四川省自贡市二十八中2023-2024学年八年级上学期入学考数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（2023八上·自贡开学考）下列数中，3.14159，，0.121121112…，-π，，，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数；
=-3是有理数；
0.121121112…是无限不循环小数，属于无理数；
-π是无理数；
=是无理数；
是有理数，
综上所述，其中无理数的个数是3个.
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义进行判断即可求解.
2．（2023八上·自贡开学考）为了了解2015年我县九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩，下列说法正确的是（ ）
A．2015年我县九年级学生是总体
B．样本容量是1000
C．1000名九年级学生是总体的一个样本
D．每一名九年级学生是个体
【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、2015年我县九年级学生学业水平考试的数学成绩是总体，A不符合题意；
B、样本容量是1000，B符合题意；
C、1000名九年级学生学业水平考试的数学成绩是总体的一个样本，C不符合题意；
D、 每一名九年级学生学业水平考试的数学成绩是个体，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据总体、样本容量、样本、个体的定义对选项进行逐一判断即可求解.
3．（2023八上·自贡开学考）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x-2＞y-2 B．2x＞2y
C．-3x＜-3y D．-3x+2＞-3y+2
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x-2＞y-2，A不符合题意；
B、∵x＞y，∴2x＞2y，B不符合题意；
C 、∵x＞y，∴-3x＜-3y，C不符合题意；
D、∵x＞y，∴-3x+2＜-3y+2，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质对选项进行逐一判断即可求解.
4．（2020七下·铁东期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A． 与 是对顶角 B． 与 是内错角
C． 与 是同位角 D． 与 是同旁内角
【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】A. 与 不是对顶角，故错误；
B. 与 不是内错角，故错误；
C. 与 不是同位角，故错误；
D. 与 是同旁内角，故正确；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义，同位角的定义，内错角的定义，同旁内角的定义依次判断即可得到答案.
5．（2023八上·自贡开学考）如果点P（m+3，2m+4）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，-2） B．（3，0） C．（1，0） D．（2，0）
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（m+3，2m+4）在x轴上，
∴2m+4=0，
∴m=-2，
∴m+3=1，
∴P（1，0）.
故答案为：C.
【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0，即可求解.
6．（2023八上·自贡开学考）某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件．则列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件，
∵工人有72名，
∴x+y=72，
∵每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，
且仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，
∴，
∴列出二元一次方程组为.
故答案为：B.
【分析】设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件，由总人数可得方程x+y=72，由每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，且仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，可得方程，从而得解.
7．（2023八上·自贡开学考）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1-∠2＝30° D．2∠1-3∠2＝30°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∵折叠，
∴∠2=∠4=∠DCF=∠BAC，∠1=∠3=∠BAE，
∵∠BAC+∠BAE=180°，
∴∠1+∠2=∠BAC+∠BAE=×180°=90°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得∠DCF=∠BAC，由折叠得∠2=∠4=∠DCF=∠BAC，∠1=∠3=∠BAE，再根据平角的定义得∠BAC+∠BAE=180°，即可得答案.
8．（2023八上·自贡开学考）如图所示，S△ABC＝1，若S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，则S△ADE＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵S△BDE＝S△DEC，
∴BD=CD，
∴S△ABD＝S△ACD=S△ABC，
∵S△ABC＝1，S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，
∴S△BDE＝S△ABC＝，S△ABD＝S△ABC=，
∴S△ADE＝S△ABD-S△BDE＝-＝.
故答案为：B.
【分析】已知S△BDE＝S△DEC，依据两个三角形的高相等，从而其底就相等，可得BD=DC，从而有S△ABD＝S△ACD=S△ABC，因为S△ABC＝1，S△BDE＝S△DEC＝S△ACE， 可得S△BDE＝，S△ABD＝，最后根据 S△ADE＝S△ABD-S△BDE即可得出结论.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（2020七下·赤壁期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 .
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为；垂线段最短.
【分析】根据题意可知，利用垂线段的性质：垂线段最短解答即可。
10．（2019七上·南岗期末）把命题“邻补角互补”改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补。
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】根据命题的组成“题设，结论”可直接分解句子，然后用“如果……那么……”表示为：如果两个角是邻补角，那么它们互补.
【分析】先找出命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可.
11．（2023八上·自贡开学考）在平面直角坐标系中，点（-4，1）所在的象限是 ．
【答案】第二象限
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（-4，1）所在的象限是第二象限.
故答案为：第二象限.
