安徽省六安市裕安区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

六安市裕安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.下列统计量中，能度量一组数据离散程度的是（ ）
A.平均数 B.中位数 C.标准差 D.众数
2.已知点在平面内，且对空间任意一点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点分别是线段，的中点，则用向量表示向量应为（ ）
A. B.
C. D.
4.下列说法正确的是（ ）
A.直线必过定点
B.直线在轴上的截距为1
C.直线的倾斜角为
D.过点且垂直于直线的直线方程为
5.如图，在正方体中，分别为棱的中点，则与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，是棱长为6的正方体，若，则点到直线的距离为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
7.过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ）
A.4 B. C.2 D.
8.在长方体中，是的中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
10.不透明的袋子中装有6个大小质地相同的小球，分别标有数字，从中有放回的随机抽取两次，每次取一个球.表示事件“第二次取出的球上标有的数字大于等于”，表示事件“两次取出的球上标有的数字之和为5”，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C.事件与相互独立 D.
11.下列说法正确的是（ ）
A.“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件
B.直线的倾斜角的取值范围是
C.过两点的所有直线，其方程均可写为
D.已知，若直线与线段有公共点，则
12.在正方体中，，点满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A.当平面时，可能垂直
B.当时，的最小值为
C.若与平面所成的角为，则点的轨迹的长度为
D.当时，正方体经过点的截面面积的取值范围为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为，那么这组数据的第75百分位数为__________.
14.经过点且在轴上的截距等于轴上截距的3倍的直线的方程为__________.
15.已知向量在向量上的投影向量为，则实数的取值范围为__________.
16.已知是棱长为4的正四面体的外接球的一条直径，点是该正四面体表面上的一点，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知三个顶点的坐标：.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求中边上的高所在直线的方程.
18.（12分）设直线的方程为，直线的方程为，其中.
（1）若直线经过第二 三 四象限，求的取值范围；
（2）若直线，求的值.
19.（12分）面对某种新型冠状病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有三个独立的研究机构在一定的时期研制出疫苗的概率分别为：.
（1）求这种疫苗能被研制出的概率；
（2）求至多有一个机构研制出这种疫苗的概率.
20.（12分）如图，在四棱锥中，平面，且.
（1）求证：平面平面.
（2）若为的中点，点在上，且，求点到平面的距离.
21.（12分）如图，四棱柱的底面是正方形，为底面的中心，平面.
（1）求证：平面；
（2）求平面和平面的夹角的正切值.
22.（12分）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面为棱的中点，四棱锥的体积为.
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.
六安市裕安区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
参考答案
一 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.B 8.С
8.【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，则
设平面的法向量为
则，令，得
所以，
由于，
，
由于，所以
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.AC 10.BC 11.ABD 12.ACD
12.【详解】对于选项：建立如图所示的空间直角坐标系，则，
所以，
则，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的一个法向量为，
若平面，则，即，则当时，，即为中点时，有平面，且，故A正确；
选项：如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，
由余弦定理可知
所以，故B错误；
选项：因为平面，连接，则即为与平面所成角，若与平面所成角为，则，所以，
即点的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点的轨迹长度为，故正确；
选项：正方体经过点的截面为平行四边形，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以点到直线的距离为
，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为；
当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，故正确.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.40 14.或 15. 16.
四 解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：（1）
（2）
18.解：（1）由题意得：，解得：
（2）因为，所以，解得：或-2
检验：当时，与重合，应舍去；当时，.
综上：
19.解：（1）记“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件
，“机构在一定时期研制出疫苗”为事件，显然事件相互独立，且
，
设能研制出疫苗为事件，其对立事件是都没有研制出疫苗的事件，
则，
所以他们能研制出疫苗的概率是.
（3）至多有一个机构研制出疫苗的事件为，则
所以至多有一个机构研制出疫苗的概率是.
20.解：（1）作，垂足为，由题意可知：，且，则四边形为正方形，
所以，
又因为，可知，即，
因为平面平面，所以.
且平面平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
（2）以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
，则.
设平面的法向量为，则，
令，则，可得平面的一个法向量为，
设点到平面的距离为，则
所以点到平面的距离为.
21.解：（1）因为平面，且平面，所以在正方形中，，
所以平面，且平面，故.
在中，易求得，所以，
所以，又因为，所以
又平面，且平面，且，所以平面.
如图，两两垂直，则以为原点，分别以向量的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系.
，
，
由，易得，则.
设平面的一个法向量为
则得取，得，.
又，设平面的一个法向量为，
则，得，取，得所以，
平面和平面的夹角的余弦值为，故夹角的正弦值为，
平面和平面的夹角的正切值为.
22.解：（1）取中点，连接分别为的中点，
底面四边形是矩形，为棱的中点，.
，故四边形是平行四边形，所以.
又平面平面平面.
（2）假设在棱上存在点满足题意，
在等边中，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
平面，则是四棱锥的高.
设，则，
，所以.
以点为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
故.
设.
设平面的一个法向量为，
则，令得.
由题意可得
整理得，解得或又因为，所以
故存在点，位于的中点处满足题意.