专题三 开放探究问题
强化突破
1．(2013·绥化)如图，A，B，C三点在 ( http: / / www.21cnjy.com )同一条直线上，∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，请添加一个适当的条件__答案不唯一，如：AE＝CB或∠EBD＝90°等__，使得△EAB≌△BCD.
2．(2014·淄博)已知 ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使 ABCD成为一个菱形，你添加的条件是__答案不唯一，如：AD＝CD或AC⊥BD等__．
3．(2014·北京)在 ( http: / / www.21cnjy.com )平面直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)，我们把点P′(－y＋1，x＋1)叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，….若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为__(－3，1)__，点A2014的坐标为__(0，4)__；若点A1的坐标为(a，b)，对于任意的正整数n，点An均在x轴上方，则a，b应满足的条件为__－1＜a＜1且0＜b＜2__．
4．(2014·武汉)观 ( http: / / www.21cnjy.com )察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，……，按此规律第5个图中共有点的个数是( B )
A．31 B．46 C．51 D．66
5．(2013·天门)小文、小亮从学 ( http: / / www.21cnjy.com )校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一段时间后，小亮骑自行车沿相同路线行进，两人均匀速前行．他们的路程差s(米)与小文出发时间t(分)之间的函数关系如图所示，下列说法：①小亮先到达青少年宫；②小亮的速度是小文速度的2.5倍；③a＝24；④b＝480.其中正确的是( B )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．①②③④
6．(2014·南京)学习了三角形全等 ( http: / / www.21cnjy.com )的判定方法(即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全等的判定方法(即“HL”)后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
第一种情况：当∠B为直角时，△ABC≌△DEF.
(1)如图①，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据__HL__，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B为钝角时，△ABC≌△DEF.
(2)如图②，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B为锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
(3)如图③，在△ABC和△DEF中， ( http: / / www.21cnjy.com )AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．(不写作法，保留作图痕迹)
(4)∠B还要满足什么条件，就可以使得△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C≌△DEF，请直接填写结论：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B，∠E都是锐角，若__∠B≥∠A__，则△ABC≌△DEF.
解：(1)HL (2)如图，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B＝∠E，且∠B，∠E都是钝角，∴180°－∠B＝180°－∠E，即∠CBG＝∠FEH，可证△CBG≌△FEH(AAS)，∴CG＝FH，可证Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，∴∠A＝∠D，从而可证△ABC≌△DEF(AAS) (3)如图，△DEF和△ABC不全等 (4)答案不唯一，如：∠B≥∠A
7．(2014·淄博)如图，四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
解：(1)△BMN是等腰直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.∵BN平分∠ABE，AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45°，∴∠MBN＝90°－∠MNB＝45°，∴∠MBN＝∠MNB，∴△BMN是等腰直角三角形
(2)△MFN∽△BDC.证明：∵点F，M分 ( http: / / www.21cnjy.com )别是AB，BC的中点，∴FM∥AC，FM＝AC.∵AC＝BD，∴FM＝BD，即＝.∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即＝，∴＝.∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°.∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB.∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°，∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，∴△MFN∽△BDC
8．(2013·陕西)问题探究
(1)请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；
(2)如图②，M是正方形ABCD内一定点， ( http: / / www.21cnjy.com )请在图②中作出两条直线(要求其中一条直线必须过点M)，使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由．
问题解决
(3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD ( http: / / www.21cnjy.com )，AB＋CD＝BC，点P是AD的中点．如果AB＝a，CD＝b，且b＞a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由．
解：(1)过圆心O作两条互相垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直的直线即可 (2)连接AC，BD相交于点O，作直线OM分别交AD，BC于P，Q两点，过点O作OM的垂线分别交AB，CD于E，F两点，则直线OM，EF将正方形ABCD的面积四等分．理由：利用ASA易证△OAP≌△OBE≌△OCQ≌△ODF，从而可得直线OM，EF将正方形ABCD的面积四等分
(3)存在，当BQ＝CD＝b时，PQ将四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD面积二等分．理由如下：延长BA到点E，使AE＝b，延长CD到点F，使DF＝a，连接EF，易得四边形EBCF是菱形．连接BF交AD于M，则△MAB≌△MDF，∴AM＝DM，∴P，M两点重合，∴P点是菱形EBCF对角线的交点，在BC上截取BQ＝CD＝b，则CQ＝AB＝a.设点P到菱形EBCF一边的距离为d，则(AB＋BQ)·d＝(CQ＋CD)·d＝(a＋b)·d，∴S四边形ABQP＝S四边形CDPQ，∴当BQ＝b时，直线PQ将四边形ABCD的面积分成相等的两部分
9．(2013·襄阳)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A的坐标为(－1，0)，对称轴为直线x＝－2.
