数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.1.1数列的概念与通项公式 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
4.1.1 数列的概念与通项
1.能准确说出数列的概念及其表示方法（重点、难点）
2.会用通项公式写出数列的任意一项
3.对于比较简单的数列，会根据给定的前几项写出它的一个通项公式（易错点）
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家喜欢在沙滩上研究数学问题. 把数描绘成沙滩上的小石子,小石子能摆成不同的几何图形, 就产生了一系列的形数.
他们发现,当小石子的数目是1,3,6,10等数时,小石子都能摆成正三角形,如图(a),他们把这些数叫做三角形数;
当小石子的数目是1,4,9,16等数时,小石子都能摆成正方形,如图(b),他们把这些数叫做正方形数;等等.
实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
问题1 ：它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
第1年
第2年
第3年
.......
不能交换位置，并且具有确定的顺序.
记王芳第i岁时的身高为,则有：
新知探究
实例2：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中
从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
问题2：它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？
不能交换位置，并且具有确定的顺序.
记第天月亮可见部分的数为，那么s1=5，s2=10，…，s15=240.
思考：上述的两个例子，有什么共同特征呢？
不能交换位置、具有确定的顺序
新知探究
问题3 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数
（1）这列数是什么呢？请你列出来；
（2）这列数是否具有上述的特征？如果是，请你仿照以上的叙述，
说明这也是具有确定的顺序的一列数
记第i个数为si，那么s1= ，s2= ， s3=， s4=，…
不能交换位置、具有确定的顺序
思考： 上面三个例子的共同特征是什么？
数列的概念：一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
数列第一个位置上的数叫做这个数列的第1项 (或首项)，用符号表示
第二个位置上的数叫做这个数列的第2项, 用符号表示…,
第个位置上的数叫做这个数列的第项, 用符号表示.
数列的一般形式是 : ，简记为.
数列中的每一个数都叫做数列的项.
（1）：1，3，5，7是一个数列，7，5，3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？
（2）：1，1，1，1，1…是不是一个数列？
概念辨析
项数有限的数列称为有穷数列，如数列1、2；
项数无限的数列称为无穷数列，如数列3．
思考：观察三个例题中的数列的项数有什么区别？
思考： 数列中的每一个数和集合中的元素有什么区别？
1.数列中的数一定是“数”，而集合中的元素不一定是“数”。
2.数列中的数是按一定次序排列的，排列次序不同，那么它们就是不同的数列； 而集合中的元素是无序的。
3.数列定义中并没有规定数列中的数必须不同，同一个数在数列中可以重复出现；而集合中的元素不能重复出现。
数列的一般形式是 : ，简记.
：表示数列
数列中的每一项与它的序号(下标)有下列的对应关系：
序号 1 2 3 … n …
…
…
项
：仅表示数列中的第项这一个数值
概念辨析
思考：在数列中 表示的意义一样吗？为什么？
N*
R
= f(n)
当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是数列{}.
另一方面，对于函数，如果f(n) (n∈N*）有意义，那么f(1)，f(2)，…，f(n)，…构成了一个数列{f(n)}。
序号 1 2 3 … n …
…
…
项
数列是自变量为离散的数的函数．
问题4：数列中各项与各项序号之间的对应关系是什么关系？
数列也可以用表格和图象来表示．
思考：从表和图来看，数列中的项随序号的变化呈现出什么特点？
单调性
问题5：类比函数的表示方法，数列还有哪些表示方式？
例如，实例1中王芳身高可以表示表格与图像如下
数列的分类
练习册[例1] 下列数列哪些是有穷数列 哪些是无穷数列 哪些是递增数列 哪些是递减数列 哪些是常数列
(1)1,0.84,0.842,0.843,…;
(2)2,4,6,8,10,…;
(3)7,7,7,7,…;
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1;
(6)0,-1,2,-3,4,-5,….
问题6：数列的每一项与它的序号有一定的对应关系，这一关系可否用一个公式表示
如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
思考： 你能写出例3中 、 、、 ...，数列的通项公式吗？
追问：数列的通项公式有什么作用？
追问：例1、例2中的两个数列也能写成通项公式的形式吗？
实例1：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：
实例2：在两河流域发掘的一块泥版上就有一列依次表示一个月中
从第1天到第15天每天月亮可见部分的数∶5，10，20，40，80，
96，112，128，144，160，176，192，208，224，240.
并不是所有数列都能写出（或方便写出）其通项公式
例1 根据下列数列{}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象.
(1) ； (2).
解：(1)当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{}的前5项依次为1，3，6，10，15. 图象如图 (1)所示.
(2)当通项公式中的n=1，2，3，4，5时，数列{}的前5项依次为1，0，1，0，1. 图象如图 (2)所示.
例2 根据下列数列的前几项，写出数列的个通项公式：
(1) ； (2) ，
(2)观察可知，各项都可以化为分母为2，分子为对应项数的平方的形式，∴该数列的一个通项公式为
解(1)：∵，，，
，，，
∴该数列的一个通项公式为.
(3) (4)
(4)∵数列9，99，999，9999，的一个通项公式是
.
解(3)：数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为
再把各分母分别加上1，数列又变为 ，∴.
例2 根据下列数列的前几项，写出数列的个通项公式：
(1) ； (2) ，
(3) (4)
追问：此数列还可以表示成其他形式吗？
问题7：通过上述实例的研究，你对数列通项公式有什么样的认识
3.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示.
1.并不是所有数列都能写出（或方便写出）其通项公式
2.数列的通项公式的形式不唯一
它反映了一个数列项{}与项数的一种对应关系（函数关系）
数列 通项公式
1，2，3，4，…
1，3，5，7，…
2，4，6，8，…
1，4，9，16，…
1，2，4，8，…
-1,1,-1,1,…
9,99,999,9999,…
1，，，，…
1.数列的定义；
2.数列的通项公式：
（1）定义：用来表示数列的第项与n之间关系的公式
（2）通项公式的理解∶不是所有的数列都有通项公式；
同一个数列可以有不同的通项公式.
3.数列的表示方法：通项公式法、列表法、图象法.
课堂小结