北京市2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（PDF版含答案）

2023-2024 学年度第一学期
期中考试
高三年级 数学学科
本试卷共 6 页，共 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效.
一、选择题(每题 4 分，共 40 分)
2
1. 已知集合 A x x x 6 0 ， B y y | x | 1 ，则 A B ( )
A. [1，2] B. [1，3] C. [0，2] D. [0，3]
2. 下列命题中，正确的是 ( )
A．1 2i的虚部是 2 B． |1 2i | 5
C．1 2i的共轭复数是 1 2i D．1 2i在复平面内对应的点在第二象限

3．已知点 P(6, 8) 是角 终边上一点，则 sin( ) ( )
2
3 3 4 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
4. 已知 l ，m 表示两条不同的直线， 表示平面，则下列说法正确的是 ( )
A．若 l / /m ，m ，则 l / / B．若 l / / ，m ，则 l / /m
C．若 l m ，m ，则 l D． 若 l ，m ，则 l m
5.在△ ABC 中，点 D在边 AB上，BD 2DA．记CA m，CD n .则CB ( )
A. 3m 2n B. 2m 3n C. 3m 2n D. 2m 3n
2
6．函数 f (x) 3sin 2x 2cos x在区间[0, ]上的最大值为 ( )
2
1
A． B． 3 1 C．1 D． 3
2
2
7. 在数列{an}中，已知an n n，n N
* ，则“ a1 a2 ”是“{a ( )n}是单调递增数列”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
1
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
8.已知函数 y Asin( x ) 的部分图象如图所示，将该函
数的图象向左平移 t(t 0)个单位长度，得到函数 y f (x)
的图象．若函数 y f (x) 为奇函数，则 t 的最小值是 ( )