(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
(2)点D是抛物线与y轴的 ( http: / / www.21cnjy.com )交点，点C是抛物线上的另一点，已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；
(3)点P是(2)中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动．设点P运动的时间为t秒．
①当t为__2__秒时，△PAD的周长最小；当t为__4或4－或4＋__秒时，△PAD是以AD为腰的等腰三角形；(结果保留根号)
②点P在运动过程中，是否存在一点P，使△PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)B(－3，0) ( http: / / www.21cnjy.com )(2)设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知AB∥CD，由抛物线的轴对称性可得CD＝2DM.∵MN∥y轴，AB∥CD，∴四边形ODMN是矩形，∴DM＝ON＝2，∴CD＝2×2＝4.∵A(－1，0)，B(－3，0)，∴AB＝2.∵梯形ABCD的面积＝(AB＋CD)·OD＝9，∴OD＝3，即c＝3.把A(－1，0)，B(－3，0)代入y＝ax2＋bx＋3得a＝1，b＝4，∴y＝x2＋4x＋3，化为顶点式为y＝(x＋2)2－1，得E(－2，－1) (3)①2；4或4－或4＋
②存在．∵∠APD＝90°，∠PMD ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠PNA＝90°，∴∠PDM＋∠APN＝90°，∠DPM＋∠PDM＝90°，∴∠PDM＝∠APN，又∵∠PMD＝∠ANP，∴△APN∽△PDM，∴＝，∴＝，∴PN2－3PN＋2＝0，∴PN＝1或PN＝2，∴P(－2，1)或(－2，2)专题二 图表信息问题
强化突破
1．(2014·随州)某通讯公司提供了两种移 ( http: / / www.21cnjy.com )动电话收费方式：方式1，收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；方式2，收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．下列结论：①如图描述的是方式1的收费方法；②若月通话时间少于240分钟，选择方式2省钱；③若月通讯费为50元，则方式1比方式2的通话时间多；④若方式1比方式2的通讯费多10元，则方式1比方式2的通话时间多100分钟．其中正确的是( C )
A．只有①② B．只有③④
C．只有①②③ D．①②③④
2．(2013·台湾)以下表示小勋到商店购买2个单价相同的布丁和10根单价相同的棒棒糖的经过．
小勋：“我要2个布丁和10根棒棒糖．”
老板：“谢谢！这是您要的2个布丁和10根棒棒糖，总共200元！”
老板：“小朋友，我钱算错了，我多算2根棒棒糖的钱，我退还你20元．”
根据上文，判断布丁和棒棒糖的单价相差多少元？( B )
A．20元 B．30元 C．40元 D．50元
3．图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有 ( http: / / www.21cnjy.com )一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．求被移动石头的质量为多少克？( A )
A．5克
B．10克
C．15克
D．20克
4．(2013·鄂州)下列几个命题中正确的个数为__1__个．
①“掷一枚均匀骰子，朝上点数为负”为必然事件；(骰子上各面点数依次为1，2，3，4，5，6)
②5名同学的语文成绩为90，92，92，98，103，则他们平均分为95，众数为92；
③射击运动员甲、乙分别射击10次，算得甲击中环数的方差为4，乙击中环数的方差为16，则这一过程中乙较甲更稳定；
④某部门15名员工个人年创利 ( http: / / www.21cnjy.com )润统计表如下，其中有一栏被污渍弄脏看不清楚数据，所以对于“该部门员工个人年创利润的中位数为5万元”的说法无法判断对错．
5．在学校组织的游艺晚会上，掷飞 ( http: / / www.21cnjy.com )镖游艺区游戏规则如下：如图，掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分(掷中一次记一个点)．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
(1)求掷中A区、B区一次各得多少分？
(2)依此方法计算小明的得分为多少分？
解：(1)设掷中A区一次x分，B区一次y分，依题意得解得 (2)4x＋4y＝76(分)
6．根据图中给出的信息，解答下列问题：
(1)放入一个小球水面升高__2__cm，放入一个大球水面升高__3__cm；
(2)如果要使水面上升到50cm，应放入大球、小球各多少个？
解：设应放入大球m个，小球n个，由题意得解得∴如果要使水面上升到50 cm，应放入大球4个，小球6个
7．(2014·衢州)为了保护环境，某开发 ( http: / / www.21cnjy.com )区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格(万元/台) m m－3
月处理污水量(吨/台) 220 180
(1)求m的值；
(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
解：(1)由题意得＝，解得m＝18 ( http: / / www.21cnjy.com ) (2)设购A型号设备x台，则18x＋15(10－x)≤165，∴x≤5，∵x为自然数，∴共有6种方案．设处理污水量为w吨，w＝220x＋180(10－x)＝40x＋1800，∴当x＝5时，w最大＝2000吨
8．中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行，其中规定个人所得税纳税办法如下：
一、以个人每月工资收入额减去3500元后的余额作为其每月应纳税所得额；
二、个人所得税纳税税率如下表所示：
纳税
级数 个人每月应纳税所得额 纳税
税率
1 不超过1500的部分 3%
2 超过1500元至4500元的部分 10%
3 超过4500元至9000元的部分 20%
… … …
(1)若甲每月工资收入额为6000元，请求出甲每月应缴纳的个人所得税；
(2)若乙每月工资收入额不超过12 ( http: / / www.21cnjy.com )000元，他每月应缴纳的个人所得税能超过月工资的7.5%吗？若能，请求出乙的月工资范围；若不能，请说明理由．