【分析】根据点所在象限的坐标符号特征解答即可.
12．（2023八上·自贡开学考）已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A-∠B＝30°，则∠A的度数为 ．
【答案】30°或70°.
【知识点】一元一次方程的其他应用；垂线
【解析】【解答】解：①如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
在四边形ADBC中， ∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠A+∠B+∠ACB+∠ADB=360°，
∴x+2x-30°+90°+90°=360°，
解得：x=70°，
∴∠A=70°；
②如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
∵∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
在△ADE和△BCE中，
∴∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠A=∠B，
∴x=2x-30°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：30°或70°.
【分析】设∠A=x，则∠B=2x-30°，分两种情况：两个角相等和两个互补，列出方程求解即可.
13．（2023八上·自贡开学考）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标是 ．
【答案】（2，0）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点A(-2，3)先向下平移3个单位长度，
再向右平移4个单位长度所得点的坐标为（-2+4，3-3），
即A'（2，0）.
故答案为：（2，0）.
【分析】根据点的坐标平移规律“右移加，左移减，上移加，下移减”即可求解.
14．（2023八上·自贡开学考）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 ．
【答案】-27
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∵方程有非负数解，
∴，
即，
解得：，
不等式组，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有两个偶数解，
∴偶数解为：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此满足题意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
则符合题意的所有整数a的和是：
.
故答案为：-27.
【分析】先求出关于x的方程的解，由方程有非负数解得到a的取值范围，再求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的取值范围，综合两个取值范围得到符合条件的a值，相加即可.
三、解答题（共5小题，满分25分，每小题5分）
15．（2023八上·自贡开学考）计算：．
【答案】解：原式＝2+（-2）-（-1）
＝0-+1
＝1-
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可.
16．（2023八上·自贡开学考）解方程或方程组：
（1）；
（2）（2x-2）2＝64．
【答案】（1）解：①×3，得6x+3y＝6③，
②-③，得2x＝3，
解得x＝，
将x＝代入①，得y＝-1，
∴方程组的解为
（2）解：2x-2＝±8，
解得x1＝5，x2＝-3．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组的方法进行计算即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程的方法步骤进行计算即可.
17．（2023八上·自贡开学考）解一元一次不等式组．
【答案】解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集为-3＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法进行计算即可.
18．（2023八上·自贡开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2）．若三角形ABC中任意一点P（a，b），平移后对应点为P1（a-1，b+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
（1）在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）三角形A1B1C1的面积为 ；
（3）点Q为y轴上一动点，当三角形ACQ的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）7
（3）解：设点Q的纵坐标为m，
则|2-m|×2＝3，
解得m＝-1或m＝5，
∴Q（0，-1）或（0，5）．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）.
故答案为：7.
【分析】（1）由点P（a，b）平移后对应点为P1（a-1，b+3），可得三角形的平移方式是向左移1个单位，再向上平移3个单位，找出三角形的每个对应点即可求解；
（2）根据框矩割补法即可求解；
（3）设点Q的纵坐标为m，根据三角形ACQ的面积可得|2-m|×2＝3，求出m的值即可得出结果.
19．（2023八上·自贡开学考）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．
求证：∠1＝∠2．
在下列解答中，填空：
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥ ▲ （ ）．
∴∠PBC＝ ▲ （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC- ▲ ，∠2＝∠BCD- ▲ ，
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【答案】解：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（ CQ ）（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠PBC＝（ ∠BCQ ）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC-（ ∠PBC ），∠2＝∠BCD-（ ∠BCQ ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.
四、解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
20．（2023八上·自贡开学考）已知的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
【答案】解：∵的平方根是±4，
∴2a-1＝9，3a-b+1＝16，
∴a＝5，b＝0，
∵c是的整数部分，16＜23＜25，即，
∴c＝4，
∴a+b+2c＝5+0+8＝13，
∴a+b+2c的平方根为．
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；代数式求值
【解析】【分析】依据算术平方根及平方根的定义，即可解得a，b的值，由无理数的估算即可求得c的值，从而得出代数式的值，最后根据平方根的定义即可求解.
21．（2023八上·自贡开学考）为了解杭州市某校七年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表：
频数分布表
身高分组 频数 百分比
x＜155 5 10%
155≤x＜160 a 20%
160≤x＜165 15 30%
165≤x＜170 14 28%
x≥170 6 b
总计 100%
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校七年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？
【答案】（1）10；12%
（2）解：由（1）知：a＝10，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）解：600×（28%+12%）＝240（人），
即估计身高不低于165cm的学生大约有240人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由图得x＜155组的频数是5，百分比是10%，
∴学生人数是：5÷10%=50（人），
∴a=50×20%=10（人），
b=1-10%-20%-30%-28%=12%.