A． B． C． D．
12 6 4 3
9．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达 芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正
方体图案(如图 1)，把三片这样的达 芬奇方砖形成图 2 的组合，这个组合表达了图 3 所示的
几何体．如图 3 中每个正方体的棱长为1，则点 A 到平面QGC 的距离为 ( )
图 1 图 2 图 3
2 3
A. B. C.1 D. 2
2 2
x2 (a 1)x 2a, x 1
10.设函数 f (x) ，给出下列四个结论：
a | x 2 |, x 1
①当 a 0 时，函数 f (x) 有三个极值点；
②当 0 a 1时，函数 f (x) 有三个极值点；
③ a R, x 2是函数 f (x)的极小值点；
a 1
④ a R, x 不是函数 f (x) 的极大值点．
2
其中，所有正确结论的序号是 ( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④
二、填空题(每题 5 分，共 25 分)
11．首项为1的等比数列{an}中， 4a1, 2a2 , a3 成等差数列，则公比 q _______．
2
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
x 1
12.若函数 f (x) 2 a ( )
x
为偶函数，则a ________， f (x) 的最小值为_______.
2
4 3
13.已知正四棱锥 S ABCD，底面边长为 2 ，体积为 ，则这个四棱锥的侧棱长为_______.
3
*
14．已知数列 an 满足a1 1，a2n n 1，a2n 1 a2n a2n 1，n N .则集合{m | am 20}
中元素的个数为________.
1 5
15.已知 e1,e2 是空间单位向量， e1 e2 ，若空间向量b 满足b e1 2，b e2 ，且对于
2 2
任意 x, y R ， b (xe1 ye2 ) b (x0e1 y0e2 ) 1(x0 , y0 R) ，则 x0 y0 ，
b ．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 85 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（13 分） △ ABC 中，b2 c2 a2 3bc ．
（Ⅰ）求 A的大小；
（Ⅱ）以下三组条件中恰有一组条件使得三角形存在且唯一确定，请选出该组条件，
并求△ ABC 的面积．
2
条件①： sin在B ，b 2 ； 22 2条件②：cos B ， a 2 ； 3
条件③：a 1，b 2 ．
注：条件选择错误，第（2）问得 0 分．
3
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
17. （14 分）如图，已知平面PAB 平面 ABCD，四边形 ABCD是矩形，PA AB，点E ，
F 分别是BC ， PB 的中点．
（Ⅰ）若点M 为线段 AD 中点，求证：PM ∥平面 AEF ；
（Ⅱ）求证： AF 平面PBC .
18. （15 分）已知函数 f (x) x ln x .
（Ⅰ）求曲线 y f (x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 的单调区间；
1
（Ⅲ）若对于任意 x [ ,e]，都有 f (x) ax 1，求实数a 的取值范围．
e
4
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
19. （14 分）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E 为棱BC 的中点，F
为棱CD上一点．
（Ⅰ）求直线 AC1与平面 A1EC1所成角的正弦值；
（Ⅱ）求二面角 A A1C1 E 的正弦值；
（Ⅲ）是否存在点 F ，使 D1F //平面 A1EC1 ？若存在，求出
DF 的长度；若不存在，请说明理由.
20. （14 分）已知函数 f (x) (x 2)ex x ln x ．
（Ⅰ）求证：函数 f (x) 在区间[1, ) 上为单调递增函数；
1
（Ⅱ）若函数 f (x) 在[ ,1]上的最大值在区间 (m,m 1)内，求整数m 的值．
4
21. （15 分）已知数列 An : a1,a2 , ,an .如果数列Bn :b1,b2 , ,bn 满足b1 an ，
bk ak 1 ak bk 1，
其中 k 2,3, ,n，则称Bn 为 An 的“衍生数列”.
（Ⅰ）若数列 A4 : a1,a2 ,a3 ,a4 的“衍生数列”是 B4 : 5, 2,7, 2，求 A4 ；
（Ⅱ）若n 为偶数，且 An 的“衍生数列”是Bn ，证明：Bn 的“衍生数列”是 An ；
（Ⅲ）若 n为奇数，且 An 的“衍生数列”是Bn ，Bn 的“衍生数列”是Cn ，….依次将数列 An ，Bn ，
Cn ，…的第 i (i 1,2, ,n) 项取出，构成数列 i : ai ,bi ,ci , .
求证： i 是等差数列.
5
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
（此页为答题纸，请勿在此作答）
6
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
【参考答案】
一、选择题：BBADB CCBAD
二、填空题
11. 2
12. -1,2
13. 6
14.24
15.3,2 2
16.（1）由余弦定理a2 b2 c2 2bccos A，又b2 c2 a2 3bc ，可得
3
2bc cos A 3bc ，所以cos A ，又因为 A 0, ，所以 A
2 6
（2）选择条件②
2 2
由（1）知， A ，根据条件②中 cos B ，B 0, ，所以 B 也是唯一确定的，
6 3
从而可得 C也是唯一确定的，再由a 2 ，代入正弦定理计算可得边b,c也是唯一确定
的，故选择条件②.
2 2 1
因为cos B ， B 0, ，所以sin B ．
3 3
a b
由正弦定理 ，
sin A sin B
1
2
sin B 3 2 2
可得b a ，
sin A 1 3
2
1 2 2 3 1 2 2 3
所以sin C sin A B sin Acos B cos Asin B
2 3 2 3 6
1 2 2 3
所以三角形面积 S absin C
2 9
7
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
17.（Ⅰ）证明：连结BM 交 AE 于 N ，连结PM ，FN ．
因为四边形 ABCD是矩形，
所以 AD//BC，且 AD=BC ，
又M ， E 分别为 AD ， A 的中点，
所以四边形 AMEB 是平行四边形，
所以 N 为BM 的中点，
又因为M 是 PB 的中点，
所以PM ∥FN ，
因为PM 平面 AEF ， NF 平面 AEF ，
所以PM ∥平面 AEF .
（Ⅱ）证明：
在矩形ABCD中, BC AB
BC AB

面PAB 面ABCD

面PAB 面ABCD AB
BC 面ABCD
BC 面PAB
因为 AF 平面PAB，
所以BC AF ．
因为PA AB，点M 是PB 的中点，
所以PB AF
又因为BC PB B，
所以 AF 平面PBC ．
18.解：(Ⅰ)因为函数 ( ) = ，
′ 1
所以 ( ) = + = + 1，

′(1) = 1 + 1 = 1．
又因为 (1) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 1．
8
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
(Ⅱ)函数 ( ) = 定义域为(0,+∞)，
由(Ⅰ)可知， ′( ) = + 1．
1
令 ′( ) = 0，解得 = ．