解：(1)甲每月应缴纳的个人所得 ( http: / / www.21cnjy.com )税为1500×3%＋(6000－3500－1500)×10%＝145(元) (2)设乙的月工资为x元，当3500＜x≤5000时，显然纳税金额达不到月工资的7.5%；当5000＜x≤8000时，由1500×3%＋(x－5000)×10%＞7.5%x，得x＞18200，不满足条件；当8000＜x≤12000时，由1500×3%＋3000×10%＋(x－8000)×20%＞7.5%x，得x＞10040，故10040＜x≤12000，则乙的工资大于10040元且不超过12000元时，纳税金额能超过月工资的7.5%
9．(2014·舟山)实验数据显示，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般成人喝半斤低度白酒后，1.5时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)的关系可近似地用二次函数y＝－200x2＋400x刻画；1.5时后(包括1.5时)y与x的关系可近似地用反比例函数y＝(k＞0)刻画(如图所示)．
(1)根据上述数学模型计算：
①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
②当x＝5时，y＝45，求k的值．
(2)按国家规定，车辆驾驶人员血液 ( http: / / www.21cnjy.com )中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．
解：(1)①y＝－200x2＋400 ( http: / / www.21cnjy.com )x＝－200(x－1)2＋200，∴喝酒后1小时，酒精含量达到最大值200毫克/百毫升 ②当x＝5，y＝45时，由y＝得k＝225 (2)当y＝20时，y＝得x＝11.25，喝完酒经过11.25时为第二天早上7：15，∴第二天早上7：15以后才可以驾车，7：00时不能去上班专题一 数学思想方法问题
强化突破
1．(2014·北京)已知点A为某封闭图 ( http: / / www.21cnjy.com )形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y.表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是( A )
2．(2013·长春)如图，在平面直角坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )系中，点A的坐标为(0，3)，△OAB沿x轴向右平移后得到△O′A′B′，点A的对应点A′在直线y＝x上，则点B与其对应点B′间的距离为( C )
A. B．3 C．4 D．5
3．(2013·南充)如图1，点E为矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1 cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为y cm2，已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分)，则下列结论：①AD＝BE＝5 cm；②当0＜t≤5时，y＝t2 ；③直线NH的解析式为y＝－t＋27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝秒．其中正确的结论个数为( B )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，P是矩形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )内的任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到△PAB，△PBC，△PCD，△PDA，设它们的面积分别是S1，S2，S3，S4，给出如下结论：①S1＋S2＝S3＋S4；②S2＋S4＝S1＋S3；③若S3＝2S1，则S4＝2S2；④若S1＝S2，则P点在矩形的对角线上．其中正确的结论的序号是__②④__．
5．(2013·河南)如图，抛物线的顶 ( http: / / www.21cnjy.com )点为P(－2，2)，与y轴交于点A(0，3)，若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′(2，－2)，点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域(阴影部分)的面积为__12__．
6．(2014·杭州)复习课中，教师给出关于x的函数y＝2kx2－(4k＋1)x－k＋1(k是实数)．
教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．
学生思考后，黑板上出现了一些结论，教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：
①存在函数，其图象经过(1，0)点；
②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；
③当x＞1时，不是y随x的增大而增大就是y随x的增大而减小；
④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．
解：①真，将(1，0)代入可得2k ( http: / / www.21cnjy.com )－(4k＋1)－k＋1＝0，解得k＝0；方程思想 ②假，反例：k＝0时，只有两个交点；举反例 ③假，反例：k＝1，－＝，当x＞1时，先减后增；举反例 ④真，当k＝0时，函数无最大、最小值；k≠0时，y最＝＝－，∴当k＞0时，有最小值，最小值为负；k＜0时，有最大值，最大值为正．分类讨论
7．在长为10 m，宽为8 m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示，求小矩形花圃的长和宽．
解：设小矩形的长为x m，宽为y m，依题意得解得
8．如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形 ( http: / / www.21cnjy.com )进行翻折变换，如图1，她分别以AB，AC为对称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E，F，延长EB，FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
(1)请你帮小萍求出x的值；
(2)参考小萍的思路，探究解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC于D，AD＝4，请你按照小萍的方法通过画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．(画图所用字母与图1中的字母对应)
