人教版（2019）高中数学 必修第一册 4.5.3 函数模型的应用（二）

(共26张PPT)
第4章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.3 函数模型的应用（二）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会利用已知函数模型解决实际问题. 1.数学运算素养.
2.能根据实际问题，建立恰当的函数模型求解问题. 2.数学建模素养.
3.了解拟合函数函数模型并解决实际问题. 3.数学建模素养.
温故知新
我们知道 ，函数是描述客观世界变化规律的数学模型 ，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画. 面临一个实际问题 ，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
（一）常用的函数模型
1.直线型：y＝kx＋b(k≠0)；
3.抛物线型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
4.指数函数型：y＝a·bx＋c(a≠0,b>0,且b≠1)；
5.对数函数型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，且a≠1)；
6.幂函数型：y＝a·xn(a≠0)；
7.分段函数：
2.反比例函数型：;
温故知新
（二）解决函数实际应用问题的一般步骤是：
而在实际问题中，有的能应用已知的函数模型解决，例如上一节中的两个例题.有的需要根据问题的条件建立函数模型加以解决，这样的问题如何解决？
新知讲解
【例1】假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
分析：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.
一、建立确定性的函数模型解决实际问题
新知讲解
思考问题：
投资方案选择的原则：
投入资金相同，回报量多者为优.
1.考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之外,还得考虑什么
回报的累积值
2.例题中涉及哪些数量关系？
投资天数，回报金额
3.要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析，如何分析？
每天的回报数、增加量、累计回报数
新知讲解
解：
设第x天所得回报是y元，则
方案一可以用函数y=40 (x∈N*)进行描述；
方案二可以用函数y=10x (x∈N*)进行描述；
方案三可以用函数y=(x∈N*)进行描述.
三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是增函数.
要对三个方案作出选择，就要对它们的增长情况进行分析.
我们先用信息技术计算一下三种方案所得回报的增长情况（见下表）.
新知讲解
x/天 方案一 方案二 方案三 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元 y/元 增加量/元
1 40 0 10 0.4
2 40 0 20 10 0.8 0.4
3 40 0 30 10 1.6 0.8
4 40 0 40 10 3.2 1.6
5 40 0 50 10 6.4 3.2
6 40 0 60 10 12.8 6.4
7 40 0 70 10 25.6 12.8
… … … … … … …
30 40 0 300 10 214748364.8 107374182.4
再画出三个函数图象（如右图）.
你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？
函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，用虚线连接离散的点.
新知讲解
由上表和图可知，
方案一的函数是常数函数，
方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同.
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，
而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的.
新知讲解
从每天所得回报看，在第1~3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5~8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.
根据这里的分析，是否应作这样的选择：投资5天以下选方案一，投资5～8天选方案二，投资8天以上选方案三？
方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
下面再看累计的回报数，通过信息技术
列表如下.
新知讲解
方案 天数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440
二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660
三 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4 409.2 818.8
下面再看累计的回报数，通过信息技术
列表如下.
因此，投资1～6天，应选择方案一； 投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，应选择方案三.
上述例子只是一种假想情况，但从中可以看到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异.
新知讲解
数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.
这个例题是利用已知的函数模型解决实际问题.在用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件.
1.不同函数模型
的增长特点：
常数函数 一次函数 指数函数
没有增长
匀速增长
急剧增长
保持不变
直线上升
指数爆炸
2.分析函数模型的方法：
解析法
列表法
图象法
初试身手
1.西安某宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，宾馆经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：
要使每天收入达到最高，每间定价应为（ ）
A.200元 B.180元 C.160元 D.140元
每间每天房价 200元 180元 160元 140元
住房率 65% 75% 85% 95
C
新知讲解
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
二、利用给定的函数模型解决实际问题
①本例涉及了哪几类函数模型？
一次函数
对数函数
指数函数
②你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗
a.销售利润达到10万元时进行奖励；
b.奖金总数不超过5万元；
c.奖金不超过利润的25%；
d.公司总的利润目标为1000万元.
新知讲解
【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x，，，其中哪个模型能符合公司的要求？
二、利用给定的函数模型解决实际问题
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画，奖金总数与销售利润的关系，由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润，于
是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要
求：第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；第二，奖金不超过利润的25%，即y<0.25x.
不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.
新知讲解
解：
借助信息技术画出函数，，，的图象(图4.5-8）.
观察图象发现，在区间[10，1000]上，模型，的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型进行奖励时才符合公司的要求.
你能说明选择模型的理由，并给出本题的解答吗？
新知讲解
下面通过计算确认上述判断.
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元.
对于模型y=0.25x，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x=20时，y=5，因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求；
对于模型，由函数图象，并利用信息技术，可知在区间（805，806）内有一个点x0满足1.002=5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不符合要求.
观察f(x)=1.002x-5在（805,806）内函数值的细微变化
新知讲解
对于模型，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x=1000时，y=log71000+1=4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.
再计算按模型奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，即log7x+1≤0.25x成立.
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1 000]，
利用信息技术画出它的图象（图4.5-9）.
由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，因此
f(x)< f(10)≈-0.316 7<0，
新知讲解
即 log7x+1<0.25x.
所以，当x∈[10，1 000]时，y≤0.25x，说明按模型y= log7x+1奖励，奖金不会超过利润的25%.
综上所述，模型确实能符合公司要求.
放大f(x)在10附近的图像
初试身手
解：
2.某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额 （万元）在8万元以下，没有奖金；
②年销售额 （万元）在[8,64]内时，奖金为万元，且,且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额 （万元）超过64万元，按年销售额的发奖金．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金（万元），求年销售额所在的范围．
⑴由题意知 是增函数，则.
又当.
所以 ,
则.
所以 .
初试身手
解：
2.某公司对营销人员有如下规定：
①年销售额 （万元）在8万元以下，没有奖金；
②年销售额 （万元）在[8,64]内时，奖金为万元，且,且年销售额越大，奖金越多；
③年销售额 （万元）超过64万元，按年销售额的发奖金．
(1)求关于的函数解析式；
(2)若某营销人员争取年奖金（万元），求年销售额所在的范围．
(2)由题意知.
解得,
所以该营销人员年奖金（万元）时，年销售额所在的范围
为[16,100] .
课堂小结
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”
“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理求解函数模型；用得到的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题，在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.
作业布置
作业：P154 练习 第2题
P156 习题4.5 第11，12,14题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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