( )与 ′( )在区间(0,+∞)上的情况如下：
1 1 1
(0, ) ( ,+∞)

′( ) 0 +
( ) ↓ 极小值 ↑
1 1
故 ( )的增区间为( , +∞)，减区间为(0, )．

1 1
(Ⅲ)当 时，“ ( ) ≤ 1”等价于“ ≥ ln + ”恒成立，

1 1
令 ( ) = ln + ， ∈ [ , ]，

1 1 1 1
′( ) = 2 = 2 ， ∈ [ , ]．
1 1
当 ∈ [ , 1)时， ( ) < 0，所以 ( )在区间[ , 1)单调递减．

当 ∈ (1, ]时， ( ) > 0，所以 ( )在区间(1, ]单调递增．
1 1
而 ( ) = ln + = 1 > 1.5， ( ) = 1 + < 1.5，

1 1
所以 ( )在区间[ , ]上的最大值为 ( ) = 1．

1
所以当 ≥ 1时，对于任意 ∈ [ , ]，都有 ( ) ≤ 1．

19.(1) 以 为原点， , , 1分别为 , , 轴，建立如
图空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， 1(0,0,2)， (2,0,0)， (2,2,0)，
(0,2,0)， 1(2,2,2)， 1(0,2,2)，E(2,1,0)
AC1 (2,2,2), A1C (2,2,0), EC1 (0,1,2) 1
设平面 A1C1E 的一个法向量为m (x, y, z)
m A1C1 0
不妨设 = 2，则 = 2， = 1,
m EC1 0
m ( 2,2, 1)
设直线 1与平面 1 1所成角为 ，
9
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
则 m AC 2 3sin | cos m, AC | 1 ． 1
m , AC 3 2 3 91
→
(2)由正方体可得，平面 1 1的一个法向量为 = (2, 2,0)，
DB m 8 2 2
则 cos DB,m .
DB m 3 2 2 3
因为二面角 1 1 为锐二面角，
→ → 1
所以二面角 1 1 的正弦值为 √1 cos
2 , = ．
3
（3）存在，设 F 点的坐标为(t,2,0),所以 1 = ( , 0,2)
→
平面 1 1的一个法向量为 = ( 2,2, 1)，
→
因为 1 ⊥ ，所以 1 = 0，t = 1
因为 1 平面 1 1，所以 1 //平面 1 1．此时 = 1
20.解：(1)
1 1
∈ [1,+∞), ′( ) = + ( 2) 1 + = ( 1) ( )
x
1 1
当 ≥ 1时x 1 ≥ 0,ex ≥ , ≤ 1, > ∴ ′( ) ≥ 0， ( )单调递增

1 1
(2) ′( ) = ( 1) 1 + = ( 1)( ).

