4.6 角（第1课时）课件（共48张PPT）-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

4.6 角
第1课时 角的概念、比较与运算
数学（华东师大版）
七年级 上册
第4章 图形的初步认识
学习目标
1.理解角的概念，掌握角的表示方法；
2.会正确使用量角器，认识角的常用度量单位；
3.会进行度、分、秒的简单换算；
4.会比较角的大小，能估计一个角的大小；
5.会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题．
　
导入新课
问题 你能不能从图中找到角？
讲授新课
知识点一 角的概念与表示方法
(1)你能指出所画角的边和顶点吗？
(2)角的两边是前面学过的什么图形，它们的位置关系如何？
(3)你能描述一下怎样的几何图形叫做角吗？
A
B
O
D
C
E
讲授新课
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
两条射线是这个角的两条边.
两条射线的公共端点是这个角的顶点
总结归纳
讲授新课
(1)表示角的几何符号是什么？
(2)表示一个角有几种方法？
(3)用三个大写字母表示一个角应注意什么？
(4)什么情况下可以用角的顶点表示这个角？
(5)用希腊字母和阿拉伯数字表示一个角应注意什么？
合作探究
1
讲授新课
角的表示方法
(1)用三个大写字母表示角：三个大写字母应分别为顶点、两条边上的任意的点，顶点的字母必须写在中间．
(3)用一个希腊字母(数字)表示角：在角的内部靠近角的顶点处画一弧线，写上一个希腊字母(数字)，如α，β，γ(1，2，3)等，记作∠α(∠1)，读作角α(角1).
(2)用一个大写字母表示角：要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用一个大写字母表示.
讲授新课
典例精析
【例1】下列说法中正确的是( )
A.两条射线所组成的图形叫做角
B.有公共点的两条射线叫做角
C.一条射线绕着它的端点旋转叫做角
D.一条射线绕着它的端点旋转所成的图形叫做角
D
讲授新课
练一练
1.判断下列哪些图形是角
( ) ( ) ( ) ( )
√
×
√
√
讲授新课
知识点二 角的度量单位与计算
A
O
B
A
O
(B)
射线 OA绕点O旋转180度后，终边OB和始边 OA 成一直线时，所成的角叫平角；
射线 OA绕点O 旋转360度后，回到原来的位置时，所成的角叫做周角.
讲授新课
度、分、秒是常用的角的度量单位，它们之间是60 进制的.
把周角等分成360份，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角等分成60份，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角等分成60份，每一份就是1秒的角﹐记作1".
1周角＝360°
1平角＝180°
1°＝ 60′
1′＝ 60″
讲授新课
角的度量：最常用的度量角的工具是量角器.
① 对中（顶点对中心）；
② 重合（一边与量角器的零刻度线重合）；
③读数（读出另一边所在线的度数）.
讲授新课
常见的角的分类：
锐角：大于0°，小于90°的角；
直角：等于90°的角；
钝角：大于90°，小于180°的角；
讲授新课
典例精析
【例2】（1）把18°15′化成用度表示的角；
（2）把93.2°化成用度、分、秒表示的角.
解：（1）先把15′化成度，即
所以 18°15′＝18.25′
（2）因为1°＝60′，
所以 0.2°＝60′×0.2＝12′
因此 93.2°＝93°12′
讲授新课
练一练
1、计算下列各题：
(1)153°39′＋25°40′38″；　(2)90°－37°24′38″；
(3)25°53′28″×5; (4)15°20′÷6.
解：(1)153°39′＋25°40′38″
＝178°79′38″＝179°19′38″.
(3)25°53′28″×5
＝25°×5＋53′×5＋28″×5
＝125°＋265′＋140″＝129°27′20″.
(2)90°－37°24′38″
＝89°59′60″－37°24′38″＝52°35′22″.
讲授新课
总结：在进行度、分、秒的加、减、乘、除运算时，要注意三点：①度、分、秒均是60进制的；②加、减法的运算，可以本着“度与度加减、分与分加减、秒与秒加减，不够减的时候借位”的原则；③乘、除法运算可以按分配律来进行，不够除可以把余数化为低位的再除．
解： (4)15°20′÷6
＝12°200′÷6＝12°÷6＋200′÷6
＝2°＋198′÷6＋2′÷6
＝2°＋33′＋120″÷6
＝2°33′20″.
讲授新课
知识点三 方位角
东
南
西
北
东南
西南
西北
东北
轮船、飞机等物体运动的方向与正北方向之间的夹角称为方位角，领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定.
常常以正南、正北方向为基准，描述物体的运动方向.
