安徽省亳州市涡阳县2023-2024学年高一上学期11月第二次月考数学试题（含解析）

涡阳县2023-2024学年高一上学期11月第二次月考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章~第三章第2节.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，表示从集合到集合的函数，若，则的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.1或2
3.下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A.每一个命题都能判断真假
B.存在一条直线与两条相交直线都平行
C.对任意实数，若，则
D.存在，使
4.函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
5.若，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
6.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ）
A.
B.
C.
D.
7.已知集合，则满足的集合的个数为（ ）
A.16 B.14 C.8 D.2
8.已知函数在区间上是减函数，在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.给定下列推导过程，错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10.下列结论正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.的最小值为2
D.的最小值为2
11.设计如图所示的四个电路图，条件“开关闭合”；条件：“灯泡亮”，则是的必要条件的图为（ ）
A. B.
C. D.
12.在学习了函数的奇偶性后，小明同学发现：函数为奇函数的充要条件是的图象关于坐标原点成中心对称，可以引申为：函数为奇函数的充要条件是的图象关于点成中心对称.已知函数的图象关于成中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数则__________.
14.若，则__________.
15.若关于的不等式的解集为，则实数的取值集合为__________.
16.已知表示不超过的最大整数，则函数的值域为__________；的值域为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知集合.
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知集合.
（1）若，求实数取值范围；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19.（本小题满分12分）
已知是定义在上的奇函数，当时，，且.
（1）求的解析式；
（2）画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）.
20.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）判断的奇偶性；
（2）当时，用单调性的定义证明在上是增函数.
21.（本小题满分12分）
已知不等式，其中.
（1）若，解上述关于的不等式；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和坚直方向的留空宽度均为（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是），设.
（1）当时，求海报纸（矩形）的周长；
（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？
涡阳县2023-2024学年高一上学期11月第二次月考
数学
参考答案 提示及评分细则
1.B 由题意，得.故选.
2.D 由得的值为1或2.故选D.
3.A 对于A，是全称量词命题，命题都能判断真假，是真命题，符合题意；对于，是存在量词命题，不符合题意；对于，是全称量词命题，当时，，C是假命题，不符合题意；对于，是存在量词命题，不符合题意.故选A.
4.C 由得或的定义域为.故选C.
5.D 若，所以“”不能得出“”；若，所以“”不能得出“.综上，“”是“的既不充分也不必要条件.故选D.
6.C 对于选项的定义域为的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故A错误；对于选项，这两个函数的对应关系不同，不表示相同的函数，故B错误；对于选项的定义域为的定义域为，这两个函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C正确；对于选项D，的定义域为的定义域为或，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D错误.故选C.
7.A 因为，所以中元素有：，，所以集合的任何一个子集，添加元素后都可以作为集合，所以符合条件的共有16个.故选A.
8.B 函数的对称轴为直线，则由题意可得，解得.故选B.
9.ACD 对于A，只有当时，才成立，故A错误；显然，B正确；对于，只有当且时，才成立，故C错误；对于D，当时，，故D错误.故选ACD.
10.AB 当时，，当且仅当时，即时等号成立，故A正确；当时，，当且仅当时，即时等号成立，故B正确；当时，显然不成立，故错误；因为，当且仅当时，此时无解，故取不到等号，故D错误.故选AB.
11.BC 对于，开关闭合灯亮，反过来灯泡亮，也可能是开关闭合，是的充分不必要条件；对于，只有一个开关，灯如果要亮，开关必须闭合，是的充要条件；对于灯亮必须和同时闭合，是的必要不充分条件；对于，灯一直亮，跟开关没有关系，是的既不充分也不必要条件.故选BC.
12.BCD 函数的图象关于成中心对称，且由函数可得定义域为，所以的图象关于原点对称，则，所以，故A错误，C正确；结合题意可得关于原点对称，所以对任意，都有，故D正确；在中令得，且，所以，故B正确.故选BCD.
13.-2 因为则，故.
14.且 令，则，因为，所以，又且，所以且，所以且.
15. 由题意，得恒成立，则，解得.
16.（2分）（3分） 因为函数故函数在上的值域为.函数故当时，；当时，；当时，；当时，，综上所述，函数的值域为.
17.解：（1）因为，
所以.
（2）因为且，
所以，即的取值范围为.
18.解：（1）若，则，得.
（2）因为
若“”是“”的充分不必要条件，
则是的真子集，
即解得，
经检验，当时均有 .
即实数的取值范围是.
19.解：（1）因为是定义在上的奇函数，所以，解得.
所以当时，，当时，.
所以
（2）的图象如下：
由图可知，的单调增区间为；
单调减区间为.
20.（1）解：的定义域为，都有.
当时，，满足是偶函数；
当时，，则，且，
所以是非奇非偶函数.
综上，当时，是偶函数；当时，是非奇非偶函数.
（2）证明：当时，.
，且，有
.
由，得，所以，于是，即.
所以当时，在上是增函数.
21.解：（1）若，则不等式变形为，
即，
解得，
故不等式的解集为.
（2）不等式对恒成立.
当时，，即；
当时，恒成立.
（当且仅当即时，等号成立）.
；
当时，恒成立.
（当且仅当即时，
等号成立），
，
综上，的取值范围为.
22.解：（1）设阴影部分直角三角形的高为，
所以阴影部分的面积，所以，
又，故，
由图可知，
海报纸的周长为.
故海报纸的周长为.
（2）由（1）知，
当且仅当，即时等号成立，
此时，.
故选择长 宽分别为的海报纸，可使用纸量最少.