故答案为：10；12%.
【分析】（1）由图知x<155这一组的频数和所占的百分比，从而计算出抽取的学生人数，即可求解；
（2）根据（1）中所求a的值，即可求解；
( 3 )根据频数分布表中身高不低于165cm的学生的人数占的百分比，可以计算出身高不低于165cm的学生大约有多少人.
22．（2021七下·海淀期中）已知：如图， ∥ ， 和 交于点O，E为 上一点，F为 上一点，且 ．求证： ．
【答案】解：∵ ∥ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ∥ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠D，利用同角的补角相等得出，根据同位角相等两直线平行，可得，由等量代换即得∠EFC=∠A.
五、解答题（共2小题，满分15分）
23．（2023八上·自贡开学考）某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，求有哪几种购买方案？哪种方案获利最大？最大利润为多少元？
【答案】（1）解：依题意，得：
，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
设超市获得的利润为y元，则y＝（16-10）x+（18-14）（100-x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，列出方程组，解方程组即可得答案；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，根据购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，列出不等式组，解不等组得到x的取值范围，由x为正整数得到共有3种购买方案，设超市获得的利润为y元，根据题意得y＝2x+400，而y随x的增大而增大， 把x=60代入即可得答案.
24．（2023八上·自贡开学考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，请直接写出∠1＝ °，∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．
（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（120-n）；（90+n）
（2）解：∵∠2恰好是∠1的倍，
∴，
解得，
∴n的值是；
（3）解：存在BM∥QN，理由如下：
如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°，
∵BM∥QN，
∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF-∠FBM，
∴3t＝60-2t，
解得t＝12；
如图：
∵BM∥QN，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴2t-60＝180-3t，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平角的定义得∠ABE=120°-n°，根据平行线的性质得到∠1=120°-n°，由平行线的性质得∠BCD=n°，再求出∠ACD=90°-n°，最后根据邻补角互补求出∠2的度数即可；
（2）利用已知条件∠2恰好是∠1的倍，可列出方程，解方程求解即可；
（3）依据∠AQN=∠ABM画出图形，分两种情况，列出方程，然后解方程求出答案即可.
1 / 1四川省自贡市二十八中2023-2024学年八年级上学期入学考数学试卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（2023八上·自贡开学考）下列数中，3.14159，，0.121121112…，-π，，，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023八上·自贡开学考）为了了解2015年我县九年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了1000名学生的数学成绩，下列说法正确的是（ ）
A．2015年我县九年级学生是总体
B．样本容量是1000
C．1000名九年级学生是总体的一个样本
D．每一名九年级学生是个体
3．（2023八上·自贡开学考）已知x＞y，则下列不等式不成立的是（ ）
A．x-2＞y-2 B．2x＞2y
C．-3x＜-3y D．-3x+2＞-3y+2
4．（2020七下·铁东期中）如图，下列说法正确的是（ ）
A． 与 是对顶角 B． 与 是内错角
C． 与 是同位角 D． 与 是同旁内角
5．（2023八上·自贡开学考）如果点P（m+3，2m+4）在x轴上，那么点P的坐标是（ ）
A．（0，-2） B．（3，0） C．（1，0） D．（2，0）
6．（2023八上·自贡开学考）某种仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，现有工人72名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件．则列出二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023八上·自贡开学考）如图，将一张长方形纸条折叠，若边AB∥CD，则翻折角∠1与∠2一定满足的关系是（ ）
A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90°
C．∠1-∠2＝30° D．2∠1-3∠2＝30°
8．（2023八上·自贡开学考）如图所示，S△ABC＝1，若S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，则S△ADE＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（2020七下·赤壁期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是 .
