山东省枣庄市滕州市鲍沟中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如果关于的方程中，那么方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．若是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
3．某商品原每件售价元，经过连续两次降价后每件仍能获利元，若每件商品进价为元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
4．某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点要使四边形为矩形，可以添加的一个条件是（ ）
A．四边形是矩形 B．、互相平分
C． D．
8．（2023九上·晋江开学考）已知一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是一张矩形纸片，，点为边上一点，且，连接，若将其沿对折，使得点落在边上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023八下·鄞州期中）如图，菱形ABCD的顶点A；B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9 B． C．6 D．3
12．（2022·赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
14．如果，是方程的两个根，那么 ； ．
15．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在射线上不与、重合，过点分别作轴和轴的垂线，垂足为、当矩形的面积为时，点的坐标为 ．
16．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，时好，若，则 ．
17．（2023九下·灌南期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为 ．
18．（2021·枣庄）如图， ， ，点 在 上，四边形 是矩形，连接 ， 交于点 ，连接 交 于点 ．下列4个判断：① ；② ；③ ；④若点 是线段 的中点，则 为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ．（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．选取最恰当的方法解方程：
（1）；
（2）．
20．已知：如图，边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．
（1）求证：；
（2）M、分别在、延长线上，，求证：四边形与正方形重合部分的面积等于．
21．今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利元？
22．已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
23．如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，
接、，延长交线段的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的长．
24．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当 时，四边形是矩形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意
当x=-1时
有a-b+c=0
x=1是方程的一个根
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根的意义来判定。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，将x=-2代入方程
得
解得a=3
原方程为
解得x1=-2，x2=-1
此方程的另一个根是 -1
故答案为：B
【分析】将已知的根代入原方程得到a值，就得到了原方程的准确等式，再解方程即可求得方程全部的解。
3．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，设每次降价的百分率为x，
解得x=20%
故答案为：B
【分析】典型的用一元二次方程解决百分率问题，是百分率问题的通用公式，n为期初到期末连续增长或降低次数，本题中n=2，“-增长率”适用降低的情况。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，两次降价的百分率都是x，x满足的方程是
故答案为：B
【分析】典型的用一元二次方程解决百分率问题，是百分率问题的通用公式，n为期初到期末连续增长或降低次数，本题中n=2，“-增长率”适用降低的情况。
5．【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，
方程有实数根，则必须有
解得
故答案为：D
【分析】根据平方的非负性可以直接判定b的取值范围，也可以按照常规思路求根的判别式大于等于0时b的取值范围。
6．【答案】D
【知识点】代数式求值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意
等号两侧同时加上4
得：
由完全平方公式得：
故答案为：D
【分析】掌握一元二次方程用配方法求解的过程，就能够顺利解决恒等变形，找到a、b的值，从而求得a+b的值。
7．【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，，分别是边，，，的中点
EF是三角形ABC的中位线
（中位线定理：三角形中位线平行于底边且等于底边的一半）
同理，
(平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行)
四边形ABCD是平行四边形
根据矩形的判定定理：
A：四边形是矩形，不符合题意；
B：、互相平分，只能证明四边形是平行四边形无法证明是矩形，不符合题意；
C：，对角线相等的四边形，有可能是平行四边形，也可能不是，不符合题意；
D：，可推导出，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据已知的中点条件，利用中位线定理先判定出四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理进一步找到充分条件。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有一个根为，
∴1-k-3=0，
解之：k=-2.
故答案为：B.
【分析】将x=-1代入方程，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意，对折后
故答案为：B
【分析】从问题入手将AD的长分成两部分，根据对折的性质和矩形的性质分别得到这两部分的值，再相加即可。
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设M的坐标为（AM，AB）
正方形ABCD旋转30°得到A'B'C'D'
在RtBC'M和RtBAM中，
≌ （HL）
又
即
解得AM=1
M的坐标为
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质先得到纵坐标，然后由旋转得到的全等三角形证明得到30°角，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求得M点的横坐标。
11．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC、BD互相垂直且平分.
∵点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，直线AC平行x轴，
∴ B（5，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=5，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直且平分，结合点C的横坐标、点D的纵坐标可得B（5，0），A（0，4），然后求出OA、OB的值，再利用勾股定理就可求出AB的长.
