江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·江宁期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：∵
∴，又.
故答案为：C
【分析】由已知求出集合A，利用补集和交集的定义即可求解.
2．（2023高二下·江宁期末）已知（i为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵，
∴ z=，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据复数运算法则、模的计算公式，计算即可.
3．（2023高二下·江宁期末）已知，是平面中两个不共线的向量，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解： 因为，是平面中两个不共线的向量，所以
因为，，且，所以存在实数m使得，
即，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量共线的条件，列出方程，根据恒等式列出方程组即可求解.
4．（2023高二下·江宁期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：当各项均为正数的等比数列，公比为，且时，，
所以为递增数列，充分性成立.
当各项均为正数的等比数列为递增数列时，，必要条件成立.
“”是“为递增数列”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列定义以及充分必要条件的判断方法即可得出结论.
5．（2023高二下·江宁期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在（0，1）上单调递增，
所以函数g(x)=x(a-x)=-x2+ax 在区间（0，1）上单调递增且大于0恒成立，所以，即a2.
所以a的取值范围是
故答案为：D.
【分析】将 函数在区间上单调递增，转化为 函数g(x)=x(a-x)=-x2+ax 在区间（0，1）上单调递增且大于0恒成立，结合二次函数开口方向、对称轴的位置即可求解.
6．（2023高二下·江宁期末）五张卡片上分别写有、、、、五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：将 1、2、3、4、5五个数字组成的五位数为基本事件有个数字，设 这五张卡片组成的五位数是偶数为基本事件A，有个数字，所以P（A）=.
故答案为：A.
【分析】根据古典概型的概率公式，找到基本事件的结果数和基本事件A的结果数，即可求解.
7．（2023高二下·江宁期末）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，∥底面，，与是全等的等边三角形，则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：过E作，分别交AB、CD于G、H，连接GH，又，
平面EGH，同理，过F作，分别交AB、CD于M、N，连接MN，
则EF平面FMN，平面EGH平面FMN.
∥底面， EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFE=AB，EFAB，
AB平面EGH
三棱柱EGH-FMN为直三棱柱，又AB=2BC=2EF，且全是正三角形
四棱锥E-AGHD与F-MBCN为全等的四棱锥.且EG=EH=FM=FN=，GH=MN=2，
取GH中点P，则EPGH，AB平面EGH，EP平面EGH， EPAB，又ABGH=G，
EP平面ABCD，EP=
.
.
该五面体的体积为 .
故答案为：B.
【分析】过E作，分别交AB、CD于G、H，连接GH，过F作，分别交AB、CD于M、N，连接MN，这就将五面体分割成两个四棱锥、一个三棱柱，结合棱柱、棱锥的体积公式找到所需条件即可.
8．（2023高二下·江宁期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】双曲线的应用；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由得圆心M（5，0），半径MA=MB=1.
设P在双曲线右右支上，，则
，
x0=3时， 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】先求出圆心、半径，结合向量加法、数量积运算法则，转化为向量的模，再利用两点间距离公式转化为二次函数求最值，，可知x0=3时取得最小值.
二、多选题
9．（2023高二下·江宁期末）某班名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为
B．这名同学成绩的平均数在与之间
C．这名同学成绩的众数是
D．估计这名同学成绩的百分位数为
【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A， ，a=0.015，故A正确.
对于B，这50名同学的平均成绩为： ，故B错误.
对于C，这50名同学的众数为：=75，故C正确.
对于D，前三个矩形面积之和为0.1+0.15+0.35=0.6，设这50名同学成绩的75百分数为b，
则， 0.6+(b-80)0.03=0.75，b=85.故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和等于1，求出a的值，可判断A正确.求出全体同学成绩平均数，可判断B错误.最高矩形底边中点值为众数，可判断C正确.根据百分位数的定义，求出50名同学成绩的75百分位数，可判断D正确.
10．（2023高二下·江宁期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知命题：任意，，则命题的否定为：存在，
B．若关于的不等式的解集为，则
C．如果，，，那么的最小值为6
D．函数的最小值为2
【答案】A,C
【知识点】全称量词；存在量词；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，任 意，的否定为：存在，，故A正确.
对于B， 关于x的不等式的解集为，，且
b=-5a， c=6a， a-b+c=a+5a+6a=12a，故B错误.
对于C， ，，当x=3y时取等号.
即，或（舍），x+3y最小值为6.
