江苏省淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测数学试题（含答案）

淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若为纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．2
3．“”是“函数为奇函数”的（ ）
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，丹线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，现有如下四个命题：
甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；
乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到：
丙：该函数在区间上单调递增；
丁：该函数满足．
如果只有一个假命题，那么该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．已知奇涵数的图象关于直线对称，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若不等式的解集为，则函数的极小值是（ ）
A． B．0 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A． B． C．平面 D．平面
10．设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列满足，则（ ）
A． B．数列为递增数列
C． D．
12．已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数恒有1个极值点
B．当时，曲线恒在曲线上方
C．若函数有2个零点，则
D．若过点存在2条直线与曲线相切，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，若与共线，则____________．
14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：____________．
①；②．
15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为满足．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在．现有一杯的热水用来冲咖啡，经测量室温为，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保留整数）（参考数据：）
16．在平面四边形中，，将四边形沿折起，使，则四面体的外接球的表面积为____________；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知函数．
（1）求的最大值及相应的取值集合：
（2）设函数，若在区间上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
18．（12分）在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角：
（2）已知是边的中点，且，求的长．
19．（12分）已知数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，；
（3）设为整数，若对于成立，求的最小值．
21．（12分）如图，是半球的直行，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．
（1）证明：平面：
（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设为两个不相等的实数，且，证明：．
淮安、南通部分学校2023-2024学年高三上学期11月期中监测
数学参考答案及评分建议
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A C B A C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
题号 9 10 11 12
答案 BC BD ACD BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．（答案不唯一） 15．5 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．
17．【解】（1），
当，即时，，
此时，的取值集合为．
（2）．
设，因为，所以，
因为在区间上有且仅有1个极值点，
所以，
解得．
18．【解】（1）因为，
由正弦定理得，
所以，
因为，所以可知，
又因为，所以．
（2）因为是边的中点，所以，
故，故．
由余弦定理得，故，
因为，所以．
又因为，
平方得，
所以，
故的长为．
19．【解】（1）法一：因为，
所以，
所以，
所以是常数列，
所以，
所以．
法二：因为
所以，①
所以，②
②-①，得，
所以，
所以是等差数列，
由得，
所以等差数列的公差，
所以．
（2）．
当为偶数时，
．
当为奇数时，．
所以（或）
20．【解】（1）导函数，又，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）当时，．
令，解得．
列表如下：
1
- 0 +
极小值
所以当时，取最小值，
所以．
（3）由（2）可知，，当且仅当时，等号成立，
所以，
，
所以．
当时，
．
所以对于任意成立时，整数的最小值为3．
21．【解】（1）连接，
因为是底面半圆弧上的两个三等分点，
所以有，又因为，
所以都为正三角形，
所以，
四边形是菱形，
记与的交点为，
为和的中点，
因为，
所以三角形为正三角形，
所以，所以，
因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，
因为，所以平面．
（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，
由（1）知为的中点，为正三角形，所以，
所以底面，
因为四边形是菱形，所以，
即两两互相垂直，
以为正交基底建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则所以
取，则
设直线与平面的所成角为，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．【解】（1）的定义域为．
由得，，
当时，；当时，；当时，．
故的递增区间为，递减区间为．
（2）将变形为．
令，则上式变为，
即有，
于是命题转换为证明：．
不妨设，由（1）知．
要证，
即证，
由于在上单调递减，故即证，
由于，故即证，
即证在上恒成立．
令，
则，
，
所以在区间内单调递增，
所以，即成立．
所以．