武冈市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学
本试卷分为问卷和答卷。考试时量120分钟，满分150分。请将答案写在答题卡上。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则
A. B. C. D.
2.已知，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点所在的象限为
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.若向量，，则“”是“向量，夹角为钝角”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.设等差数列的公差为d，前n项和为，若，且，则
A. B. C.1 D.3
5.已知某种垃圾的分解率为v，与时间t（月）满足函数关系式（其中a，b为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过 （参考数据：）
A.48个月 B.52个月 C.64个月 D.120个月
6.已知函数的部分图象如图所示，其中，，.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为
A. B. C. D.
7.已知向量，，满足，，且，则
A. B. C. D.
8.已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.关于函数，下列结论正确的是（ ）
A.的最小正周期为 B.的最大值为2
C.在上单调递减 D.是的一条对称轴
10.设等比数列的公比为，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足，，，下列结论正确的有（ ）
A. B.
C.是数列中的最大项 D.是数列 中的最大项
11.已知过抛物线T：的焦点F的直线l交抛物线T于A，B两点，交抛物线T的准线与点M，，，则下列说法正确的有（ ）
A．直线l的倾斜角为150° B．
C．点F到准线的距离为8 D ．抛物线T的方程为
12.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2CB=4，E，F，G分别为侧棱BB1，DD1，AA1上一点，BE=DF=A1G=2，则
A.BD⊥GF
B.∠GEC1可能为
C.∠EGF的最大值为
D.当AA1=时，GE∥G1F
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知，则 .
14.某班派遣A、B、C、D、E五位同学到甲，乙，丙三个街道进行打扫活动，每个街道至少有一位同学去，至多有两位同学去，且A、B两位同学去同一个街道，则不同的派遣方法有 种.
15.已知体积为24的四棱锥P-ABCD的底面是边长为的正方形，底面ABCD的中心为O1，四棱锥P-ABCD的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，则点P的轨迹的长度为 .
16.已知函数有两个极值点x1，x2，且x1>3x2，则实数m的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知数列满足
（1）令，求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和为.
18．（12分）如下图，在直三棱柱中，分别为的中点，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
19．（12分）某公司有A，B，C型三辆新能源电动汽车参加阳光保险，每辆车需要向阳光保险缴纳800元的保险金，若在一年内出现事故每辆车可赔8000元的赔偿金（假设每辆车每年最多赔偿一次）.设A,B,C型三辆车一年内发生事故的概率分别为，，，且每辆车是否发生事故相互独立.
（1）求该公司获赔的概率；
（2）设获赔金额为X，求X的分布列和数学期望.
20．（12分）在中，a、b、c分别为角所对的三边，若
（1）求角C；
（2）若，求的最大值.
21．（12分）如图，椭圆C：=1（a>b>0）上，点P（2，1）在椭圆C上，B1、B2为其上下顶点，且，过点P作两直线l1与l2分别交椭圆C于A，B两点，若直线l1与l2的斜率互为相反数。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求|AB|的最大值.
22．（12分）已知函数
（1）若在上为单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若，记的两个极值点为x1，x2，记的最大值与最小值分别为M，m，求M－m的值.武冈市2023-2024学年高三上学期期中考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
B A B A B B D D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。
9.AD 10.ABD 11. BD 12.ACD
9.因为=，
则的最小正周期为，A正确.的最大值为，B错.
时，，所以函数上单调递减增，故函数在上单调递增，C错.因为，故D正确
10.因为是公比为q的等比数列，且，，，所以，，所以0对于A，，故A正确.
对于B，，故B正确.
对于C，根据上面分析，等比数列中的每一项都为正值，所以Sn无最大值，所以数列无最大项，故C错误.
对于D，等比数列中从a1到a2023的每一项都大于1，从a2024开始后面每一项都小于1且大于0，所以T2023是数列中的最大项，故D正确.
故选ABD.
11. 过点A作AC垂直于准线，垂足为C，因为，所以，
==，所以直线l的倾斜角的斜率为或，故直线l的倾斜角为或，故A错误，B正确.
设直线l的方程为，
由，消去得，所以+=，
所以，解得，所以点到准线的距离为4，抛物线T的方程为，故C错误，D正确.故选BD.
12.
所以，C正确。
故选ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 252 14. 90 15. 16.
解析:
15.点P到底面ABCD的高，又四棱锥P-ABCD的外接球球心O到底面ABCD的距离为2，设外接球半径为R，因为底面ABCD的中心为，所以平面ABCD且，所以点O与点P不可能在平面ABCD的两侧，如图所示，
所以点P在垂直于且与球心O的距离为4的平面于P-ABCD的外接球的交线上，在以为半径的圆上，，所以，故点P的轨迹长度为.
16. 有两个极值点等价于，有两个不同实根，，且，所以.
设，，所以在单调递减，在单调递增，且时，.当时，，即，所以，，，所以时，.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17、（1）证明：
是以首项为，公比为等比数列； …………5分
由（1）可知：
从而
故 …………10分
18、解析：（1）
直三棱柱
为的中点，
（2）由题意可知：可建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为
则，即，可取
…………12分
19、（1）设该公司获赔的概率为
则 …………5分
（2）由题意可知：
则
…………12分
20、（1）由已知得
由正弦定理得：
由余弦定理得：
…………5分
而
，故的最大值为。 …………12分
21．（1） …………5分
（2）解设直线l1为，则直线l2为，联立
整理得，
由，解得，
又由可得
则，
同理可得，
所以|AB|2=，
当且仅当时，等号成立，
因此，|AB|的最大值为4. …………12分
22. (1)
，
因为在上为单调函数，且在在上不恒成立，
所以在上恒成立。
①当，即时，显然恒成立。
②当，即时，成立，解得，经检验可知，当时符合题意。
综上所述，实数a的取值范围是（－，2 …………5分
…………12分