10．（2019七上·南岗期末）把命题“邻补角互补”改写成“如果…，那么…”的形式 ．
11．（2023八上·自贡开学考）在平面直角坐标系中，点（-4，1）所在的象限是 ．
12．（2023八上·自贡开学考）已知∠A与∠B的两边互相垂直，且2∠A-∠B＝30°，则∠A的度数为 ．
13．（2023八上·自贡开学考）在平面直角坐标系中，将点A（-2，3）先向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点A'，则点A'的坐标是 ．
14．（2023八上·自贡开学考）若数a使关于x的方程有非负数解，且关于y的不等式恰好有两个偶数解，则符合条件的所有整数a的和是 ．
三、解答题（共5小题，满分25分，每小题5分）
15．（2023八上·自贡开学考）计算：．
16．（2023八上·自贡开学考）解方程或方程组：
（1）；
（2）（2x-2）2＝64．
17．（2023八上·自贡开学考）解一元一次不等式组．
18．（2023八上·自贡开学考）如图，在平面直角坐标系xOy中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为（-2，-2），（3，1），（0，2）．若三角形ABC中任意一点P（a，b），平移后对应点为P1（a-1，b+3），将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1．
（1）在图中画出平移后的三角形A1B1C1；
（2）三角形A1B1C1的面积为 ；
（3）点Q为y轴上一动点，当三角形ACQ的面积是3时，直接写出点Q的坐标．
19．（2023八上·自贡开学考）如图，∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．
求证：∠1＝∠2．
在下列解答中，填空：
证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（ ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ ）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥ ▲ （ ）．
∴∠PBC＝ ▲ （两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC- ▲ ，∠2＝∠BCD- ▲ ，
∴∠1＝∠2（等量代换）．
四、解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
20．（2023八上·自贡开学考）已知的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．
21．（2023八上·自贡开学考）为了解杭州市某校七年级学生的身高情况，随机抽取部分学生的身高进行调查，利用所得数据绘成如图统计图表：
频数分布表
身高分组 频数 百分比
x＜155 5 10%
155≤x＜160 a 20%
160≤x＜165 15 30%
165≤x＜170 14 28%
x≥170 6 b
总计 100%
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）该校七年级共有600名学生，估计身高不低于165cm的学生大约有多少人？
22．（2021七下·海淀期中）已知：如图， ∥ ， 和 交于点O，E为 上一点，F为 上一点，且 ．求证： ．
五、解答题（共2小题，满分15分）
23．（2023八上·自贡开学考）某生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，求m，n的值；
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，求有哪几种购买方案？哪种方案获利最大？最大利润为多少元？
24．（2023八上·自贡开学考）如图1，把一块含30°的直角三角板ABC的BC边放置于长方形直尺DEFG的EF边上．
（1）如图2，现把三角板绕B点逆时针旋转n°，当0＜n＜90，且点C恰好落在DG边上时，请直接写出∠1＝ °，∠2＝ °（结果用含n的代数式表示）；
（2）在（1）的条件下，若∠2恰好是∠1的倍，求n的值．
（3）如图1三角板ABC的放置，现将射线BF绕点B以每秒2°的转速逆时针旋转得到射线BM，同时射线QA绕点Q以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线QN，当射线QN旋转至与QB重合时，则射线BM、QN均停止转动，设旋转时间为t（s）．在旋转过程中，是否存在BM∥QN若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：3.14159是有限小数，属于有理数；
=-3是有理数；
0.121121112…是无限不循环小数，属于无理数；
-π是无理数；
=是无理数；
是有理数，
综上所述，其中无理数的个数是3个.
故答案为：C.
【分析】根据无理数的定义进行判断即可求解.
2．【答案】B
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：A、2015年我县九年级学生学业水平考试的数学成绩是总体，A不符合题意；
B、样本容量是1000，B符合题意；
C、1000名九年级学生学业水平考试的数学成绩是总体的一个样本，C不符合题意；
D、 每一名九年级学生学业水平考试的数学成绩是个体，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据总体、样本容量、样本、个体的定义对选项进行逐一判断即可求解.
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵x＞y，∴x-2＞y-2，A不符合题意；
B、∵x＞y，∴2x＞2y，B不符合题意；
C 、∵x＞y，∴-3x＜-3y，C不符合题意；
D、∵x＞y，∴-3x+2＜-3y+2，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据不等式的基本性质对选项进行逐一判断即可求解.
4．【答案】D
【知识点】对顶角及其性质；同位角；内错角；同旁内角
【解析】【解答】A. 与 不是对顶角，故错误；
B. 与 不是内错角，故错误；
C. 与 不是同位角，故错误；
D. 与 是同旁内角，故正确；
故答案为：D.
【分析】根据对顶角的定义，同位角的定义，内错角的定义，同旁内角的定义依次判断即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P（m+3，2m+4）在x轴上，
∴2m+4=0，
∴m=-2，
∴m+3=1，
∴P（1，0）.
故答案为：C.