12．【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据题意可得，B、D关于直线AC对称，直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，根据菱形的性质求出BE的长即可。
13．【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=0代入方程
得：
解得
故答案为：-1
【分析】m的值即能让方程等式成立，又要保证一元二次方程存在有意义，故求得的1要舍去。
14．【答案】；3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：一元二次方程
a=2，b=-3，c=-6
故第一空填：，第二空填：-3
【分析】韦达定理描述了一元二次方程根与系数的关系，对于一般式，有实数根x1、x2，则有、。
15．【答案】或或
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，P在射线BA上且P不与A、B重合，
则
设P的坐标为(x，-2x+3）
x当
整理得：
解得
代入x=1，-2x+3=1
代入x=，-2x+3=2
即P的坐标为(1，1)或（，2）当
整理得：
解得（）
代入，
P的坐标为()
综上，
故答案为： 或或
【分析】一次函数的图象是一条直线，P在射线BA上且P不与A、B重合，说明P点的横坐标要大于0，纵坐标可能在0与3之间，也可能比0小，有了这个定性的认识之后，再定量计算；设出P点坐标，根据面积是1计算出x值，再求y值，对于不大于0的x值要舍去。
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中， CD是AB边上的中线
(直角三角形中斜边中线等于斜边的一半）
沿折叠得到
，CA=CA'
故答案为：
【分析】根据“直角三角形中斜边中线等于斜边的一半”得到相等的线段，再由等边对等角、折叠得到等角，找到三个相等的角，同时根据已知垂直条件，推出这三个等角的和是90°，至此可以推导出是特殊角30°，根据它的正切函数或勾股定理可以计算出CA'。
17．【答案】
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，
又∵BE=BM，
∴∠BME=45°，
∵∠AME+∠BME=180°，∠FNC+∠FNE=180°，
∴∠AME=∠ENF=135°，
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEN=90°，
∴∠BAE=∠FEN，
又AE=EF，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，
∴AM+BM=EN+BE，即BN=AB=4，
∴CN=BC-BN=2，
∴点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，
由勾股定理得最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，由矩形性质得∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，由等腰直角三角形的性质得∠BME=45°，然后由等角的补角相等得∠AME=∠ENF，再由同角的余角相等得∠BAE=∠FEN，从而用AAS判断出△AME≌△ENF，则AM=EN，进而根据线段的和差可得BN=AB=4，CN=2，所以点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，最后由勾股定理即可算出答案.
18．【答案】①③④
【知识点】矩形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
，
，
（等腰三角形的三线合一），则①符合题意；
，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
，则②不符合题意；
，
（等腰三角形的三线合一），
在 和 中， ，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，则③符合题意；
，
，
点 是线段 的中点，
，
在 和 中， ，
，
，
为等腰三角形，
，
，即 ，
为等腰直角三角形，则④符合题意；
综上，判断正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】由矩形得出 ，为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得，即可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得出BF=DF，证明，得出AF=AB，进而可判断③的正误；由直角三角形的斜边上的中线定理得出AG=OG，进而求得，由矩形性质得出ED=EA，进而得出，在得出，可判断④，由此得出答案。
19．【答案】（1）解：，
，
则，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】 (1) 先观察方程，可以找到公因式，因此可以提取公因式进行因式分解，选用因式分解法解方程；
(2) 先把系数化简再观察各系数，尝试简单验算后就可以用十字相乘法进行因式分解，进一步求出方程的解。
20．【答案】（1）证明：四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
即；
（2）解：≌，
，
四边形与正方形重合部分的面积等于
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 从已知条件入手，正方形的性质可以得到对角线平分且垂直，可以得到一组45°角，已知的一组相等的线段所在的两个三角形，就具备了全等的条件，进而得到对应相等的一组角；等量代换，得到EO和FO的夹角是90度；
（2）在（1）的思路下，全等的两个三角形面积相等，重合部分的面积等同的正方形面积。
21．【答案】（1）解：设平均增长率为，由题意得：，
解得：或舍；
四、五这两个月的月平均增长百分率为
（2）解：设降价元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价元时，商场六月份可获利元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决百分率问题，期初到期末连续增长2次，可以用百分率问题的通用公式；
（2）降价后的每件利润月销售数量=月获利，用一元二次方程解决销售问题。
22．【答案】（1）证明：，
方程为一元二次方程，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是整数，
或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；整除的意义
【解析】【分析】要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，可以证明判别式大于0；
