数学人教A版（2019）必修第一册 4.5.1函数的零点与方程的解 课件（共26张ppt）

(共26张PPT)
4.5.1函数的零点与方程的解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座.虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题. 约公元50年—100年编成的《九章算术》，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法…
复习引入
中外历史上的方程求解
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。
7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法。
国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。
阿贝尔
19世纪挪威数学家阿贝尔 证明了五次及五次以上代数方程没有根式解。指数方程、对数方程等超越方程也没有求根公
方程实例求解
我的根是
我的根是3和-1
怎么解呢？
我的根有点难度，等你们学完这节你们就会了！！！
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c 的图象
ax2+bx+c=0 的根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x 轴的交点
两个交点(x1,0) , (x2,0)
无交点
有两个相等的实数根x1 = x2
无实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
结论：一元二次方程的根就是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标。若一元二次方程无实数根，则相应的二次函数图像与x轴无交点。
一元二次方程的根与相应二次函数的图象的关系
回顾
（我们以a>0为例）
其他函数与方程之间也有同样结论吗？
方程f(x)=0的实数根
函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
0
x
y
x1
x2
x3
x4
y=f(x)
推广到更一般的情况，得：
我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应的二次函数的零点。像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况？
思考
新知探究
与二次函数的零点一样，对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
1.函数零点的定义：
零点是一个点吗
注意：
函数的零点是实数，而不是点，是相应方程的根。
这样，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数解，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标。
所以
2.等价关系
1.函数 的零点是( )
A. （-1,0) , (3,0) B.
C. D.-1和3
你试一试！
练习：
2.求下列函数的零点。
(1)f(x)=－x2-x+20； (2)f(x)=2x-1;
　 评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。
1.观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
①在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)_____0(“＜”或“＞ ”)．
－1
－4
5
<
-2
2
-2
-4
1
O
1
2
3
4
-3
-1
-1
y
x
在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
思考
②在区间[2,4]上是否也具有这种特点呢？
知识探究
2.观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
有
<
有
<
有
<
x
y
O
a
b
c
d
3.函数零点存在性定理：
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
思考：若f(a)f(b)﹤0，则y=f(x)在区间(a,b)上一定有零点吗？
O
x
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数零点存在性定理：
问题：为什么是开区间（a,b）内有零点，而不是闭区间[a,b]上有零点？
（1）两个前提条件缺一不可
（2）“有零点”是指有几个零点呢？只有一个吗？
至少有一个，可以有多个。
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f (a) ·f(b) < 0. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足
f (a) ·f(b) < 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个
零点。 （ ）
辨析：
（1）定理的条件有： 连续和异号， 两点都具备，就能断定有零点，而少了任何一个就不能肯定有无零点了！要作进一步判断！
（2）定理的结论只交待了存在性，至于有几个也要作进一步判断！
注意：
对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0来说，我们可以将它与函数 y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点.（可以用函数图象、定理等）
方法提炼：
由上表和右图可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解法1：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
思考1：如何说明函数零点的个数？
思考2：如何说明函数在(0,+∞)内是增函数？
例1.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
例题精讲
解法2：
例1.求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数。
方程lnx+2x－6=0根的个数
方程lnx=-2x+6根的个数
函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数，且交点的横坐标就是方程的根
函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
x
y
6
练习：
1. (多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1，2) B．(2，3)C．(5，6) D．(5，7)
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
解析：由所给的函数值表知，f(1)f(2)＞0，f(2)f(3)＜0，f(5)f(6)＜0，f(5)f(7)＜0，
∴f(x)在区间(2，3)，(5，6)，(5，7)内各至少有一个零点．故选BCD．
解析：设f(x)＝2x＋x，
∴f(x)在(1，2)上单调递增，
又f(1)＝3，f(2)＝6，∴3＜k＜6．
3.方程2x＋x＝k在(1，2)内有解，则实数k的取值范围是_________．
4.函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为_____．
解法一：令f(x)＝0，可得方程ln x＋x2－3＝0，
即ln x＝3－x2，故原函数的零点个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2图象的交点个数．
在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象(如图)．由图可知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点，故函数f(x)＝ln x＋x2－3只有一个零点．
解法二：∵f(1)＝ln 1＋12－3＝－2＜0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1＞0，
∴f(1)f(2)＜0，又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在[1，2]上是不间断的，
∴f(x)在(1，2)上必有零点，又f(x)＝ln x＋x2－3在(0，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)的零点有且只有一个．
4.函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数为_____．
1.一个定义，一个等价关系， 一个定理。
课堂小结
3.渗透了由特殊到一般的归纳思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。
2.判断函数零点是否存在可以考虑用：
函数图象、零点存在定理等
课后延展：
的零点在（2,3）内
已知函数
6
2
ln
)
(
-
+
=
x
x
x
f
如何求这个零点的近似值？