故C正确.对于D，，当且仅当时取等号，但此方程无解，因此无最小值.故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改成存在，把结论否定，故A正确.
根据不等式的解集，得方程两根且，根据根与系数关系求出a、b、c关系，代入可判断B错误.
利用基本不等式得到关于x+3y的一元二次不等式，解不等式，结合，可得C正确.
对于D，变形后，利用基本不等式进行求解，但等号取不到，可得D错误.
11．（2023高二下·江宁期末）设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的一条对称轴为
C．把的图象向左平移个单位长度后得到函数，则
D．若在上单调递减，则的取值范围为
【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，周期，
，又 函数过，，
， ， .
对于A，，故A正确.
对于B，对称轴为，即，故B正确.
对于C，把f(x)的图像向左平移个单位后得，C错误.
对于D，f(x)在(0，a)上单调递减，则，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】根据三角恒等变换化简，然后利用余弦函数性质即可判断.
12．（2023高二下·江宁期末）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，由y2=4x得准线方程为x=-1，故A错误.
对于B，设A(x，y)，则=x+1=4，x=3，将它代入y2=4x得，
的面积为，故B正确.
对于C，由y2=4x得焦点坐标为F（1，0），当直线AB的斜率不存在时，AB=4，不符合题意.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=k(x-1)，联立得
设A（x1，y1），B(x2，y2)，可得， x1x2=1 ，，
AB方程为y=(x-1)，O到直线AB的距离 ，故C错误.
对于D，则设直线OA、OB的方程分别为y=kx、y=，因为A、B在y2=4x上，
，，，
当且仅当 ，即k=时取等号，故D正确.
故答案为：B、D.
【分析】对于A，根据抛物线定义可得A错误.对于B，根据焦半径求得A点坐标，结合图形求出三角形面积，得B正确.对于C，设直线方程，联立方程组，根据AB的弦长列出方程，即可得到AB直线方程，代入点到直线的距离公式，即可判断C错误.对于D，求得OA、OB的长度，结合基本不等式，即可判断D正确.
三、填空题
13．（2023高二下·江宁期末）已知，则 ．
【答案】
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数关系和二倍角公式，转化为正切即可.
14．（2023高二下·江宁期末）展开式中，的系数为 ．（以数字形式作答）．
【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 展开式中含x3的项为 ，x3的系数为-25.
故答案为：-25.
【分析】根据二项式定理的通项公式，求出各项x3系数合并即可.
15．（2023高二下·江宁期末）曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：将求导得， 所以切线的斜率为，所以所求切线方程为y-(-1)=-(x-1) ，即x+y=0.
故答案为：x+y=0.
【分析】根据导数的几何意义，求出切线斜率，代入点斜式即可.
16．（2023高二下·江宁期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设 外接圆半径为r，则 ，即r=1，PA平面ABC，
球心到平面ABC距离d= ，外接球的半径为R= ，
外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理求出三角形ABC外接圆半径，由PA平面ABC，得出球心到平面ABC距离，
则可求出外接球的半径，进而求出表面积.
四、解答题
17．（2023高二下·江宁期末）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；
（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为，求随机变量的数学期望.
【答案】（1）解：设：第一次摸到的球是白球，：第一次摸到的球是黑球，
：第二次摸到的球是白球，
（2）解：的可能取值为2，3，4，
，，
，
所以的分布列为：
2 3 4
所以数学期望
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据全概率公式计算即可.
(2)列出离散型随机变量X的所有可能值，求出对应的概率，列表可得分布列，代入数学期望公式计算即可.
18．（2023高二下·江宁期末）中，角，，所对的边分别是，，，满足：，
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由已知得，，
由余弦定理，得，
∴，
∵，∴，
由正弦定理，有，
∵，∴，
又，∴
（2）解：在三角形中，，
由正弦定理得：
，，
∴
，
∵在三角形中，，，
∴，显然，即，
则有，
所以的取值范围是．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化，再用正弦定理将边转化为角，即可求解.
（2）利用正弦定理表示a、b并由统一成A，通过三角恒等变换化简，由角的范围，确定函数值的范围即可.
19．（2023高二下·江宁期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）解：由，得，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
，，单调递减
（2）证明：由（1）知，当时，，
要证：当时，，
可证：，
因为，即证：，
设，，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，所以，
即，
所以当时，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的导数，通过讨论a的范围，求得函数单调区间.
（2）通过分析得出，要证 当时， ，只要证即可.根据导数求函数单调性、最大值，从而证明结论.