讲授新课
典例精析
25°
O
A
【例3】如图，OA是表示北偏东30°方向的一条射线，仿照这条射线，画出表示下列方向的角：
（1）南偏东25°；　　　（2）北偏西60°
东
南
西
北
30°
60°
解：如图所示
讲授新课
练一练
1. 根据所示图填空：
（1）正东和正西方向所成的角______度；
（2）正南和西南方向所成的角______度；
（3）东北和西北方向所成的角______度；
（4）正西和东南方向所成的角______度.
180
45
90
135
讲授新课
知识点四 比较角的大小
问题 类比线段长短的比较方法，你认为该如何比较两个角的大小？
结论：
角的大小比较：度量法、叠合法
讲授新课
叠合法结论
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
O
B
A
O'
C
D
1.若射线O'C与射线OB重合，那么∠DO'C___∠AOB.
2.若射线O'C在∠AOB外部，那么∠DO'C___∠AOB.
3.若射线O'C在∠AOB内部，那么∠DO'C___∠AOB.
=
>
<
O'
C
D
讲授新课
1.角的大小与两边画出部分的长短是否相关？
2.一个300的角用能放大3倍的放大镜观看，看到的角度有何变化？
议一议
角的大小与两边画出部分的长短无关.
不变.
讲授新课
45°
45°
30°
60°
一副三角尺上的角是一些常用的角，除了可以用它们直接画出30°、45°、60°和90°的角之外，还可以画出其他一些特殊的角.
讲授新课
75°
15°
讲授新课
做一做
如图，∠AOB为已知角，试按下列步骤用圆规和直尺准确地画一个角等于∠AOB.
A
O
B
讲授新课
A
O
B
O′
A′
（1）首先作射线O′A′；
作法：
（2）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
C
D
讲授新课
A
O
B
O′
A′
C
D
（3）以点O′为圆心、OC的长为半径画弧﹐交O′A′于点C′ ；
（4）以点C′为圆心、CD的长为半径画弧﹐交前一条弧于点D′ ;
C′
D′
（5）经过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′就是所要画的角.
B′
作法：
讲授新课
典例精析
【例4】把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7
= 51°+180′÷7
≈ 51°26′.
答：每份是51°26′的角.
有余数，可以把度的余数化成分后再除
讲授新课
练一练
1、如图，点A、O、E在一条直线上，∠AOC=90°，∠BOD =90°， 解答下列问题：
（1）比较∠AOB、∠AOC、∠AOD、∠AOE的大小．
（2）找出图中的直角、锐角和钝角．
解：（1）由右图可以看出： ∠ AOB < ∠ AOC < ∠ AOD < ∠ AOE ．
（2）图中的直角有∠AOC，∠BOD ，∠ COE；
锐角有∠ AOB， ∠ BOC，∠ COD，∠ DOE；
钝角有∠ AOD，∠ BOE．
讲授新课
2、如图，∠BOD=90°，∠COE=90°，解答下列问题：
（1）图中有哪些小于平角的角？用适当的方法表示出它们．
（2）比较∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠AOB的大小，并指出其中的锐角、钝角、直角、平角．
（1）∠AOC、∠AOD、∠AOE、∠COD、∠COE、∠DOE、∠DOB、∠EOB；（2）∠AOC＜∠AOD＜∠AOE＜∠AOB，其中∠AOC为锐角，∠AOD为直角，∠AOE为钝角，∠AOB为平角。
讲授新课
知识点五 角平分线
线段中点的定义：
如果线段上的一个点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM，点M叫做这条线段的中点.
这时AM=BM=12AB.（或AB=2AM=2BM）.
?
A
M
B
A
B
C
O
1
2
如图：如果∠1=∠2，
思考：射线OC与∠AOB的位置关系？
讲授新课
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
如图：OC是∠AOB的平分线.
A
B
C
O
1
2
注意：角平分线是一条射线.
讲授新课
A
B
C
O
1
2
如图，OC是∠AOB的角平分线.
∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠AOC=∠COB=12∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
?
反过来：
∵∠AOC=∠COB=12∠AOB
或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
?
∴OC是∠AOB的角平分线
讲授新课
角的????等分线
?
角的角平分线将角两等分，我们还可以将角三等分、四等分.....
如图射线OC、OD将∠AOB分成相等的三个角，射线OC、OD叫∠AOB的三等分线.
∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB或∠AOB=3∠AOC=3∠COD=3∠DOB
?
角的角平分线有1条，角的三等分线有2条，角四等分线有
3条，...，角的????等分线有(????-1)条，将角分成相等的????个角.
?