（2）根据根的公式得到2个根的表达式，根据题中2个根都是整数的条件，可以求出m的值。
23．【答案】（1）解：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌
（2）解：四边形为菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；线段的计算
【解析】【分析】（1）从结论入手，要证得两个三角形全等，从菱形的性质可以得到一组对应边、一组对应角相等，根据SAS定理，把问题转化为去求证对应角的另一组对边相等，按照这个思路，结合已知条件中线段的关系式可求，至此整理思路可写出求证过程；
（2）由菱形的性质和已知 的关系可以得到。（审核老师，原答案写得比较复杂，麻烦留意一下，谢谢）
24．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形
（2）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：ABCD是菱形，
AD=AB=BC=CD=6
又
AD=AB=BD=6
三角形ABD和三角形BDC是等边三角形
四边形DECF是矩形，
E是底边BC上的中点(等腰三角形三线合一)
故填：3
【分析】（1）根据菱形的性质得到一组边平行，再由平行得到两组角相等，结合已知的一组相等的边，可证得三角形全等，进而证得对应边相等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理可证得；
（2）在（1）的结论下，四边形DECF是平行四边形，如果DEBC，则平行四边形是矩形；故在这垂直的条件下，由菱形和60°角可以找到等边三角形，进一步根据三线合一定理得到BE的长。
1 / 1山东省枣庄市滕州市鲍沟中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．如果关于的方程中，那么方程必有一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意
当x=-1时
有a-b+c=0
x=1是方程的一个根
故答案为：B
【分析】根据一元二次方程根的意义来判定。
2．若是一元二次方程的一个根，则此方程的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意，将x=-2代入方程
得
解得a=3
原方程为
解得x1=-2，x2=-1
此方程的另一个根是 -1
故答案为：B
【分析】将已知的根代入原方程得到a值，就得到了原方程的准确等式，再解方程即可求得方程全部的解。
3．某商品原每件售价元，经过连续两次降价后每件仍能获利元，若每件商品进价为元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，设每次降价的百分率为x，
解得x=20%
故答案为：B
【分析】典型的用一元二次方程解决百分率问题，是百分率问题的通用公式，n为期初到期末连续增长或降低次数，本题中n=2，“-增长率”适用降低的情况。
4．某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：根据题意，两次降价的百分率都是x，x满足的方程是
故答案为：B
【分析】典型的用一元二次方程解决百分率问题，是百分率问题的通用公式，n为期初到期末连续增长或降低次数，本题中n=2，“-增长率”适用降低的情况。
5．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】偶次幂的非负性
【解析】【解答】解：根据题意，
方程有实数根，则必须有
解得
故答案为：D
【分析】根据平方的非负性可以直接判定b的取值范围，也可以按照常规思路求根的判别式大于等于0时b的取值范围。
6．用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】代数式求值；配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意
等号两侧同时加上4
得：
由完全平方公式得：
故答案为：D
【分析】掌握一元二次方程用配方法求解的过程，就能够顺利解决恒等变形，找到a、b的值，从而求得a+b的值。
7．如图，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点要使四边形为矩形，可以添加的一个条件是（ ）
A．四边形是矩形 B．、互相平分
C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，，，分别是边，，，的中点
EF是三角形ABC的中位线
（中位线定理：三角形中位线平行于底边且等于底边的一半）
同理，
(平行公理的推论：平行于同一直线的两条直线平行)
四边形ABCD是平行四边形
根据矩形的判定定理：
A：四边形是矩形，不符合题意；
B：、互相平分，只能证明四边形是平行四边形无法证明是矩形，不符合题意；
C：，对角线相等的四边形，有可能是平行四边形，也可能不是，不符合题意；
D：，可推导出，有一个角是直角的平行四边形是矩形，符合题意。
故答案为：D
【分析】根据已知的中点条件，利用中位线定理先判定出四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理进一步找到充分条件。
8．（2023九上·晋江开学考）已知一元二次方程有一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵ 一元二次方程有一个根为，
∴1-k-3=0，
解之：k=-2.
故答案为：B.
【分析】将x=-1代入方程，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
9．如图是一张矩形纸片，，点为边上一点，且，连接，若将其沿对折，使得点落在边上的点处，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据题意，对折后
故答案为：B
【分析】从问题入手将AD的长分成两部分，根据对折的性质和矩形的性质分别得到这两部分的值，再相加即可。
10．如图，将边长为的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与交于点，那么图中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设M的坐标为（AM，AB）
正方形ABCD旋转30°得到A'B'C'D'
在RtBC'M和RtBAM中，
≌ （HL）
又
即
解得AM=1
M的坐标为
故答案为：B
【分析】根据旋转的性质先得到纵坐标，然后由旋转得到的全等三角形证明得到30°角，30°角所对的直角边等于斜边的一半，结合勾股定理求得M点的横坐标。
11．（2023八下·鄞州期中）如图，菱形ABCD的顶点A；B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（ ）
A．9 B． C．6 D．3
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC、BD互相垂直且平分.
