阿克苏市实验中学2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合，则集合的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
3．不等式的解集为（ ）
A． B． C．，或 D．，或
4．若，，，则有（ ）
A． B． C． D．
5．已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．17 B．16 C．15 D．14
函数f（x）＝·2x的图象大致形状是（ ）A． B． C． D．
7．草莓中有多种氨基酸、微量元素、维生素，能够调节免疫功能，增强机体免疫力．草莓味甘、性凉，有润肺生津，健脾养胃等功效，受到众人的喜爱．根据草莓单果的重量，可将其从小到大依次分为4个等级，其等级x与其对应等级的市场销售单价y（单位：元/千克）近似满足函数关系式，若花同样的钱买到的1级草莓比4级草莓多1倍，且1级草莓的市场销售单价为20元/千克，则3级草莓的市场销售单价最接近（参考数据：，）（ ）
A．30.24元/千克 B．31.75元/千克 C．38.16元/千克 D．42.64元/千克
8．已知，若，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知集合，则下列式子表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．若幂函数的图像经过点，则下列命题中，正确的有（ ）
A．函数为奇函数 B．函数为偶函数
C．函数在为减函数 D．函数在为增函数
11．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点0 B．
C．在上单调递增 D．在上单调递减
12．函数的定义域为，其图象如图所示.函数是定义域为的偶函数，满足，且当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．；
B．不等式的解集为；
C．函数的单调递增区间为，； D．对于.
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．函数，则定义域是 ．
14．函数的零点个数为 .
15．已知函数，若，则 .
16．已知函数，则 .
四、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）已知函数,且.
(1)求的值;
(2)判定的奇偶性.
18．（本小题满分12分）已知奇函数
(1)求的值；
(2) 若函数在区间上单调递增，试确定a的取值范围.
19．（本小题满分12分）已知函数且，且的图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
20．（本小题满分12分）已知函数．
(1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标；
(2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点．
21．（本小题满分12分）定义在上的偶函数，当时，．
(1)求函数在上的表达式，并在图中的直角坐标系中画出函数的大致图象；
(2)若有四个零点，求实数m的取值范围．
22．（本小题满分12分）已知二次函数，且不等式的解集为.
(1)求解析式；
(2)若不等式在上有解，求实数的取值范围.阿克苏市实验中学2023-2024学年高三上学期期中考试
参考答案：
1．C
【分析】先化简集合A，再求得其子集即可
【详解】由已知可得，其子集为，子集个数为4个
故选：C.
2．B
【分析】根据充分性和必要性的概念直接求解即可.
【详解】因为，，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．B
【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.
【详解】不等式可化为，解得.
故选：B.
4．B
【分析】由指数和对数函数的性质，利用中间值确定a，b，c的范围，即可求解．
【详解】指数函数在R上为减函数，则，即，
对数函数在上为增函数，则，
对数函数在上为增函数，则．因此.
故选：B．
5．A
【分析】先配凑，然后运用基本不等式求出最小值
【详解】，
当且仅当，即，时，取得最小值.
故选：.
6．B
【分析】利用函数的单调性、值域排除选项可得到结果．
【详解】由函数，
可得函数在上单调递增，且此时函数值大于1；
在上单调递减，且此时函数值大于－1且小于零，
结合所给的选项，只有B项满足条件，
故选：B．
7．B
【分析】根据题意，由指数的运算性质，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，，解得，由，
可得，
故选：B．
8．B
【分析】利用零点存在性定理求解即可.
【详解】由已知得函数连续且单调递增，
因为，，
所以，
由零点存在性定理可知存在使得，
故选：.
9．ACD
【分析】先求得集合，然后根据元素与集合的关系，集合与集合的关系求得正确答案.
【详解】由题意可知，，所以，，.，ACD选项正确.
B选项，是集合，不是元素，所以不能用“”，B选项错误.
故选：ACD
10．AC
【分析】先根据幂函数图像经过点，求出函数解析式，然后利用幂函数的基本性质即可求解.