解：(1)在Rt△BCG中 ( http: / / www.21cnjy.com )，BG＝x－2，CG＝x－3，BC＝5，由勾股定理得(x－2)2＋(x－3)2＝25，解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，故x＝6
(2)图略．连接EF，则 ( http: / / www.21cnjy.com )△AEF为等边三角形，EF＝4，△EGF为底角为30°的等腰三角形，可求EG＝，∴△BGC的周长为BG＋BC＋GC＝BG＋BD＋DC＋GC＝BG＋EB＋FC＋GC＝EG＋GF＝2EG＝
9．如图1，A，B，C，D为矩形的四个 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点，AD＝4 cm，AB＝d cm，动点E，F分别从点D，B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动，以EF为边作正方形EFGH，点F出发x s时，正方形EFGH的面积为y cm2.已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：
(1)自变量x的取值范围__0≤x≤4__；
(2)d＝__3__，m＝__2__，n＝__25__；
(3)F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16 cm2
解：(3)设F出发x秒时，正方形EFG ( http: / / www.21cnjy.com )H的面积为16 cm2.过点F作FM⊥AD于M，∵DE＝BF＝AM＝x，则EM＝|4－2x|，在Rt△EFM中，有32＋(4－2x)2＝16，解得x＝，故F出发s或s时，正方形EFGH的面积为16 cm2
10．某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度v(米/秒)与时间t(秒)的关系如图1，A(10，5)，B(130，5)，C(135，0)．
(1)求该同学骑自行车上学途中的速度v与时间t的函数关系式；
(2)计算该同学从家到学校的路程；(提示：在OA和BC段的运动过程中的平均速度分别等于它们中点时刻的速度，路程＝平均速度×时间)
(3)如图2，直线x＝t(0≤t≤135)与图1的图象相交于P，Q，用字母S表示图中阴影部分面积，试求S与t的函数关系式；
(4)由(2)(3)，直接猜出在t时刻，该同学离开家所走过的路程与此时S的数量关系．
解：(1)v＝ (2)在0≤t＜ ( http: / / www.21cnjy.com )10时，所走路程为×10＝25(米)；在10≤t＜130时，所走路程为(130－10)×5＝600(米)；在130≤t≤135时，所走路程为×5＝12.5(米)，∴该同学从家到学校的路程为25＋600＋12.5＝637.5(米) (3)如图①，当0≤t＜10时，P点的纵坐标为t，∴P(t，t)，S＝OQ·PQ＝t2；如图②，S＝×10×5＋5×(t－10)＝5t－25；如图③，S＝×(135＋120)×5－×(135－t)2＝－(t－135)2＋，即S＝－t2＋135t－8475.综上可知，S＝ (4)数值相等
11．(2014·江西)如图，抛物线y＝ ( http: / / www.21cnjy.com )ax2＋bx＋c(a＞0)的顶点为M，直线y＝m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若三角形AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB称为碟宽，顶点M称为碟顶，点M到线段AB的距离称为碟高．
(1)抛物线y＝x2对应的碟宽为_ ( http: / / www.21cnjy.com )_4__，抛物线y＝4x2对应的碟宽为____，抛物线y＝ax2(a>0)对应的碟宽为____，抛物线y＝a(x－2)2＋3(a＞0)对应的碟宽____；
(2)若抛物线y＝ax2－4ax－(a＞0)对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；
(3)将抛物线yn＝anx2＋bnx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )cn(an＞0)的对应准碟形记为Fn(n＝1，2，3，…)，定义F1，F2，…，Fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比．若Fn与Fn－1的相似比为，且Fn的碟顶是Fn－1的碟宽的中点，现在将(2)中求得的抛物线记为y1，其对应的准碟形记为F1.
①求抛物线y2的表达式；
②若F1的碟高为h1，F2的碟高为h2，……，Fn的碟高为hn，则hn＝____，Fn的碟宽右端点横坐标为__2＋__．
解：(2)由(1)可知，y＝a ( http: / / www.21cnjy.com )x2＋bx＋c(a＞0)对应的碟宽为，∴＝6，∴a＝ (3)①由(2)知，y1＝(x－2)2－3，可求碟宽AB的两端点坐标分别为A(－1，0)，B(5，0)，∵F2的碟顶是F1的碟宽的中点，∴F2的碟顶M2(2，0)，可设y2＝a2(x－2)2，∵F2与F1的相似比为，F1的碟宽为6，∴F2的碟宽为6×＝3，即＝3，∴a2＝，∴y2＝(x－2)2，即y2＝x2－x＋
②；2＋专题四 阅读理解问题
强化突破
1．(2013·呼和浩特)如图，下 ( http: / / www.21cnjy.com )列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，……依此规律，第11个图案需( B )根火柴．
A．156 B．157 C．158 D．159
2．(2014·济宁)“如果二次函数y ( http: / / www.21cnjy.com )＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m，n(m＜n)是关于x的方程1－(x－a)(x－b)＝0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是( A )
A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b
3．(2013·常德)小明在做数学题时，发现下面有趣的结果：
3－2＝1
8＋7－6－5＝4
15＋14＋13－12－11－10＝9
24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16
……
根据以上规律可知第100行左起第一个数是__10200__.