∵点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，直线AC平行x轴，
∴ B（5，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=5，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直且平分，结合点C的横坐标、点D的纵坐标可得B（5，0），A（0，4），然后求出OA、OB的值，再利用勾股定理就可求出AB的长.
12．（2022·赤峰）如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图：连接BE，
，
∵菱形ABCD，
∴B、D关于直线AC对称，
∵直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小
∴根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值．，
∵菱形ABCD，，点，
∴，，
∴
∴△CDB是等边三角形
∴
∵点是的中点，
∴，且BE⊥CD，
∴
故答案为：A．
【分析】连接BE，根据题意可得，B、D关于直线AC对称，直线AC上的动点P到E、D两定点距离之和最小，根据“将军饮马”模型可知BE长度即是PD+PE的最小值，根据菱形的性质求出BE的长即可。
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13．关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，将x=0代入方程
得：
解得
故答案为：-1
【分析】m的值即能让方程等式成立，又要保证一元二次方程存在有意义，故求得的1要舍去。
14．如果，是方程的两个根，那么 ； ．
【答案】；3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：一元二次方程
a=2，b=-3，c=-6
故第一空填：，第二空填：-3
【分析】韦达定理描述了一元二次方程根与系数的关系，对于一般式，有实数根x1、x2，则有、。
15．如图，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，点在射线上不与、重合，过点分别作轴和轴的垂线，垂足为、当矩形的面积为时，点的坐标为 ．
【答案】或或
【知识点】一次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，P在射线BA上且P不与A、B重合，
则
设P的坐标为(x，-2x+3）
x当
整理得：
解得
代入x=1，-2x+3=1
代入x=，-2x+3=2
即P的坐标为(1，1)或（，2）当
整理得：
解得（）
代入，
P的坐标为()
综上，
故答案为： 或或
【分析】一次函数的图象是一条直线，P在射线BA上且P不与A、B重合，说明P点的横坐标要大于0，纵坐标可能在0与3之间，也可能比0小，有了这个定性的认识之后，再定量计算；设出P点坐标，根据面积是1计算出x值，再求y值，对于不大于0的x值要舍去。
16．如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，时好，若，则 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在中， CD是AB边上的中线
(直角三角形中斜边中线等于斜边的一半）
沿折叠得到
，CA=CA'
故答案为：
【分析】根据“直角三角形中斜边中线等于斜边的一半”得到相等的线段，再由等边对等角、折叠得到等角，找到三个相等的角，同时根据已知垂直条件，推出这三个等角的和是90°，至此可以推导出是特殊角30°，根据它的正切函数或勾股定理可以计算出CA'。
17．（2023九下·灌南期中）如图，在矩形中，，，点为边上的动点，连接，过点作，且，连接，则线段长度的最小值为 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图，在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，
又∵BE=BM，
∴∠BME=45°，
∵∠AME+∠BME=180°，∠FNC+∠FNE=180°，
∴∠AME=∠ENF=135°，
∵∠AEB+∠BAE=∠AEB+∠FEN=90°，
∴∠BAE=∠FEN，
又AE=EF，
∴△AME≌△ENF（AAS），
∴AM=EN，
∴AM+BM=EN+BE，即BN=AB=4，
∴CN=BC-BN=2，
∴点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，
由勾股定理得最小值为.
故答案为：.
【分析】在AB上取点M，使BM=BE，连接EM，在CE上取点N，使∠FNC=45°，连接FN，由矩形性质得∠B=90°，CD=AB=4，BC=AD=6，由等腰直角三角形的性质得∠BME=45°，然后由等角的补角相等得∠AME=∠ENF，再由同角的余角相等得∠BAE=∠FEN，从而用AAS判断出△AME≌△ENF，则AM=EN，进而根据线段的和差可得BN=AB=4，CN=2，所以点F在射线NF上运动，当CF⊥NF时，CF最小，最后由勾股定理即可算出答案.
