26.1.3 反比例函数图象和性质的综合运用 课件（共36张PPT）【2023秋人教九下数学高效实用备课】

(共36张PPT)
人教九上数学同步精品课件
人教版九年级上册
26.1.3 反比例函数的图象和性质的综合运用
第二十六章 反比例函数
学习目标
新课引入
新知学习
课堂小结
1
2
3
4
1. 理解反比例函数的系数 k 的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中.
2. 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题.
3. 体会“数”与“形”的相互转化，进一步理解反比例函数的性质，会求反比例函数的表达式，会比较反比例函数值的大小.
重点
重点
难点
学习目标
新课引入
解析式
图象
所在 象限
渐进性
k>0，一、三象限
双曲线
k﹤0，二、四象限
x
y
o
x
y
o
当k>0时,在每一象限
内, y随x的增大而减小
当k< 0时,在每一象限
内, y随x的增大而增大
增减性
双曲线的两支无限靠近坐标轴，但无交点
对称性
既是轴对称图形也是中心对称图形
与 的图象关于x轴对称,也关于y轴对称
或
或
一 反比例函数的图象与性质综合题
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
方法一：解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
新知学习
方法二：解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以画出大致图象如下：
所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
x
y
o
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的解析式为 .
将点坐标带入解析式，看是否满足要求
求反比例函数解析式时，只需要图像上一个点坐标即可.
(2) 点B(3，4)，C( ， )，D(2，5) 是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点 A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
对于点B：3×4=12 (符合k的要求)，所以点B在这个函数的图象上.
对于点C： (符合k的要求)，所以点B在这个函数的图象上.
对于点D：2×5=10 (不符合k的要求)，所以点D不在这个函数的图象上.
你有更快捷的判断方法吗？
分析：根据xy=k可知，只要点的横纵坐标乘积都等于k即可.
针对训练
1. 下列四个点中，与( 2,3 )在同一条双曲线上的是哪个点？
① ( -6,1 ) ②( 1,6 ) ③ ( 2,-3 ) ④ ( 3,-2 )
解：设这个双曲线解析式为 ，因为点 (2，3)在其图象上，所有 ，解得 k = 6.
对于①：-6×1=-6 (不符合k的要求)，所以点①与( 2,3 )不在同一条双曲线上.
对于②：1×6= 6 (符合k的要求)，所以点②与( 2,3 )在同一条双曲线上.
对于③：2×-3=-6 (不符合k的要求)，所以点③与( 2,3 )不在同一条双曲线上.
对于④：3×-2=-6 (不符合k的要求)，所以点④与( 2,3 )不在同一条双曲线上.
综上所述，只有(1,6)与( 2,3 )在同一条双曲线上.
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？
O
x
y
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，
所以另一支必位于第三象限.
所以 m-5＞0，
解得 m＞5.
分析：反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者
位于第二、第四象限.因为这个函数的图象的第一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小，
因此当 x1＞x2 时， y1＜y2.
O
x
y
针对训练
1. 已知反比例函数 ，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在此函数上，且x1<0O
x
y
解：画出此函数的大致图象，如右图：
我们已知x1<0所以y1>0，y2<0，y3<0.
又因为由图可以看出在第四象限，y随着
x的增大而增大，
因为x2所以y2所以y2y22．已知 是反比例函数图象，且图象位于第二、四象限，则m的值是多少？
解：由题意可得：m -10=-1，
∴m=±3
∵图像在第二、四象限内，
∴m+2＜0
∴m<-2
∴m=-3
例3 如图，反比例函数 的图象经过点A(2,1)，若y≤1，求x的取值范围.
解：由图得：
处于直线y=1及以下的部分，
对应的x的取值范围为x ＜ 0或 x ≥ 2
二 反比例函数解析式中 k 的几何意义
探究
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，
与x轴,y轴围成的矩形面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P ( 2,2 )
Q ( 4,1 )
S1 的值
S2 的值
S1 与 S2 的关系
4
4
S1=S2
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
你发现了什么？
矩形的面积等于k.