4．(2013·南京)计算(1－－－－)(＋＋＋＋)－(1－－－－－)(＋＋＋)的结果是____．
5．(2013·龙岩)对于任意非 ( http: / / www.21cnjy.com )零实数a，b，定义运算“ ”，使下列式子成立：1 2＝－，2 1＝，(－2) 5＝，5 (－2)＝－，…，则a b＝____．
6．(2014·宜宾)规 ( http: / / www.21cnjy.com )定：sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，sin(x＋y)＝sinx·cosy＋cosx·siny，据此判断下列等式成立的是__②③④__．
①cos(－60°)＝－；②sin75 ( http: / / www.21cnjy.com )°＝；③sin2x＝2sinx·cosx；④sin(x－y)＝sinx·cosy－cosx·siny.
7．(2014·白银)阅读理解： ( http: / / www.21cnjy.com )我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad－bc.如＝2×5－3×4＝－2.如果有＞0，求x的解集．
解：由题意得2x－(3－x)＞0，解得x＞1
8．(2014·扬州)对x，y定 ( http: / / www.21cnjy.com )义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.
(1)已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若T(x，y)＝T(y，x)对任意实数x，y都成立(这里T(x，y)，T(y，x)都有意义)，则a，b应满足怎样的关系式？
解：(1)①据T(1，－ ( http: / / www.21cnjy.com )1)＝－2，T(4，2)＝1得解得 ②∵T(x，y)＝，由题意可得∴要使得整数解恰好有3个必须满足解得－2≤p＜－ (2)由T(x，y)＝T(y，x)得＝，整理得ax2＋2by2＝2bx2＋ay2，由于上式对实数x，y都成立，∴a＝2b，故存在非零实数a，b且满足a＝2b
9．(2014·嘉兴)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，四边形ABCD是“等对角四边形”，∠A≠∠C，∠A＝70°，∠B＝80°，求∠C，∠D的度数；
(2)在探究“等对角四边形”性质时：
①小红画了一个“等对角四边形”ABCD(如图2)，其中∠ABC＝∠ADC，AB＝AD，此时她发现CB＝CD成立，请你证明此结论；
②由此小红猜想：“对于任意‘等 ( http: / / www.21cnjy.com )对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举出反例．
(3)在“等对角四边形”ABCD中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝5，AD＝4，求对角线AC的长．
解：(1)∵等对角四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠A≠∠C，∴∠D＝∠B＝80°，∴∠C＝360°－70°－80°－80°＝130° (2)①连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC－∠ABD＝∠ADC－∠ADB，∴∠CBD＝∠CDB，∴CB＝CD ②不正确，反例：如图1，∠A＝∠C＝90°，AB＝AD，但CB≠CD (3)分两种情况：(Ⅰ)如图2，当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AB＝5，∴AE＝10，∴DE＝AE－AD＝10－4＝6，∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，∴CD＝2，∴AC＝＝＝2；
(Ⅱ)如图3，当∠BCD＝∠DAB ( http: / / www.21cnjy.com )＝60°时，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∵DE⊥AB，∠DAB＝60°，AD＝4，∴AE＝2，DE＝2，∴BE＝AB－AE＝5－2＝3，∵四边形BFDE是矩形，∴DF＝BE＝3，BF＝DE＝2，∵∠BCD＝60°，∴CF＝，∴BC＝CF＋BF＝＋2＝3，∴AC＝＝＝2
10．(2014·长沙)在平面直角坐标系 ( http: / / www.21cnjy.com )中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点(1，1)，(－2，－2)，(，)，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．
(1)若点P(2，m)是反比例函数y＝(n为常数，n≠0)的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；
(2)函数y＝3kx＋s－1(k，s为常数)的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若二次函数y＝ax2＋bx ( http: / / www.21cnjy.com )＋1(a，b是常数，a＞0)的图象上存在两个“梦之点”A(x1，x1)，B(x2，x2)，且满足－2＜x1＜2，|x1－x2|＝2，令t＝b2－2b＋，试求t的取值范围．
解：(1)y＝ (2)由y＝3kx＋ ( http: / / www.21cnjy.com )s－1得当y＝x时，(1－3k)x＝s－1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为(，) (3)由得ax2＋(b－1)x＋1＝0，则x1，x2为此方程的两个不等实根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，由|x1－x2|＝2，又－2＜x1＜2，∴－4＜x2＜4，∴－8＜x1x2＜8，∴－8＜＜8，又a＞0，∴a＞.由|x1－x2|＝2，得(b－1)2＝4a2＋4a，t＝b2－2b＋＝(b－1)2＋＝4a2＋4a＋＝4(a＋)2＋，当a＞－时，t随a的增大而增大，当a＝时，t＝，∴a＞时，t＞专题五 实践操作与方案设计问题
强化突破
1．(2013·遵义)如图，在4×4正方形网格中，任取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是( A )
