冀教版数学八年级上册第十四章 实数（测能力）单元检测卷（含解析）

实数
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在0，，，，，这些数中，无理数的个数为( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是( )
A. B.
C. D.不是A、B、C中的任意一数
3.某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台中轴线AB的黄金分割点C处（如图1）最自然得体.即，在数轴（如题图2）上最接近的点是( )
A.P B.Q C.M D.N
4.若，则整数a的值不可能为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5.以下叙述中，正确的是( ).
A.近似数精确到万位 B.一定没有偶次方根
C.的算术平方根是2 D.无理数与有理数之和还是无理数
6.下列说法中正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
7.数学实践课上，老师给同学们提供面积均为的正方形纸片，要求沿着边的方向裁出长方形.小明、小丽两位同学设计出两种裁剪方案.
小明的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形；
小丽的方案：能裁出一个长宽之比为，面积为的长方形.
对于这两个方案的判断，符合实际情况的是( )
A.小明、小丽的方案均正确 B.小明的方案正确，小丽的方案错误
C.小明、小丽的方案均错误 D.小明的方案错误，小丽的方案正确
8.下列说法不正确的是( )
A.的立方根是 B.是49的一个平方根
C.的平方根是 D.0.2的算术平方根是0.04
9.若式子与互为相反数，则的值为( )
A.1 B.2 C. D.
10.定义一种新运算“＆”如下：对于任意的实数a，b，若，则；若，.下列结论：①当，；②；③；④的值是无理数，其中一定成立的是( )
A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.的绝对值是______.
12.若，则的平方根为_____________.
13.比较下列实数的大小______.
14.有下列说法：①负数没有立方根；②一个正数有两个立方根，它们互为相反数；③任何一个数有且只有一个立方根；④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数；⑤一个数有立方根，就一定有算术平方根；⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的.其中正确的是___________（填序号）.
15.如图所示，某地有一地下工程，其底面是正方形，面积为，四个角均是面积为的小正方形渗水坑，根据这些条件如何求a的值 与你的同伴进行交流.
下面是小康提供的解题方案，根据解题方案，请你完成本题的解答过程.
(1)设大正方形的边长为，小正方形的边长为，那么根据题意可列出关于x的方程为__________，关于y的方程为___________；
(2)利用平方根的意义，可求得__________(取正值，结果保留根号)，__________(取正值，结果保留根号).
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）王老师给同学们布置了这样一道习题：
一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数.
小达的解法如下：依题意可知，解得，则，所以这个正数为4.
王老师看后说：“小达的解法不完整.”请你给出这道习题完整的解法.
17.（8分）2022年5月10日，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重召开.习近平总书记指出，青春孕育无限希望，青年创造美好明天.一个民族只有寄望青春、永葆青春，才能兴旺发达.为了全面贯彻总书记的讲话精神，某市决定在一块面积为的正方形空地上建一个足球场以供全民健身.已知足球场的面积为，其中长是宽的倍，足球场的四周必须留出宽的空地，这块空地能否成功建一个符合规定的足球场
18.（10分）小明是一位善于思考、勇于创新的同学，在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根.比如：因为没有一个数的平方等于-1，所以-1没有平方根.有一天，小明想：如果存在一个数i，使，那么，因此-1就有两个平方根了.小明又想：因为，所以-4的平方根是；因为，所以-9的平方根就是.请你根据上面的信息解答下列问题：
(1)求，的平方根.
(2)求，，，，，，…的值，你发现了什么规律 请你将发现的规律用式子表示出来.
(3)求的值.
19.（10分）已知的平方根是±3,的立方根是2,c是的整数部分.
（1）求a,b,c的值
（2）求的算术平方根.
20.（12分）（1）填空：__________；__________；
（2）猜想：__________；
（3）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，请化简：.
21.（12分）观察下列规律回答问题：，，，，，….
（1）则________；__________；按上述规律，已知数a小数点的移动与它的立方根的小数点移动间有何规律？
（2）已知，若，用含x的代数式表示y，则_________；
（3）根据规律写出与a的大小情况.
答案以及解析
1.答案：C
解析：0，，都是有理数；
，，都是无理数，
即无理数的个数为3个，故选C.
2.答案：C
解析：，，，且墨迹覆盖的范围是3与4之间，
能被墨迹覆盖的数是3与4之间的.故选C.