18．（2021·枣庄）如图， ， ，点 在 上，四边形 是矩形，连接 ， 交于点 ，连接 交 于点 ．下列4个判断：① ；② ；③ ；④若点 是线段 的中点，则 为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ．（填序号）
【答案】①③④
【知识点】矩形的性质；三角形的综合
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形，
，
，
（等腰三角形的三线合一），则①符合题意；
，
，
又 ，
是等腰直角三角形，
，
，则②不符合题意；
，
（等腰三角形的三线合一），
在 和 中， ，
，
，
设 ，
，
，
，
，
，则③符合题意；
，
，
点 是线段 的中点，
，
在 和 中， ，
，
，
为等腰三角形，
，
，即 ，
为等腰直角三角形，则④符合题意；
综上，判断正确的是①③④，
故答案为：①③④．
【分析】由矩形得出 ，为直角，再由等腰三角形的三线合一性质可判断①的正误；根据矩形的性质可得，即可判断②的正误；连接BF，由线段的垂直平分线得出BF=DF，证明，得出AF=AB，进而可判断③的正误；由直角三角形的斜边上的中线定理得出AG=OG，进而求得，由矩形性质得出ED=EA，进而得出，在得出，可判断④，由此得出答案。
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．选取最恰当的方法解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
则，
或，
解得，；
（2）解：，
，
，
则或，
解得，
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法
【解析】【分析】 (1) 先观察方程，可以找到公因式，因此可以提取公因式进行因式分解，选用因式分解法解方程；
(2) 先把系数化简再观察各系数，尝试简单验算后就可以用十字相乘法进行因式分解，进一步求出方程的解。
20．已知：如图，边长为的正方形的对角线、交于点，、分别为、上的点，且．
（1）求证：；
（2）M、分别在、延长线上，，求证：四边形与正方形重合部分的面积等于．
【答案】（1）证明：四边形为正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
即；
（2）解：≌，
，
四边形与正方形重合部分的面积等于
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1） 从已知条件入手，正方形的性质可以得到对角线平分且垂直，可以得到一组45°角，已知的一组相等的线段所在的两个三角形，就具备了全等的条件，进而得到对应相等的一组角；等量代换，得到EO和FO的夹角是90度；
（2）在（1）的思路下，全等的两个三角形面积相等，重合部分的面积等同的正方形面积。
21．今年超市以每件元的进价购进一批商品，当商品售价为元时，三月份销售件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到件．
（1）求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．
（2）经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价元，月销量增加件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利元？
【答案】（1）解：设平均增长率为，由题意得：，
解得：或舍；
四、五这两个月的月平均增长百分率为
（2）解：设降价元，由题意得：，
整理得：，
解得：或舍；
当商品降价元时，商场六月份可获利元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）典型的用一元二次方程解决百分率问题，期初到期末连续增长2次，可以用百分率问题的通用公式；
（2）降价后的每件利润月销售数量=月获利，用一元二次方程解决销售问题。
22．已知关于的方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值．
【答案】（1）证明：，
方程为一元二次方程，
，
此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：，
，，
方程的两个实数根都是整数，且是整数，
或．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；整除的意义
【解析】【分析】要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，可以证明判别式大于0；
（2）根据根的公式得到2个根的表达式，根据题中2个根都是整数的条件，可以求出m的值。
23．如图，在菱形中，点、分别是边、上的点，，
接、，延长交线段的延长线于点．
（1）求证：≌；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌
（2）解：四边形为菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；线段的计算
【解析】【分析】（1）从结论入手，要证得两个三角形全等，从菱形的性质可以得到一组对应边、一组对应角相等，根据SAS定理，把问题转化为去求证对应角的另一组对边相等，按照这个思路，结合已知条件中线段的关系式可求，至此整理思路可写出求证过程；
（2）由菱形的性质和已知 的关系可以得到。（审核老师，原答案写得比较复杂，麻烦留意一下，谢谢）
24．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当 时，四边形是矩形．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，
，，
点是中点，
，
≌，
，
四边形是平行四边形
（2）3
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定
【解析】【解答】解：ABCD是菱形，
AD=AB=BC=CD=6
又
AD=AB=BD=6
三角形ABD和三角形BDC是等边三角形
四边形DECF是矩形，
E是底边BC上的中点(等腰三角形三线合一)
故填：3
【分析】（1）根据菱形的性质得到一组边平行，再由平行得到两组角相等，结合已知的一组相等的边，可证得三角形全等，进而证得对应边相等，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定定理可证得；
（2）在（1）的结论下，四边形DECF是平行四边形，如果DEBC，则平行四边形是矩形；故在这垂直的条件下，由菱形和60°角可以找到等边三角形，进一步根据三线合一定理得到BE的长。
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