20．（2023高二下·江宁期末）已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，数列的前项和为，求．
【答案】（1）解：因为是公差为的等差数列，，
所以，得，
当时，；
时，符合，
所以，
（2）解：由，且，
当时，则有
，
又也满足，故对任意的，，
，
则
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，求得，转化为已知求，即求出通项.
（2）根据叠加法得出，然后用裂项求和法求和即得Tn.
21．（2023高二下·江宁期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
22．（2023高二下·江宁期末）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆的切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．
【答案】（1）解：依题意可得，，，，
所以，所以，
所以椭圆的方程为：
（2）证明：若的斜率不存在，则，或，，
此时；
若的斜率存在时，可设直线的方程为，，，
由联立消去可得，，
方程的判别式，
，，，
所以，
当直线与椭圆相切时，
由联立消去可得，，
，化简得，
所以，综上可得为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合向量数量积运算列出方程，即可求解.
（2）分PQ斜率不存在、存在求 . 当PQ斜率存在时，设出直线方程，联立直线和圆、直线和椭圆，根据判别式和根与系数关系，即可求解.
1 / 1江苏省南京市江宁区2022-2023学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．（2023高二下·江宁期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·江宁期末）已知（i为虚数单位），则复数的模为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
3．（2023高二下·江宁期末）已知，是平面中两个不共线的向量，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高二下·江宁期末）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．（2023高二下·江宁期末）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023高二下·江宁期末）五张卡片上分别写有、、、、五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概率（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高二下·江宁期末）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面为矩形，∥底面，，与是全等的等边三角形，则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023高二下·江宁期末）直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为双曲线右支上一个动点，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．（2023高二下·江宁期末）某班名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成、、、、五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．的值为
B．这名同学成绩的平均数在与之间
C．这名同学成绩的众数是
D．估计这名同学成绩的百分位数为
10．（2023高二下·江宁期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知命题：任意，，则命题的否定为：存在，
B．若关于的不等式的解集为，则
C．如果，，，那么的最小值为6
D．函数的最小值为2
11．（2023高二下·江宁期末）设函数的最小正周期为，且过点，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数
B．的一条对称轴为
C．把的图象向左平移个单位长度后得到函数，则
D．若在上单调递减，则的取值范围为
12．（2023高二下·江宁期末）已知是抛物线的焦点，，是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．若，则的面积为
C．若直线过焦点，且，则到直线的距离为
D．若，则
三、填空题
13．（2023高二下·江宁期末）已知，则 ．
14．（2023高二下·江宁期末）展开式中，的系数为 ．（以数字形式作答）．
15．（2023高二下·江宁期末）曲线在点处的切线方程为 .
16．（2023高二下·江宁期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题
17．（2023高二下·江宁期末）袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出1个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；
（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中.试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次.设试验终止时试验的次数为，求随机变量的数学期望.
18．（2023高二下·江宁期末）中，角，，所对的边分别是，，，满足：，
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
19．（2023高二下·江宁期末）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
20．（2023高二下·江宁期末）已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，且，数列的前项和为，求．
21．（2023高二下·江宁期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．
（1）证明：平面；
（2）若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
22．（2023高二下·江宁期末）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为，，为线段的中点，为坐标原点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆，为圆上任意一点，过点作椭圆的切线，交圆于点，若与斜率都存在，求证：为定值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：∵
∴，又.
故答案为：C
【分析】由已知求出集合A，利用补集和交集的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：∵，
∴ z=，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据复数运算法则、模的计算公式，计算即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解： 因为，是平面中两个不共线的向量，所以
因为，，且，所以存在实数m使得，
即，所以，所以.
故答案为：C.
【分析】根据平面向量共线的条件，列出方程，根据恒等式列出方程组即可求解.
4．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：当各项均为正数的等比数列，公比为，且时，，
所以为递增数列，充分性成立.
当各项均为正数的等比数列为递增数列时，，必要条件成立.
“”是“为递增数列”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据等比数列定义以及充分必要条件的判断方法即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为在（0，1）上单调递增，
所以函数g(x)=x(a-x)=-x2+ax 在区间（0，1）上单调递增且大于0恒成立，所以，即a2.
所以a的取值范围是
故答案为：D.
【分析】将 函数在区间上单调递增，转化为 函数g(x)=x(a-x)=-x2+ax 在区间（0，1）上单调递增且大于0恒成立，结合二次函数开口方向、对称轴的位置即可求解.
