠ACD=∠A=50°,
在△ACB中,∠A=50°,∠B=30°,
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-50°=50°,
∴∠BCD =∠A,
∵ ∠B 是公共角,∴△ABC∽△CBD.
22.(1)证明:∵ 四边形 ABCD 和四边形 BEFG都是正方形，
∴ ∠A=∠D=∠BEH=90°,
∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°,
∴∠AEB=∠DHE,
..△ABE∽△DEH;
(2)解:∵ △ABE∽△DEH,
当 时，y有最大值为
(3)解:当 E 点是 AD 的中点时,△BEH∽△BAE,理由如下:
∵E是AD中点,
又
又
又∠DAB=∠FEB=90°,
∴△BEH∽△BAE.
23.解:(1)由题意,知AQ=2tm,BP=tcm,
∵ △ABC 是边长为6 c m的等边三角形,
∴AB=6 cm,∴AP=AB-BP=(6-t) cm,
∵AP=3AQ,∴6-t=3 ×2t,
解得 即当 秒时,AP=3AQ;
(2)若△APQ 为直角三角形,则∠APQ =90°
或∠AQP=90°,
当∠APQ=90°时,
∵∠A=60°,∴ ∠AQP=30°,
即 解得t=3;
当∠AQP=90°时,
. ∠A=60°,∴ ∠APQ=30°,
即 解得
综上，当t=3秒或 秒时,△APQ 为直角三角形；
∵ CA=CB,∴BD=AQ=2 t cm,
又DQ∥AB,∴∠APQ=∠PQD,
当△BDP∽△QDP时,∠B=∠PQD,
∴∠B=∠APQ=60°,
又∠A=60°,∴△APQ为等边三角形,
∴AP=AQ,即6-t=2t,解得t=2;
当△BPD∽△PDQ时,∠B=∠DPQ=60°,
∵∠BPD+∠B+∠BDP=∠BPD+∠DPQ+∠APQ=180°,
∴∠APQ=∠BDP,
∵∠A =∠B,∴△APQ∽△BDP,
即 解得
综上,当 t = 2 秒或 秒时,△BDP 与△PDQ 相似.