【详解】因为是幂函数，所以设，
又的图像经过点，所以，所以，即，
所以函数为奇函数，且在为减函数，故AC正确，BD错误；
故选：AC.
11．BC
【分析】根据分段函数解析式，结合对数函数性质判断单调性和零点．
【详解】由函数，可得有两个零点0、1，故A错误；
由于，故B正确；
当时，所以在上单调递增，故C正确；
当时，所以在上单调递减，上单调递增，故D错误．
故选：BC．
12．AC
【分析】由可知是周期为2的周期函数，又当时，，由此作出函数大致图象，利用数形结合依次判断可得答案.
【详解】满足，可知函数是周期为2的周期函数，
又函数是R上的偶函数，所以，
且当时，，作出大致图象如图所示，
由图可知，故A正确；
不等式的解集为，故B错误；
函数的单调递增区间为，，故C正确；
若对于，则是的对称轴，由图象可知不是的对称轴，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：在做题时，利用函数的性质作出函数的图象是解题的关键.
13．
【分析】根据解析式列出不等式组求解即可.
【详解】由可得，
，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为： .
14．
【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果.
【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数，
即函数与的交点个数，
作出函数与的图象如下图所示，
由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，
函数的零点个数为.
故答案为：.
15．2
【分析】得出即可
【详解】因为
所以
即，因为，所以
故答案为：2
【点睛】若是奇函数，则的图象关于对称，满足.
16．
【分析】根据解析式可推导得到，进而求得结果.
【详解】，.
故答案为：.
17．(1)1
(2)奇函数
【分析】(1)根据,待定系数即可求得参数值;
(2)根据函数奇偶性的定义,结合函数定义域,即可容易判断.
【详解】（1）,
.
（2）由(1)得:,
则定义域为,
,
为定义在上的奇函数.
18．(1)
(2)答案见详解
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质结合已知条件求出时的函数解析式，从而可求出的值，进而可求出的值，
（2）先画出的图象，再利用奇函数的性质画出的图象即可，
（3）结合函数图象求解
【详解】（1）当时，，
因为是奇函数，所以，
所以.故.
（2）图象如下图即为所求：
（3）由图象可知，则有，
解得或.
即实数a的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】(1)由，求得，从而可得答案；
（2）根据在R上单调递增，可得，进而可得答案.
【详解】（1）的图象过点，
，
又
（2）在R上单调递增
.
20．(1)恒过定点，坐标
(2)证明见解析
【分析】（1）求出的解析式，结合对数函数的性质即可求得答案；
（2）求出a的值，即得的解析式，根据零点存在定理即可证明结论.
【详解】（1）由题意知函数，故，
令，
即函数恒过定点，该点坐标为；
（2）证明：由题意，
当时，
即，
则，又，
故函数在区间上有零点．
21．(1)，图象见解析
(2)值域为，单调减区间为，单调增区间为
(3)
【分析】（1）令，则，代入已知函数解析式，结合函数的奇偶性即可得解，再根据二次函数的图象作出函数图象即可；
（2）根据函数图象写出值域和单调区间即可；
（3）有四个零点，即函数两个函数的图象有四个交点，根据函数图象即可得解.
【详解】（1）因为定义在上的偶函数，当时，，
则，
令，则，
则，
所以，
作出函数图象，如图所示：
（2）由图可知，函数的值域为，
单调减区间为，单调增区间为；
（3）令，则，
若有四个零点，
则函数两个函数的图象有四个交点，
由图可知.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求得，即得答案.
（2）不等式在上有解，即在上的最大值，采用换元法结合基本不等式求得的最大值，即得答案.
【详解】（1）由题意知的解集为，
故方程的两个根是1和3，
故，即，
故.
（2）由题意在上有解，即在上有解，
∵，∴在上的最大值，
设，则，则
又，当且仅当即时，等号成立，
∴，即实数的取值范围为.