6．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：将 1、2、3、4、5五个数字组成的五位数为基本事件有个数字，设 这五张卡片组成的五位数是偶数为基本事件A，有个数字，所以P（A）=.
故答案为：A.
【分析】根据古典概型的概率公式，找到基本事件的结果数和基本事件A的结果数，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】组合几何体的面积、体积问题
【解析】【解答】解：过E作，分别交AB、CD于G、H，连接GH，又，
平面EGH，同理，过F作，分别交AB、CD于M、N，连接MN，
则EF平面FMN，平面EGH平面FMN.
∥底面， EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFE=AB，EFAB，
AB平面EGH
三棱柱EGH-FMN为直三棱柱，又AB=2BC=2EF，且全是正三角形
四棱锥E-AGHD与F-MBCN为全等的四棱锥.且EG=EH=FM=FN=，GH=MN=2，
取GH中点P，则EPGH，AB平面EGH，EP平面EGH， EPAB，又ABGH=G，
EP平面ABCD，EP=
.
.
该五面体的体积为 .
故答案为：B.
【分析】过E作，分别交AB、CD于G、H，连接GH，过F作，分别交AB、CD于M、N，连接MN，这就将五面体分割成两个四棱锥、一个三棱柱，结合棱柱、棱锥的体积公式找到所需条件即可.
8．【答案】D
【知识点】双曲线的应用；圆与圆锥曲线的综合；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：由得圆心M（5，0），半径MA=MB=1.
设P在双曲线右右支上，，则
，
x0=3时， 的最小值为 .
故答案为：D.
【分析】先求出圆心、半径，结合向量加法、数量积运算法则，转化为向量的模，再利用两点间距离公式转化为二次函数求最值，，可知x0=3时取得最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】频率分布直方图；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A， ，a=0.015，故A正确.
对于B，这50名同学的平均成绩为： ，故B错误.
对于C，这50名同学的众数为：=75，故C正确.
对于D，前三个矩形面积之和为0.1+0.15+0.35=0.6，设这50名同学成绩的75百分数为b，
则， 0.6+(b-80)0.03=0.75，b=85.故D正确.
故答案为：A、C、D.
【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和等于1，求出a的值，可判断A正确.求出全体同学成绩平均数，可判断B错误.最高矩形底边中点值为众数，可判断C正确.根据百分位数的定义，求出50名同学成绩的75百分位数，可判断D正确.
10．【答案】A,C
【知识点】全称量词；存在量词；一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，任 意，的否定为：存在，，故A正确.
对于B， 关于x的不等式的解集为，，且
b=-5a， c=6a， a-b+c=a+5a+6a=12a，故B错误.
对于C， ，，当x=3y时取等号.
即，或（舍），x+3y最小值为6.
故C正确.对于D，，当且仅当时取等号，但此方程无解，因此无最小值.故D错误.
故答案为：A、C.
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改成存在，把结论否定，故A正确.
根据不等式的解集，得方程两根且，根据根与系数关系求出a、b、c关系，代入可判断B错误.
利用基本不等式得到关于x+3y的一元二次不等式，解不等式，结合，可得C正确.
对于D，变形后，利用基本不等式进行求解，但等号取不到，可得D错误.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：，周期，
，又 函数过，，
， ， .
对于A，，故A正确.
对于B，对称轴为，即，故B正确.
对于C，把f(x)的图像向左平移个单位后得，C错误.
对于D，f(x)在(0，a)上单调递减，则，故D正确.
故答案为：A、B、D.
【分析】根据三角恒等变换化简，然后利用余弦函数性质即可判断.
12．【答案】B,D
【知识点】抛物线的应用
【解析】【解答】解：对于A，由y2=4x得准线方程为x=-1，故A错误.
对于B，设A(x，y)，则=x+1=4，x=3，将它代入y2=4x得，
的面积为，故B正确.
对于C，由y2=4x得焦点坐标为F（1，0），当直线AB的斜率不存在时，AB=4，不符合题意.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为y=k(x-1)，联立得
设A（x1，y1），B(x2，y2)，可得， x1x2=1 ，，
AB方程为y=(x-1)，O到直线AB的距离 ，故C错误.
对于D，则设直线OA、OB的方程分别为y=kx、y=，因为A、B在y2=4x上，
，，，
当且仅当 ，即k=时取等号，故D正确.
故答案为：B、D.