3.答案：C
解析：，
，
而点M对应的数在0和1之间，
所以，最接近的点是M，故选C.
4.答案：A
解析：，，
，
，
整数a的值可为3或4或5，
整数a的值不可能为2.故选A.
5.答案：D
解析：A、，则近似数精确到千位，故错误，不合题意；
B、当时，，有偶次方根，故错误，不合题意；
C、，则的算术平方根是，故错误，不合题意；
D、无理数与有理数之和还是无理数，故正确，符合题意；
故选：D.
6.答案：C
解析：若，则，故选项A、B错误，不符合题意；
若，则，故选项C正确，符合题意；
若，则，故选项D错误，不符合题意.
故选：C.
7.答案：C
解析：正方形纸片的面积为，
正方形纸片的边长为，
小明的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则长为，
，
，
所以小明的方案错误；
小丽的方案：设裁出的长方形的长为，则宽为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
则长为，
，
，
所以小丽的方案错误，
故选：C.
8.答案：D
解析：A.的立方根是，说法正确，不符合题意；
B.是49的一个平方根，说法正确，不符合题意；
C.的平方根是，说法正确，不符合题意；
D.0.2的算术平方根不是0.04，故原说法错误，符合题意.
故选：D.
9.答案：C
解析：根据题意可得：，
，
，
解得：，
，
故选：C.
10.答案：C
解析：若，则，故①正确；
，
，故②正确；
，
，故③正确；
，
，其值是有理数，故④错误；
综上，一定成立的是①②③，
故选：C.
11.答案：
解析：，
，
.
故答案为.
12.答案：/3和/和3
解析：，
又，，
，，
解得，，
，
的平方根为.
故答案为：.
13.答案：>
解析：，
，
，
即，
，
故答案为：>.
14.答案：③④⑥
解析：①负数有立方根，原说法错误；
②一个正数有两个平方根，它们互为相反数，原说法错误；
③任何一个数有且只有一个立方根，说法正确；
④互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，说法正确；
⑤一个数有立方根，不一定有算术平方根，原说法错误；
⑥存在一个数的平方根、算术平方根、立方根是相同的，这个数是0，说法正确；
综上，正确的是③④⑥.
故答案为：③④⑥.
15.答案：(1)；
(2)；
解析：(1)因为大正方形的边长为，小正方形的边长为，
那么根据题意可列出关于x的方程为，关于y的方程为.
故答案为，.
(2)利用平方根的意义，可求得(取正值，结果保留根号)，(取正值，结果保留根号).故答案为，.
16.答案：这个正数是4或1
解析：依题意可知是，两数中的一个.
①当时，
解得，则，所以这个正数为4；
②当时，解得，
则，所以这个正数为1.
综上可知，这个正数是4或1.
17.答案：这块空地可以建一个符合规定的足球场
解析：设足球场的宽为，则长为.
由题意得，，解得(负值已舍去)，，
即足球场的长为，宽为.
因为正方形空地的面积为，
所以正方形空地的边长为.
因为，，所以.
又因为，所以这块空地可以建一个符合规定的足球场.
18.答案：(1)-16的平方根是；-25的平方根是
(2)，，，(其中n是非负整数)
(3)
解析：(1)因为，所以-16的平方根是.
因为，所以-25的平方根是.
(2)，，
，，
，
规律是i每四个相邻次方为一个循环，用式子表示为，，，(其中n是非负整数).
(3)，
故原式.
19.答案：（1）,,
（2）4
解析:（1）的平方根是,,
解得:,
的立方根是2,,
,
解得:,
,
,
是的整数部分,
,
,,;
（2）,,;
.
16的算术平方根为4.
20.答案：（1）5；5
（2）
（3）
解析：（1）；；
故答案为：5；5；
（2）当时，；
当时，；
，
故答案为：；
（3）由数轴得：，且，
，，
.
21.答案：（1）、
（2）
（3）当或时，；当或时，；当或时，
解析：（1）；；
按上述规律，被开方数小数点向右（或左）移三位，则所得数的小数点向右（或左）移一位，
故答案为：、；
（2）由（1）中规律可得，已知，若，
则y的绝对值是x的且符号相反；
用含x的代数式表示y，则，
故答案为：；
（3），，，，，
与a的大小情况为：
当或时，；
当或时，；
当或时，.