【分析】根据x轴上的点的纵坐标等于0，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解：设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件，
∵工人有72名，
∴x+y=72，
∵每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，
且仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，
∴，
∴列出二元一次方程组为.
故答案为：B.
【分析】设安排x个人生产A部件，安排y个人生产B部件，由总人数可得方程x+y=72，由每个工人每天可以加工A部件50个或者加工B部件60个，且仪器由1个A部件和2个B部件配套构成，可得方程，从而得解.
7．【答案】B
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠BAC，
∵折叠，
∴∠2=∠4=∠DCF=∠BAC，∠1=∠3=∠BAE，
∵∠BAC+∠BAE=180°，
∴∠1+∠2=∠BAC+∠BAE=×180°=90°.
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质得∠DCF=∠BAC，由折叠得∠2=∠4=∠DCF=∠BAC，∠1=∠3=∠BAE，再根据平角的定义得∠BAC+∠BAE=180°，即可得答案.
8．【答案】B
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解：∵S△BDE＝S△DEC，
∴BD=CD，
∴S△ABD＝S△ACD=S△ABC，
∵S△ABC＝1，S△BDE＝S△DEC＝S△ACE，
∴S△BDE＝S△ABC＝，S△ABD＝S△ABC=，
∴S△ADE＝S△ABD-S△BDE＝-＝.
故答案为：B.
【分析】已知S△BDE＝S△DEC，依据两个三角形的高相等，从而其底就相等，可得BD=DC，从而有S△ABD＝S△ACD=S△ABC，因为S△ABC＝1，S△BDE＝S△DEC＝S△ACE， 可得S△BDE＝，S△ABD＝，最后根据 S△ADE＝S△ABD-S△BDE即可得出结论.
9．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为；垂线段最短.
【分析】根据题意可知，利用垂线段的性质：垂线段最短解答即可。
10．【答案】如果两个角是邻补角，那么它们互补。
【知识点】定义、命题及定理的概念
【解析】【解答】根据命题的组成“题设，结论”可直接分解句子，然后用“如果……那么……”表示为：如果两个角是邻补角，那么它们互补.
【分析】先找出命题的题设和结论，如果后面是题设，那么后面是结论，据此解答即可.
11．【答案】第二象限
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点（-4，1）所在的象限是第二象限.
故答案为：第二象限.
【分析】根据点所在象限的坐标符号特征解答即可.
12．【答案】30°或70°.
【知识点】一元一次方程的其他应用；垂线
【解析】【解答】解：①如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
在四边形ADBC中， ∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠A+∠B+∠ACB+∠ADB=360°，
∴x+2x-30°+90°+90°=360°，
解得：x=70°，
∴∠A=70°；
②如图，
∵2∠A-∠B＝30°，
∴设∠A=x，则∠B=2x-30°，
∵∠A与∠B的两边互相垂直，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
在△ADE和△BCE中，
∴∠ADE=∠BCE，∠AED=∠BEC，
∴∠A=∠B，
∴x=2x-30°，
解得：x=30°，
∴∠A=30°.
故答案为：30°或70°.
【分析】设∠A=x，则∠B=2x-30°，分两种情况：两个角相等和两个互补，列出方程求解即可.
13．【答案】（2，0）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：点A(-2，3)先向下平移3个单位长度，
再向右平移4个单位长度所得点的坐标为（-2+4，3-3），
即A'（2，0）.
故答案为：（2，0）.
【分析】根据点的坐标平移规律“右移加，左移减，上移加，下移减”即可求解.
14．【答案】-27
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：，
∵方程有非负数解，
∴，
即，
解得：，
不等式组，
由①得， ，
，
，
由②得，，
，
∴，
∵不等式恰好有两个偶数解，
∴偶数解为：2，0，
∴，
解得：，
∴，
因此满足题意的a值有：-7，-6，-5，-4，-3，-2，
则符合题意的所有整数a的和是：
.
故答案为：-27.
【分析】先求出关于x的方程的解，由方程有非负数解得到a的取值范围，再求出不等式组的解集，由不等式组恰好有两个偶数解，得到a的取值范围，综合两个取值范围得到符合条件的a值，相加即可.
15．【答案】解：原式＝2+（-2）-（-1）
＝0-+1
＝1-
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】根据实数的运算法则进行计算即可.
16．【答案】（1）解：①×3，得6x+3y＝6③，
②-③，得2x＝3，
解得x＝，
将x＝代入①，得y＝-1，
∴方程组的解为
（2）解：2x-2＝±8，
解得x1＝5，x2＝-3．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据加减消元法解方程组的方法进行计算即可；
（2）根据直接开平方法解一元二次方程的方法步骤进行计算即可.