A. B. C. D.
2．如图，将正方形对折后展开(图④是连续两次 ( http: / / www.21cnjy.com )对折后再展开)，再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．(2014·河北)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠( A )
A．2 B．3
C．4 D．5
4．(2014·黄冈)如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )一张长为8 cm、宽为6 cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5 cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上)，则剪下的等腰三角形的面积是__或5或10__cm2.
5．(2014·温州)如图，在所给方格纸 ( http: / / www.21cnjy.com )中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形(顶点在方格顶点处)，请按要求将图甲、图乙中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．
(1)图甲中的格点正方形ABCD；
(2)图乙中的格点平行四边形ABCD.
解：(1)如图甲所示 (2)如图乙所示
6．(2013·茂名)在信宜市某 ( http: / / www.21cnjy.com )“三华李”种植基地有A，B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多2元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需20元．
(1)问A，B两种树苗每株分别是多少元？
(2)为扩大种植，某农户准备购买A，B两种树苗共360株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
解：(1)A种树苗每株8元 ( http: / / www.21cnjy.com )，B种树苗每株6元 (2)设A种树苗购买a株，则B种树苗购买(360－a)株，共需要w元，则a≥(360－a)，∴a≥120，w＝8a＋6(360－a)＝2a＋2160，w随a的增大而增大，∴当a＝120时，w最小＝2400，∴B种树苗为360－120＝240(棵)，∴最省的购买方案是：A种树苗购买120棵，B种树苗购买240棵
7．(2014·宁波)用正方形硬纸板 ( http: / / www.21cnjy.com )做三棱柱盒子，每个盒子由3个矩形侧面和2个正三角形底面组成．硬纸板以如图两种方式裁剪(裁剪后边角料不再利用)：
A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面．
现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法．
(1)用x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；
(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？
解：(1)∵裁剪时x张用A方 ( http: / / www.21cnjy.com )法，∴裁剪时(19－x)张用B方法，∴侧面的个数为6x＋4(19－x)＝2x＋76，底面的个数为5(19－x)＝95－5x (2)由题意得2x＋76＝(95－5x)，解得x＝7，∴盒子的个数为＝30
8．(2014·烟台)山地自行车越来越受到 ( http: / / www.21cnjy.com )中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%.
(1)今年A型车每辆售价多少元？(用列方程的方法解答)
(2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？
A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：
A型车 B型车
进货价格(元) 1100 1400
销售价格(元) 今年的销售价格 2000
解：(1)设今年A型车每辆售 ( http: / / www.21cnjy.com )价为x元，则去年每辆售价为(x＋400)元，由题意得＝，解得x＝1600，经检验，x＝1600是方程的根，则今年A型车每辆售价为1600元
(2)设今年新进A型车a辆，则 ( http: / / www.21cnjy.com )B型车(60－x)辆，获利y元，由题意得y＝(1600－1100)a＋(2000－1400)(60－a)，∴y＝－100a＋36000.∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，∴60－a≤2a，∴a≥20.∵y＝－100a＋36000，∴k＝－100＜0，∴y随a的增大而减小，∴a＝20时，y最大＝34000元，此时B型车的数量为60－20＝40(辆)，∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大9．(2014·泉州)如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
(1)已知DE∥AC，DF∥BC.
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC＝24 cm，BC＝20 cm，∠ACB＝45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
(2)折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．
解：(1)平行四边形 (2)设FC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )x cm(0＜x＜24)，则AF＝(24－x) cm.过点F作FH⊥BC于点H，则FH＝x.∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，∴DF＝(24－x)，∴S DECF＝DF·FH＝(24－x)·x＝－(x－12)2＋60，∴当x＝12时，四边形DECF面积取得最大值60，此时FC＝AC，即沿着三角形的中位线DF，DE剪四边形DECF，能使它的面积最大 (3)先折∠ACB的平分线(使CB落在CA上)，压平，折线与AB的交点为点D；再折DC的垂直平分线(使点C与点D重合)，压平，折线与BC，CA的交点分别为点E，F，展平后四边形DECF就是菱形．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形专题六 动态综合型问题
强化突破
1．(2014·益阳)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点P沿线段AB从点A向点B运动，设AP＝x.