【分析】对于A，根据抛物线定义可得A错误.对于B，根据焦半径求得A点坐标，结合图形求出三角形面积，得B正确.对于C，设直线方程，联立方程组，根据AB的弦长列出方程，即可得到AB直线方程，代入点到直线的距离公式，即可判断C错误.对于D，求得OA、OB的长度，结合基本不等式，即可判断D正确.
13．【答案】
【知识点】弦切互化；二倍角的正弦公式
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】根据同角三角函数关系和二倍角公式，转化为正切即可.
14．【答案】
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解： 展开式中含x3的项为 ，x3的系数为-25.
故答案为：-25.
【分析】根据二项式定理的通项公式，求出各项x3系数合并即可.
15．【答案】
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：将求导得， 所以切线的斜率为，所以所求切线方程为y-(-1)=-(x-1) ，即x+y=0.
故答案为：x+y=0.
【分析】根据导数的几何意义，求出切线斜率，代入点斜式即可.
16．【答案】
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】解：设 外接圆半径为r，则 ，即r=1，PA平面ABC，
球心到平面ABC距离d= ，外接球的半径为R= ，
外接球的表面积为.
故答案为：.
【分析】利用正弦定理求出三角形ABC外接圆半径，由PA平面ABC，得出球心到平面ABC距离，
则可求出外接球的半径，进而求出表面积.
17．【答案】（1）解：设：第一次摸到的球是白球，：第一次摸到的球是黑球，
：第二次摸到的球是白球，
（2）解：的可能取值为2，3，4，
，，
，
所以的分布列为：
2 3 4
所以数学期望
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据全概率公式计算即可.
(2)列出离散型随机变量X的所有可能值，求出对应的概率，列表可得分布列，代入数学期望公式计算即可.
18．【答案】（1）解：由已知得，，
由余弦定理，得，
∴，
∵，∴，
由正弦定理，有，
∵，∴，
又，∴
（2）解：在三角形中，，
由正弦定理得：
，，
∴
，
∵在三角形中，，，
∴，显然，即，
则有，
所以的取值范围是．
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化，再用正弦定理将边转化为角，即可求解.
（2）利用正弦定理表示a、b并由统一成A，通过三角恒等变换化简，由角的范围，确定函数值的范围即可.
19．【答案】（1）解：由，得，
①当时，，在上单调递减；
②当时，令，得，
当时，，单调递增；
，，单调递减
（2）证明：由（1）知，当时，，
要证：当时，，
可证：，
因为，即证：，
设，，
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
，所以，
即，
所以当时，
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求函数的导数，通过讨论a的范围，求得函数单调区间.
（2）通过分析得出，要证 当时， ，只要证即可.根据导数求函数单调性、最大值，从而证明结论.
20．【答案】（1）解：因为是公差为的等差数列，，
所以，得，
当时，；
时，符合，
所以，
（2）解：由，且，
当时，则有
，
又也满足，故对任意的，，
，
则
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式，求得，转化为已知求，即求出通项.
（2）根据叠加法得出，然后用裂项求和法求和即得Tn.
21．【答案】（1）证明：过点作于点，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又平面，平面，
所以，
又因为，，平面，
所以平面．
（2）解：假设在线段上（不含端点），存在点，使得二面角的余弦值为，
以为原点，分别以、为轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，
即取，，，
所以为平面的一个法向量，
因为在线段上（不含端点），所以可设，，
所以，
设平面的一个法向量为，
即，
取，，，
所以为平面的一个法向量，
，又，
由已知可得
解得或（舍去），
所以，存在点，使得二面角的余弦值为，
此时是上靠近的三等分点．
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的性质；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据平面和平面垂直的性质得线面垂直平面，再根据线面垂直性质得线线垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论.
(2)假设存在，设，通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，进而表示出二面角的余弦值，令余弦值为，求得值，满足题意即为存在，否则不存在.
22．【答案】（1）解：依题意可得，，，，
所以，所以，
所以椭圆的方程为：
（2）证明：若的斜率不存在，则，或，，
此时；
若的斜率存在时，可设直线的方程为，，，
由联立消去可得，，
方程的判别式，
，，，
所以，
当直线与椭圆相切时，
由联立消去可得，，
，化简得，
所以，综上可得为定值．
【知识点】椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合向量数量积运算列出方程，即可求解.
（2）分PQ斜率不存在、存在求 . 当PQ斜率存在时，设出直线方程，联立直线和圆、直线和椭圆，根据判别式和根与系数关系，即可求解.
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