17．【答案】解：，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x＞-3，
∴不等式组的解集为-3＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据一元一次不等式组的解法进行计算即可.
18．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）7
（3）解：设点Q的纵坐标为m，
则|2-m|×2＝3，
解得m＝-1或m＝5，
∴Q（0，-1）或（0，5）．
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（2）.
故答案为：7.
【分析】（1）由点P（a，b）平移后对应点为P1（a-1，b+3），可得三角形的平移方式是向左移1个单位，再向上平移3个单位，找出三角形的每个对应点即可求解；
（2）根据框矩割补法即可求解；
（3）设点Q的纵坐标为m，根据三角形ACQ的面积可得|2-m|×2＝3，求出m的值即可得出结果.
19．【答案】解：证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°（已知），
∴AB∥DE（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
∴∠ABC＝∠BCD（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠P＝∠Q（已知），
∴PB∥（ CQ ）（ 内错角相等，两直线平行 ）．
∴∠PBC＝（ ∠BCQ ）（两直线平行，内错角相等）．
∵∠1＝∠ABC-（ ∠PBC ），∠2＝∠BCD-（ ∠BCQ ），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明过程.
20．【答案】解：∵的平方根是±4，
∴2a-1＝9，3a-b+1＝16，
∴a＝5，b＝0，
∵c是的整数部分，16＜23＜25，即，
∴c＝4，
∴a+b+2c＝5+0+8＝13，
∴a+b+2c的平方根为．
【知识点】平方根；算术平方根；无理数的估值；代数式求值
【解析】【分析】依据算术平方根及平方根的定义，即可解得a，b的值，由无理数的估算即可求得c的值，从而得出代数式的值，最后根据平方根的定义即可求解.
21．【答案】（1）10；12%
（2）解：由（1）知：a＝10，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）解：600×（28%+12%）＝240（人），
即估计身高不低于165cm的学生大约有240人．
【知识点】利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：（1）由图得x＜155组的频数是5，百分比是10%，
∴学生人数是：5÷10%=50（人），
∴a=50×20%=10（人），
b=1-10%-20%-30%-28%=12%.
故答案为：10；12%.
【分析】（1）由图知x<155这一组的频数和所占的百分比，从而计算出抽取的学生人数，即可求解；
（2）根据（1）中所求a的值，即可求解；
( 3 )根据频数分布表中身高不低于165cm的学生的人数占的百分比，可以计算出身高不低于165cm的学生大约有多少人.
22．【答案】解：∵ ∥ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ∥ ．
∴ ．
∴ ．
【知识点】余角、补角及其性质；平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠D，利用同角的补角相等得出，根据同位角相等两直线平行，可得，由等量代换即得∠EFC=∠A.
23．【答案】（1）解：依题意，得：
，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）解：设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，
方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；
方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；
方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
设超市获得的利润为y元，则y＝（16-10）x+（18-14）（100-x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）根据甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元，列出方程组，解方程组即可得答案；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100-x）千克，根据购买甲种蔬菜不多于60千克，投入资金不超过1168元，列出不等式组，解不等组得到x的取值范围，由x为正整数得到共有3种购买方案，设超市获得的利润为y元，根据题意得y＝2x+400，而y随x的增大而增大， 把x=60代入即可得答案.
24．【答案】（1）（120-n）；（90+n）
（2）解：∵∠2恰好是∠1的倍，
∴，
解得，
∴n的值是；
（3）解：存在BM∥QN，理由如下：
如图：则∠FBM＝（2t）°，∠AQN＝（3t）°，
∵BM∥QN，
∴∠AQN＝∠ABM＝∠ABF-∠FBM，
∴3t＝60-2t，
解得t＝12；
如图：
∵BM∥QN，
∴∠ABM＝∠BQN，
∴2t-60＝180-3t，
解得t＝48，
综上所述，t的值为12或48．
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质
【解析】【分析】（1）由平角的定义得∠ABE=120°-n°，根据平行线的性质得到∠1=120°-n°，由平行线的性质得∠BCD=n°，再求出∠ACD=90°-n°，最后根据邻补角互补求出∠2的度数即可；
（2）利用已知条件∠2恰好是∠1的倍，可列出方程，解方程求解即可；
（3）依据∠AQN=∠ABM画出图形，分两种情况，列出方程，然后解方程求出答案即可.
1 / 1