(1)求AD的长；
(2)点P在运动过程中，是否存在以A，P，D为顶点的三角形与以P，C，B为顶点的三角形相似？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
(3)设△ADP与△PCB的外接圆的面积分别为S1，S2，若S＝S1＋S2，求S的最小值．
解：(1)AD＝2 (2)存在．若以 ( http: / / www.21cnjy.com )A，P，D为顶点的三角形与以P，C，B为顶点的三角形相似，则△PCB必有一个角是直角．①当∠PCB＝90°时，在Rt△PCB中，BC＝4，∠B＝60°，PB＝8，∴AP＝AB－PB＝2.又由(1)知AD＝2，在Rt△ADP中，tan∠DPA＝＝＝，∴∠DPA＝60°，∴∠DPA＝∠B，∴△ADP∽△CPB.②当∠CPB＝90°时，在Rt△PCB中，∠B＝60°，BC＝4，∴PB＝2，PC＝2，∴AP＝8，则≠且≠，此时△PCB与△ADP不相似．综上可知，存在△ADP与△CPB相似，此时x＝2
(3)如图，因为Rt△ADP ( http: / / www.21cnjy.com )外接圆的直径为斜边PD，∴S1＝π·()2＝π.①当2＜x＜10时，作BC的垂直平分线交BC于H，交AB于G；作PB的垂直平分线交PB于N，交GH于M，连接BM，则BM为△PCB外接圆的半径．在Rt△GBH中，BH＝BC＝2，∠MGB＝30°，∴BG＝4，又BN＝PB＝(10－x)＝5－x，∴GN＝BG－BN＝x－1.在Rt△GMN中，MN＝GN·tan∠MGN＝(x－1)．在Rt△BMN中，BM2＝MN2＋BN2＝x2－x＋，∴S2＝π·BM2＝(x2－x＋)π.②当0＜x≤2时，S2＝(x2－x＋)π也成立．∴S＝S1＋S2＝π＋(x2－x＋)π＝π(x－)2＋π，∴当x＝时，S＝S1＋S2取得最小值π
2．(2014·兰州)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，抛物线y＝－x2＋mx＋n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A(－1，0)，C(0，2)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点E是线段BC上的 ( http: / / www.21cnjy.com )一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
解：(1)y＝－x2＋x＋2
(2)∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋，∴抛物线的对称轴是x＝，∴OD＝.∵C(0，2)，∴OC＝2.在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD＝，∴P1(，4)，P2(，)，P3(，－)
(3)当y＝0时，0＝－x2＋x＋2，∴x1＝－1，x2＝4，∴B(4，0)，可求直线BC的解析式为y＝－x＋2.如图，过点C作CM⊥EF于M，设E(a，－a＋2)，F(a，－a2＋a＋2)，∴EF＝－a2＋a＋2－(－a＋2)＝－a2＋2a(0≤a≤4)．∵S四边形CDBF＝S△BCD＋S△CEF＋S△BEF＝BD·OC＋EF·CM＋EF·BN＝××2＋a(－a2＋2a)＋(4－a)(－a2＋2a)＝－a2＋4a＋＝－(a－2)2＋，∴a＝2时，四边形CDBF的面积有最大值，S最大＝，此时E(2，1)
3．(2013·青岛)如图， ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )D＝3 cm，CD＝1 cm，∠B＝45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3 cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1 cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t(s)(0＜t＜1)，解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？
(2)设四边形ANPM的面积为y(cm2)，求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由；
(4)连接AC，是否存在某一时刻t，使NP与AC的交点把线段AC分成∶1的两部分？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．
解：(1)由平行四边形知PA＝PD，即3t＝3－3t，∴t＝
(2)由△MAP∽△QDP ( http: / / www.21cnjy.com )，得＝，∴AM＝t.在Rt△BNM中，sin45°＝＝，∴MN＝(1＋t)，∴y＝AP·MN＝·3t·(1＋t)，∴y＝t2＋t (3)假设存在某一时刻使四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半，此时有t2＋t＝×3×，即t2＋t－1＝0，解得t1＝，t2＝(舍去)，则当t＝s时，四边形ANPM的面积是 ABCD面积的一半 (4)假设存在某一时刻，使MP与AC的交点把线段AC分成∶1的两部分．设NP与AC交于点E，那么AE∶EC＝∶1或AE∶EC＝1∶.当AE∶EC＝∶1时，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△APE∽△CNE，∴＝，即＝，解得t＝；当AE∶EC＝1∶时，同理可得＝，即＝，解得t＝.综上可知当t＝或t＝时，NP与AC的交点把线段AC分成∶1的两部分
4．(2014·襄阳)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B.连接EC，AC，点P，Q为动点，设运动时间为t秒．
(1)填空：点A坐标为__(1，4)__，抛物线的解析式为__y＝－x2＋2x＋3__；
(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点 ( http: / / www.21cnjy.com )C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？