S1的值 S2的值 S1与S2的关系
P ( -1,4 ) Q ( -2,2 )
2. 在反比例函数 中是否也有相同的结论？在图像上任取两点P，Q分别向x，y轴作垂线，填写表格：
4
4
S1 = S2
y
x
O
P
Q
S1
S2
不一样，矩形的面积等于-k.
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点P分作 x 轴， y 轴垂线，垂足分别为A,B，则 S矩形 AOBP = |k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b)，
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = -a·b = -ab = -k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP = PB·PA = a · ( -b ) = -ab = -k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP = |k|.
3.推理：△QAO与△QBO的面积和 k 的关系是
S△QAO=S△QBO= .
Q
A
B
y
x
O
探究
例4. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点 P 作 PB ⊥x 轴于点 B，连接OP 在 y 轴上，且△OBP 的面积为 2，求k的值.
O
B
P
x
y
解：因为S△OBP= ，
所以k=±4，
又因为双曲线的一支在第一象限，
所以k=4.
4.如图，P，C 是反比例函数 (x>0) 图象上的两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设△POA 的面积为 S1，则 S1 = ；△POE 的面积
S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＝
S3
y
D
B
A
C
x
5.如图，点 A 是反比例函数 (x＞0)的图象上任意一点，AB//x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作平行四边形 ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S ABCD =___.
5
解：连接OA、OB,AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴
∵四边形ABCD为平行四边形
∴
O
6．如图，两个反比例函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为
(　　)
A．1
B．2
C．4
D．无法计算
A
三 反比例函数与一次函数综合
在同一坐标系中，函数 　　和 y= k2 x + b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b 各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
①
x
y
O
x
y
O
②
探究
y= k2 x + b
y= k2 x + b
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
y= k2 x + b
y= k2 x + b
例5 函数 y=kx－k 与 的图象大致是( )
D.
x
y
O
C.
y
y
A.
x
B.
x
y
O
D
O
O
x
分析：可对 k 的正负性进行分类讨论.
总结：判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负.
例6 如图，直线 y = ax + b 与双曲线 交于 A( 1,2 )，B( m,-4 ) 两点，
(1) 求直线与双曲线的解析式；
所以一次函数的解析式为 y = 4x - 2.
把A，B两点坐标代入一次函数解析式中，得到a = 4，b = -2.
解：把 B( 1,2 ) 代入双曲线解析式中，
得 k = 2，故其解析式为 .
当y = -4时，m = .
A
B
O
(2) 求不等式 ax + b＞ 的解集.
解：根据图象可知，若 ax + b＞ ，
则 x＞1或 ＜x＜0.
A
B
O
1. 已知，反比例函数 的图象上两点 A(x1，y1)，B(x2， y2)，若 x1＞x2，则 y1 与 y2 的大小关系为 （ ）
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
随堂练习
4．反比例函数函数y＝ 和二次函数y＝kx +k在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
A． B. C. D.
分析：当k＞0时，函数y＝kx +k开口向上，与y轴交点在y轴正半轴，
函数y= 经过第一、三象.
当k＜0时，函数y＝kx +k开口朝下，与y轴交点在y轴负半轴，
函数 y= 经过第一、三象限.观察可知，A选项正确.
A
2. 已知反比例函数 y=x的图象与反比例函数 的图象有一个焦点的纵坐标是2.
(1)当x=-3时，求反比例函数 的值.
解：在正比例函数中，当y=2时，x=2.
所以k=2×2=4.
所以反比例函数解析式为
当x=-3时， .
(2)当-3解：因为k=4>0,则反比例函数在第一象限和第三象限内，y值随x的增大而减小.
所以当-3当x=-3时， ；当x=-1时，y=-4.
所以-43. 如图所示，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、 △POE 的面积 S3 的大小关系为__________.
S1 = S2 < S3
解析：由反比例函数面积的不变性易知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于点 F，连接 OF，易知，S△OFE = S1 = S2，而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3 的大小关系为 S1 = S2 < S3.
F
S1
S2
S3
与一次函数
的综合
面积问题
反比例函数
图象和性质
的综合运用
面积不变性
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意b 的正负.
课堂小结
谢谢
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