讲授新课
典例精析
【例5】如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB,若∠COB=35°,则∠AOD等于多少度？
A
B
O
D
C
解：由题意可知
∵OC是∠DOB的角平分线，且COB=35°
∴∠BOD=2∠COB=2×35°=70°

又∵∠AOB是平角
∴∠AOD+∠BOD=∠AOB
∠AOD=∠AOB－∠BOD
=180°－70° =110°
讲授新课
练一练
1、如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.
(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，∠AOC=80°，
O
A
B
C
D
E
所以∠BOC= ∠AOC= ×80°=40°.
讲授新课
O
A
B
C
D
E
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解：因为 OB 平分∠AOC，
所以 ∠BOC=∠AOB = 40°.
因为 OD 平分∠COE，
所以∠COD=∠DOE = 30°，
所以∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
当堂检测
1.6时40分时，时针与分针的夹角是（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
1.【分析】因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，借助图形，找出6时40分时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°即可．
解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上6时40分时，时针与分针的夹角可以看成时针转过6时0.5°×40=20°，分针在数字8上．
∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴6时40分时，分针与时针的夹角2×30°-20°=40°．
故在6点40分，时针和分针的夹角为40°．故选：C．
当堂检测
2. 下列说法错误的是(　　)
A. 角的大小与角的边的长短没有关系
B. 角的大小与它们的度数大小是一致的
C. 用叠合法比较两个角的大小，只要把两个角的顶点和任意一边重合即可
D. 用度量法比较两个角的大小，只要把两个角的度数量出，比较度数的大小即可
C
当堂检测
3．如图，已知直线AB和CD相交于O点，∠COE是直角，OF平分∠AOE，∠COF=34°，则∠BOD的大小为（　　）
A．22° B．34° C．56° D．90°
解：∵∠COE是直角，∠COF=34°∴∠EOF=90°﹣34°=56°，
∵OF平分∠AOE，∴∠AOF=∠EOF=56°，
∴∠AOC=56°﹣34°=22°，
∴∠BOD=∠AOC=22°．故选A．
当堂检测
4.如图，比较∠AOC，∠BOD，∠BOC，∠COD，∠AOD的大小，它们从小到大排列为________．
解：由图可观察出：∠BOC＜∠BOD； ∠COD＜∠BOD；
∠AOD最大；
∠AOC=∠BOD=90度．
故∠BOC＜∠COD＜∠AOC=∠BOD=90°＜∠AOD．
当堂检测
5、计算下列各题：
(1)153°39′＋25°40′38″；
(2)90°－37°24′38″；
解：(1)153°39′＋25°40′38″
＝178°79′38″
＝179°19′38″.
(2)90°－37°24′38″
＝89°59′60″－37°24′38″
＝52°35′22″.
当堂检测
6.计算：
①28°32′46″+15°36′48″； ②（30°-23°15′40″）×3；
解：①原式=（28°+15°）+（32′+36′）+（46″+48″）
=43°68′94″
=44°9′34″；
②原式=6°44′20″×3
=18°132′60″
=20°13′；
当堂检测
7. 如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
O
A
B
C
D
解：∵∠AOB=170°，∠AOC=∠BOD=90°，
∴∠BOC= ∠AOB - ∠AOC
=170°-90°
=80°
∴∠AOD= ∠AOB - ∠BOD
=170°-90°
=80°
∴∠COD= ∠AOB - ∠BOD - ∠AOC =170°-80°-80° =10°
当堂检测
解：
设∠BOC＝2x°，
则∠AOE＝5x°，∠AOD＝8x°.
因为O是直线AB上一点，
所以∠AOB＝180°，
所以∠COE＝(180－7x)°.
因为OE平分∠AOC，
所以∠AOE＝∠COE，
即5x＝180－7x，
解得x＝15，
所以∠AOD＝8×15°＝120°，
所以∠BOD＝60°.
8．如图，O是直线AB上一点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC?∠AOE : ∠AOD＝2 : 5 : 8，求∠BOD的度数.
课堂小结
⒈角是由两条具有公共端点的射线组成的图形，角的要素为顶点和边.
⒉角有四种表示方法：①可三个大写字母表示；②可用一个数字来表示；③也可用一个希腊字母来表示；④可用一个大写字母来表示，但必须是在不引起混淆的情况下，才用一个大写字母来表示.　　
⒊角的度量单位是度、分、秒.
角的相关概念
课堂小结
角的比较和运算
角的比较
度量法
叠合法
角的运算
代数型的角的加减运算（两个角的度数进行加减运算）
几何型的角的加减运算（根据图形之间的关系，进行角的加减运算）
角的平分线
谢 谢~