(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始 ( http: / / www.21cnjy.com )向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P做PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？
解：(2)依题意有OC＝3，OE＝4，∴C ( http: / / www.21cnjy.com )E＝＝＝5，当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝＝，∴＝，解得t＝.综上可知，当t＝或t＝时，△PCQ为直角三角形 (3)由A(1，4)，C(3，0)，可求直线AC的解析式为y＝－2x＋6.∵P(1，4－t)，将y＝4－t代入y＝－2x＋6中，得x＝1＋，∴Q点的横坐标为1＋，将x＝1＋代入y＝－(x－1)2＋4中，得y＝4－，∴Q点的纵坐标为4－，∴QF＝(4－)－(4－t)＝t－，∴S△ACQ＝S△AFQ＋S△CFQ＝FQ·AG＋FQ·DG＝FQ·AD＝×2(t－)＝－(t－2)2＋1，∴当t＝2时，△ACQ的面积最大，最大值是1
5．(2014·咸宁)如图，正方形OABC ( http: / / www.21cnjy.com )的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．
(1)∠PBD的度数为__45°__，点D的坐标为__(t，t)__(用t表示)；
(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？
(3)探索△POE的周长是否随时间t的变化而变化，若变化，说明理由；若不变，试求这个定值．
解：(2)①若PB＝PE，则∠PBE ( http: / / www.21cnjy.com )＝∠PEB＝45°，∴∠BPE＝90°.∵∠BPD＝90°，∴∠BPE＝∠BPD，∴点E与点D重合，∴点Q与点O重合，与条件“DQ∥y轴”矛盾，∴这种情况应舍去．②若EB＝EP，则∠PBE＝∠BPE＝45°，∴∠BEP＝90°，∴∠PEO＝90°－∠BEC＝∠EBC.由AAS可证△POE≌△ECB，∴OE＝BC，OP＝EC，∴OE＝OC，∴点E与点C重合(EC＝0)，∴点P与点O重合(PO＝0)．∵点B(－4，4)，∴AO＝CO＝4，此时t＝AP＝AO＝4.③若BP＝BE，由HL可证Rt△BAP≌Rt△BCE，∴AP＝CE.∵AP＝t，∴CE＝t，∴PO＝EO＝4－t.∵∠POE＝90°，
∴PE＝＝(4－t)．延长OA到 ( http: / / www.21cnjy.com )点F，使得AF＝CE，连接BF，如图．由SAS可证△FAB≌△ECB，∴FB＝EB，∠FBA＝∠EBC.∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP＋∠EBC＝45°，∴∠FBP＝∠FBA＋∠ABP＝∠EBC＋∠ABP＝45°，∴∠FBP＝∠EBP.由SAS可证△FBP≌△EBP，∴FP＝EP，∴EP＝FP＝FA＋AP＝CE＋AP，∴EP＝t＋t＝2t，∴(4－t)＝2t，解得t＝4－4.综上可知，当t为4秒或(4－4)秒时，△PBE为等腰三角形 (3)∵EP＝CE＋AP，∴OP＋PE＋OE＝OP＋AP＋CE＋OE＝AO＋CO＝4＋4＝8，∴△POE的周长是定值，该定值为8
6．(2014·成都)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知抛物线y＝(x＋2)(x－4)(k为常数，且k＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y＝－x＋b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为－5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
(3)在(1)的条件下，设F为线段BD ( http: / / www.21cnjy.com )上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？
解：(1)易求A(－2，0)，B(4，0) ( http: / / www.21cnjy.com )，从而可求直线BD解析式为y＝－x＋，可得D(－5，3)，把D点坐标代入抛物线解析式可求k＝ (2)由抛物线解析式，令x＝0，得y＝－k，∴C(0，－k)，OC＝k.∵点P在第一象限内的抛物线上，∴∠ABP为钝角，∴若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2－1所示．设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y.∵tan∠BAC＝tan∠PAB，即＝，∴y＝x＋k，∴P(x，x＋k)，代入抛物线解析式得(x＋2)(x－4)＝x＋k，整理得x2－6x－16＝0，解得x＝8或x＝－2(与点A重合，舍去)，∴P(8，5k)．∵△ABC∽△APB，∴＝，即＝，解得k＝.②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图所示．与①同理，可求得k＝.综上可知，k＝或k＝
(3)由(1)知D(－5，3)，如答图3 ( http: / / www.21cnjy.com )，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4＋5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°.过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°.过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF.由题意，动点M运动的路径为折线AF＋DF，运动时间t＝AF＋DF，∴t＝AF＋FG，即运动时间等于折线AF＋FG的长度．由垂线段最短可知，折线AF＋FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为－2，直线BD解析式为y＝－x＋，∴y＝－×(－2)＋＝2，∴F(－2，2)．综上可知，当点F坐标为(－2，2)时，点M在整个运动过程中用时最少