1 1 1
令 ( ) = ，则 ′( ) = + > 0，所以 ( )在[ , 1]上单调递增，
2 4
因为 1
1
( ) = 2 2 < 0， (1) = 1 > 0，
2
1 1
所以存在 0 ∈ ( , 1)，使得 ( 0) = 0，即
0 = ，即ln 0 = ， 2 00
1
故当 ∈ [ , 0)时， ( ) < 0，当 ∈ ( 0, 1]时， ( ) > 0， 4
1 1
又当 ∈ [ , 1]时， 1 ≤ 0(等号仅在 = 1时成立)，所以当 ∈ [ , )时， ′( ) > 0，
4 4 0
当 ∈ ( 0, 1]时， ′( ) ≤ 0(等号仅在 = 1时成立)，
1
所以 ( )在[ ,
4 0
)上单调递增，在( 0, 1]上单调递减，
1 2
则 ( )max = ( 0) = ( 0 2)
0 0 + ln 0 = ( 0 2) 0 0 = 1 2 ， 0 00
2 1
令 2 2(1
2) 1
( ) = 1 2 ， ∈ ( , 1)，则 ′( ) = 2 2 = 2 > 0( ∈ ( , 1))， 2 2
10
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
1 1
所以 ( )在( , 1)上单调递增，则 ( ) > ( ) = 4， ( ) < (1) = 3，
2 2
所以 4 < ( ) < 3，所以 = 4．
21.（Ⅰ）解： . ………3A4 : 2,1, 4,5
分
（Ⅱ）证法一：
证明：由已知，b1 a1 (a1 an ) ，b2 a1 a2 b1 a2 (a1 an ) .
因此，猜想b a ( 1)i (a a ) . ………………4 分 i i 1 n
① 当 i 1时，b1 a1 (a1 an ) ，猜想成立；
② k 假设 i k (k *N ) 时，bk ak ( 1) (a1 an ) .
当 i k 1时，bk 1 ak ak 1 bk
ak ak 1 [ak ( 1)
k (a 1 an )]
ak ak 1 ak ( 1)
k (a1 an )
a ( 1)k 1(a a ) k 1 1 n
故当 i k 1时猜想也成立.
由 ①、② 可知，对于任意正整数 i ，有bi ai ( 1)
i (a a ) . ………………7 分 1 n
设数列Bn 的“衍生数列”为Cn ，则由以上结论可知
c b ( 1)i (b b ) a ( 1)i (a a ) ( 1)ii i n i n (b ，其中1 1 1 bn) i 1,2,3, ,n .
由于n 为偶数，所以bn an ( 1)
n (a1 an ) a1 ，
所以 ci ai ( 1)
i (a1 an ) ( 1)
i (an a1) ai ，其中 i 1,2,3, ,n .
因此，数列Cn 即是数列 An . ………………9 分
证法二：
因为 b1 an ，
b1 b2 a1 a2 ，
b2 b3 a2 a3 ，
……
bn 1 bn an 1 an ，
n
由于n 为偶数，将上述 n 个等式中的第2,4,6, ,n这 个式子都乘以 1，相加得
2
b1 (b1 b2 ) (b2 b3) (bn 1 bn ) an (a1 a2 ) (a2 a3) (an 1 an )
即 bn a1，bn a1 . ………………7 分
由于a1 bn ， ai bi 1 bi ai 1 (i 2,3, ,n)，
根据“衍生数列”的定义知，数列 An 是 Bn 的“衍生数列”. ………………9 分
（Ⅲ）证法一：
证明：设数列 X n , Yn , Zn 中后者是前者的“衍生数列”.欲证 i 成等差数列，只需证明
x , y , z 成等差数列，即只要证明2yi xi z (i 1,2,3, ,n)i i i i 即可. ……10 分
11
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}
由（Ⅱ）中结论可知 yi xi ( 1)
i (x x )， 1 n
zi y ( 1)
i (y y i 1 n )
xi ( 1)
i (x1 xn ) ( 1)
i (y1 yn )
xi ( 1)
i (x x i n 1 n ) ( 1) [xn xn ( 1) (x1 xn)]
xi ( 1)
i (x1 xn) ( 1)
i (x x ) 1 n
xi 2( 1)
i (x ， 1 xn )
所以， x z 2x 2( 1)i (x x ) 2y ，即 xi , yi , zi 成等差数列， i i i 1 n i
所以 i 是等差数列. ………………13 分
证法二：
因为 bi ai 1 ai bi 1 (i 2,3,4, ,n) ，
所以 bi ai (bi 1 ai 1) (i 2,3,4, ,n) .
所以欲证 i 成等差数列，只需证明 1 成等差数列即可. ………………10 分
对于数列 An 及其“衍生数列” Bn ，
因为 b1 an ，
b1 b2 a1 a2 ，
b2 b3 a2 a3 ，
……
bn 1 bn an 1 an ，
n 1
由于n 为奇数，将上述 n 个等式中的第2,4,6, ,n 1这 个式子都乘以 1，
2
相加得
b1 (b1 b2 ) (b2 b3) (bn 1 bn ) an (a1 a2 ) (a2 a3) (an 1 an )
即bn an a1 an 2an a1 .
设数列Bn 的“衍生数列”为Cn ，
因为 b1 an ，c1 bn 2an a1 ，
所以 2b1 a1 c1， 即a1,b1,c1成等差数列.
同理可证，b1,c1,d1;c1,d1,e1, 也成等差数列.
即 1 是等差数列.
所以 i 成等差数列. ………………13 分
12
{#{QQABCQiEogAoQAIAARhCAw1wCAKQkBGAAAoORAAEMAIAQBFABCA=}#}